B陀螺儀原理2運動方程

二自由度陀螺儀運動方程：矢量表示轉子相對慣性空間的角速度：需要合成

內框架坐標系相對慣性空間的角速度：轉子相對內框架的角速度：轉子的絕對角速度：轉子的動量矩：二自由度陀螺儀運動方程：推導根據動量矩定理和苛氏定理

其中

二自由度陀螺儀運動方程：合并簡化對每個坐標分量，分別寫出方程

以上稱變態(tài)歐拉動力學方程實際的陀螺中，一般赤道轉動慣量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺馬達穩(wěn)態(tài)工作時，驅動力矩和摩擦力矩抵消，因此

對前兩式，ω的各分量遠小于dγ/dt，忽略高階小量，得到簡化方程

關于框架角速度和外加力矩的方向

二自由度陀螺儀運動方程：角速度投影角速度的投影

內框架坐標系xyz的ω等于兩個歐拉角速度的矢量和

根據投影

代入簡化方程，得到

求導式展開

忽略高階小量，得到

二自由度陀螺儀運動方程：力矩投影忽略高階小量，得到力矩的投影：Mx1和Mx之間

代入前式，得到

實際β角很小，上式簡化成

上式稱為陀螺儀的技術方程。技術方程的物理意義（慣性力矩和進動力矩）

二自由度陀螺儀轉子軸描述：軌跡平面轉子軸運動軌跡（位置）的描述

轉子軸運動過程中，在空間掃描出一個錐面轉子軸在中心球面上的交點劃出的一段曲線將球面展開，得到廣義的坐標平面兩個框架角為描述轉子軸位置或運動的廣義坐標

（類似地球的經緯度）二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術方程

拉氏變換

整理

當初始條件都為零，得到

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程

改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：只考慮Mx1系統(tǒng)方塊圖分析

每個力矩都同時引起陀螺儀的兩種運動陀螺力矩耦合內外框架的運動單個外加力矩如何分別影響陀螺內外框架的運動？令My=0，只考慮Mx1

對外框架角α的影響：對內框架角β的影響：二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：穩(wěn)態(tài)分析反饋系統(tǒng)，如果前向通道有積分環(huán)節(jié)，則其穩(wěn)態(tài)特征一般主要由反饋通道決定

穩(wěn)態(tài)響應，令上式中s→0，則

等效彈簧效應

進動效應

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：傳遞函數拉氏變換方程

求解兩個框架角α、β，得到

由此可以得到從Mx1、My分別到α和β的四個傳遞函數

改寫分母項固有振蕩頻率二自由度陀螺儀脈沖響應：初始分析沖擊力矩的數學模型：脈沖函數，數值極大，時間極短，對時間的積分是一個有限值

陀螺技術方程

設力矩作用前，初始條件均為零沖擊力矩開始作用后，慣性力矩極大，陀螺力矩可忽略，得到

t1時刻兩個框架獲得的角速度t1時刻兩個框架轉過的角度

t1后，力矩消失，技術方程變?yōu)榛谛碌某跏紬l件，做拉氏變換

二自由度陀螺儀脈沖響應：拉氏變換考慮t1時刻的新初始條件，進行拉氏變換

求解α(s)和β(s)，得到

部分分式展開，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得到

二自由度陀螺儀脈沖響應：反變換求反拉氏變換，得

為了簡化分析，只考慮沿著外框架軸的力矩Mx1的影響

二自由度陀螺儀脈沖響應：只考慮Mx1設Jx=Jy=Je，第二式可以寫成

可見，力矩Mx1引起轉子軸同時繞內外兩個框架作等幅振蕩，相位相差90度。消去時間變量，得到軌跡方程

軌跡是圓，半徑…圓心…頻率…

二自由度陀螺儀脈沖響應：計算例子例子：設Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，

H=5160克·厘米·秒，

Mx1=36200克·厘米，

t1=1×10-5

秒。

（注：克=克重，相當于每克物體的重量）

章動的幅度（半徑）角分章動的特點：高頻、微幅

二自由度陀螺儀階躍響應：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數表示：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時，頻域輸出響應為

反拉氏變換，令ω02=H/(Jx·Jy)得時域響應：

包含穩(wěn)態(tài)解、暫態(tài)解

簡化分析，只考慮My的影響，令Mx1=0，并設Jx=Jy=Je

穩(wěn)態(tài)響應和動態(tài)響應分析

二自由度陀螺儀階躍響應：時域響應二自由度陀螺儀階躍響應：軌跡對前式移項后兩邊平方相加，得到轉子軸的軌跡方程

旋輪線：圓周運動（章動）和平移運動（進動）的合成。解釋：圓周運動線速度：圓心移動速度：兩種運動合成的結果：車輪無摩擦滾動——旋輪線其中進動起主導作用

二自由度陀螺儀階躍響應：計算例子例題：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干擾力矩作用時間t=60秒；計算：

陀螺漂移率漂移的角度章動振幅章動頻率常值干擾力矩的產生原因及影響二自由度陀螺儀正弦響應：輸入輸出如果作用在陀螺儀上的外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡諧函數描述

初始條件都為零時，陀螺頻域輸出響應為

做部分分式展開以及反拉氏變換，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得二自由度陀螺儀正弦響應：時域響應①、④：章動項②、⑤：強迫簡諧振動項③：常值項二自由度陀螺儀正弦響應：軌跡只考慮Mx1，設ωa《ωo

，Jx=Jy=Je，則上式可以簡化成可見Mx1使轉子軸同時繞內外框架軸做受迫振蕩。消去時間變量，得到軌跡方程：橢圓：長半軸、短半軸的判斷正弦力矩對陀螺儀精