三次函數(shù)切線專題

PAGEPAGE4三次函數(shù)切線問題一、過三次函數(shù)上一點(diǎn)的切線問題。設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P一定有直線與的圖象相切。若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有兩條不同的切線。證明設(shè)過點(diǎn)P的切線可以分為兩類。1、P為切點(diǎn)，切線方程為：P不是切點(diǎn)，過P點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q（）又（1） 即代入（1）式得討論：當(dāng)時(shí)，，得， 當(dāng)時(shí)，兩切線重合，所以過點(diǎn)P有且只有一條切線。當(dāng)時(shí)，，所以過點(diǎn)P有兩條不同的切線。其切線方程為：由上可得下面結(jié)論：過三次函數(shù)上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)，過作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列，則，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)趨近三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。證明：設(shè)過與圖象切于點(diǎn)的切線為，又 =即設(shè)則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即。（2）過三次函數(shù)外一點(diǎn)的切線問題。設(shè)點(diǎn)為三次函數(shù)圖象外，則過點(diǎn)一定有直線與圖象相切。（1）若則過點(diǎn)恰有一條切線；（2）若且，則過點(diǎn)恰有一條切線；（3）若且=0，則過點(diǎn)有兩條不同的切線；（4）若且，則過點(diǎn)有三條不同的切線。其中證明設(shè)過點(diǎn)作直線與圖象相切于點(diǎn)則切線方程為把點(diǎn)代入得：，三次函數(shù)切線問題參考答案例1、解：，若A是切點(diǎn)，則切線方程為若A不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將代入得，所以切點(diǎn)為，則切線方程為。小結(jié)：求切線方程步驟，先判斷點(diǎn)是否在曲線上，如不在曲線上，則參照第二小步設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，若在曲線上，討論已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若為切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)可直接求得斜率。例2、例3、解法一:(Ⅰ)依題意,得由.從而令①當(dāng)a>1時(shí),當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：x+－+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R③當(dāng)時(shí)，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)由得令得由（1）得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M（）N（）。觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線在點(diǎn)P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；③Kmp－=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點(diǎn)處的切線斜率；線段MP的斜率Kmp當(dāng)Kmp－=0時(shí)，解得直線MP的方程為令當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒有零點(diǎn)，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，.所以存在使得即當(dāng)MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)綜上，t的最小值為2.（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()(Ⅰ)直線MP的方程為由得線段MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)上有零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù),所以至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).又.因此,在上有零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),即內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.等價(jià)于即又因?yàn)?所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.作業(yè)：1、解：由，得，所以所求的切線方程為，即。2、錯(cuò)解：由，得，所以所求的切線方程為，即。錯(cuò)因剖析：此處所求的切線只說經(jīng)過P點(diǎn)，而沒說P點(diǎn)一定是切點(diǎn)，于是切線的斜率與不一定相等。正解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的直線與曲線C相切于點(diǎn)，則由，得在點(diǎn)處的斜率，有在點(diǎn)處的切線的方程為。又因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)P（1，2）均在曲線C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切線方程為或。3、設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，得或2。再消去得，于是得或4。4、（I），依題意，即…………2分解得a=1，b=0.∴……………………4分（II）∵∴，當(dāng)－1<x<1時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，……6分∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值，……8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.∵過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.……10分設(shè)g(x0)=，則g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.∴函數(shù)g(x0)=的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1………………12分∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得－3<m<－2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2.……14分5、解：(1)∵過點(diǎn)∴a=-8,∴切線的斜率∵的圖像過點(diǎn)∴4b+2c=0,∵,解得：b=8,c=-16∴切線方程