協(xié)方差相關系數和大數定律

§3.3協(xié)方差和相關系數問題

對于二維隨機變量(X,Y):已知聯合分布邊緣分布

對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯系,問題是用一個怎樣的數去反映這種聯系.

數反映了隨機變量X,Y之間的某種關系

為X,Y的協(xié)方差.協(xié)方差和相關系數的定義定義稱無量綱的量為X,Y的相關系數.若稱X,Y不相關.稱

若

(X,Y)為離散型，若

(X,Y)為連續(xù)型，協(xié)方差和相關系數的計算

求cov(X,Y),

XY10pqXP10pqYP例1

已知

X,Y的聯合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例2

設u~U(0,2

),X=cosu,Y=cos(u+),

是給定的常數，求

XY解若若有線性關系若不相關，但不獨立，沒有線性關系，但有函數關系協(xié)方差的性質

協(xié)方差和相關系數的性質

相關系數的性質

即Y與X有線性關系的概率等于1，這種線性關系為如例1中

X,Y的聯合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1已求得,則必有其中

X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，X,Y相互獨立X,Y不相關例3

設X,Y相互獨立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=

2,U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數，且都不為零，求

UV解由而故

a,b取何值時,U與V不相關？此時,U與V是否獨立？繼續(xù)討論若a=b，

UV=0,則U,V不相關.——X的k

階(原點)矩——X的k

階中心矩--X的二階中心矩--X的方差——X的1階(原點)矩——X的期望矩和中心矩

§3.4隨機變量的另幾個數字特征設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為定義下

分位數的數，為此分布的下

分位數.F(x)，概率密度為f(x),

則稱滿足條件：x

?設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為定義上

分位數的數，為此分布的上

分位數.F(x)，概率密度為f(x),

則稱滿足條件：x

?

設X是只取非負值的隨機變量，且有數學期望E(X)，則有

§3.5切比雪夫不等式與大數定理馬爾可夫（Markov）不等式

設隨機變量X具有數學期望E(X)和方差D(X)，則有切比雪夫（Chebyshev）不等式或當

2

D(X)

無實際意義,大數定律的思想：

概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數定律大數定律

定義：若存在常數a，使對于任何有

則稱隨機變量序列依概率收斂于a。1.切比雪夫(Chebyshev)大數定律相互獨立，設r.v.序列則有或且：各有數學期望和方差當

n

足夠大時,算術平均值幾乎是一常數.當n充分大時，獨立r.v.序列的算術平均值依概率收斂于數學期望.算術均值數學期望近似代替可被Chebyshev大數定律的意義2.貝努里（Bernoulli）大數定律設

nA

是n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數,p

是每次試驗中A發(fā)生的概率,則有或在概率的統(tǒng)計定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數定律的意義3.辛欽(Khinchin)大數定律相互獨立，設r.v.序列則有或具有相