三次函數(shù)切線專題

PAGEPAGE4三次函數(shù)切線問題一、過三次函數(shù)上一點的切線問題。設(shè)點P為三次函數(shù)圖象上任一點，則過點P一定有直線與的圖象相切。若點P為三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點P有且只有一條切線；若點P不是三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點P有兩條不同的切線。證明設(shè)過點P的切線可以分為兩類。1、P為切點，切線方程為：P不是切點，過P點作圖象的切線，切于另一點Q（）又（1） 即代入（1）式得討論：當(dāng)時，，得， 當(dāng)時，兩切線重合，所以過點P有且只有一條切線。當(dāng)時，，所以過點P有兩條不同的切線。其切線方程為：由上可得下面結(jié)論：過三次函數(shù)上異于對稱中心的任一點作圖象的切線，切于另一點，過作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點列，則，且當(dāng)時，點趨近三次函數(shù)圖象的對稱中心。證明：設(shè)過與圖象切于點的切線為，又 =即設(shè)則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即。（2）過三次函數(shù)外一點的切線問題。設(shè)點為三次函數(shù)圖象外，則過點一定有直線與圖象相切。（1）若則過點恰有一條切線；（2）若且，則過點恰有一條切線；（3）若且=0，則過點有兩條不同的切線；（4）若且，則過點有三條不同的切線。其中證明設(shè)過點作直線與圖象相切于點則切線方程為把點代入得：，三次函數(shù)切線問題參考答案例1、解：，若A是切點，則切線方程為若A不是切點，設(shè)切點為，則切線方程為，將代入得，所以切點為，則切線方程為。小結(jié)：求切線方程步驟，先判斷點是否在曲線上，如不在曲線上，則參照第二小步設(shè)切點坐標(biāo)，若在曲線上，討論已知點是否為切點，若為切點，由導(dǎo)數(shù)可直接求得斜率。例2、例3、解法一:(Ⅰ)依題意,得由.從而令①當(dāng)a>1時,當(dāng)x變化時，與的變化情況如下表：x+－+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。②當(dāng)時，此時有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R③當(dāng)時，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)由得令得由（1）得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M（）N（）。觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；③Kmp－=0對應(yīng)的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點處的切線斜率；線段MP的斜率Kmp當(dāng)Kmp－=0時，解得直線MP的方程為令當(dāng)時，在上只有一個零點，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒有零點，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點。當(dāng)時，.所以存在使得即當(dāng)MP與曲線有異于M,P的公共點綜上，t的最小值為2.（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()(Ⅰ)直線MP的方程為由得線段MP與曲線有異于M,P的公共點等價于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)上有零點.因為函數(shù)為三次函數(shù),所以至多有三個零點,兩個極值點.又.因此,在上有零點等價于在內(nèi)恰有一個極大值點和一個極小值點,即內(nèi)有兩不相等的實數(shù)根.等價于即又因為,所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.作業(yè)：1、解：由，得，所以所求的切線方程為，即。2、錯解：由，得，所以所求的切線方程為，即。錯因剖析：此處所求的切線只說經(jīng)過P點，而沒說P點一定是切點，于是切線的斜率與不一定相等。正解：設(shè)經(jīng)過點P（1，2）的直線與曲線C相切于點，則由，得在點處的斜率，有在點處的切線的方程為。又因為點與點P（1，2）均在曲線C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切線方程為或。3、設(shè)切點坐標(biāo)為，則，又，得或2。再消去得，于是得或4。4、（I），依題意，即…………2分解得a=1，b=0.∴……………………4分（II）∵∴，當(dāng)－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，……6分∵對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值，……8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲線方程為y=x3－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點為M（x0，y0），則點M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關(guān)于x0方程=0有三個實根.……10分設(shè)g(x0)=，則g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.∴函數(shù)g(x0)=的極值點為x0=0，x0=1………………12分∴關(guān)于x0方程=0有三個實根的充要條件是，解得－3<m<－2.故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2.……14分5、解：(1)∵過點∴a=-8,∴切線的斜率∵的圖像過點∴4b+2c=0,∵,解得：b=8,c=-16∴切線方程