由最小作用量到量子化條件

最小作用量原理到量子化條件一?問(wèn)題背景為了說(shuō)明從最小作用量原理到量子化的過(guò)程是有多么驚心動(dòng)魄，我們先要明白量子化的原理,并且在一開(kāi)始我也要聲明這不是唯一的一種方法，并且也是當(dāng)代的一位物理學(xué)家做的工作。我僅表示最崇高的敬意而寫(xiě)下這些可以讓我好好賞析的藝術(shù)。首先是介紹什么是作用量:WIKI的解釋二?最小作用量原理在物理學(xué)里，最小作用量原理(英語(yǔ)：leastactionprinciple)，或更精確地，平穩(wěn)作用量原理(英語(yǔ)：stationaryactionprinciple)，是一種變分原理，當(dāng)應(yīng)用于一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的作用量時(shí)，可以得到此機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。這原理的研究引導(dǎo)出經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日表述和哈密頓表述的發(fā)展?？?雅可比特稱最小作用量原理為分析力學(xué)之母[U在現(xiàn)代物理學(xué)里，這原理非常重要，在相對(duì)論、量子力學(xué)、量子場(chǎng)論里，都有廣泛的用途。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，這原理是莫爾斯理論的研究焦點(diǎn)。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)描述、推導(dǎo)和實(shí)用方法，請(qǐng)參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理(Maupertuis'principle)和哈密頓原理。從英文中的造字角度看該問(wèn)題可以略見(jiàn)端倪，”leastactionprinciple"?？戳瞬糠株P(guān)于最小作用量原理的論文和賞析后。從歷史的角度看，費(fèi)馬原理是最原始的表述，而到現(xiàn)在，近乎所有的物理理論都可以表述成最小作用量的形式，但是無(wú)法想象的是竟然沒(méi)有覆蓋全部的物理學(xué)。簡(jiǎn)直無(wú)法忍受！接著先介紹電磁學(xué)的作用量：S=t2(動(dòng)能—?jiǎng)菽?dtt1t21S=mv2—V(x))dtt12t2 S= (—mc21—v2/c2—q?x,y,z,t—v?A(x,y,z,t)])dtt1t21 1S= -eE2—-€C2B2—pe+jAdt22t1F=qE+vXBeVXFH0寫(xiě)下這些方程是為了很好地表現(xiàn)拉氏量在力學(xué)和電磁學(xué)中發(fā)揮的作用~先從洛倫茲力下手，然后把勢(shì)能函數(shù)表示出來(lái)，接著可以先給出非相對(duì)論情形下的拉格朗日函數(shù):dpr %F=dt=qej—Ve—喬+VXVX力TOC\o"1-5"\h\zdA dA—V0—亍+vXVXA=—V0——■+Vv?A—v?VAL/<? L/<?\o"CurrentDocument"dA(x,y,z,t) —A —Adx —Ady —Adz —A\o"CurrentDocument" = 1 1 1 = +v?VA

dt —t —x—t —y—t —z—t —tddtp+qeA=—Vqe?—"A

發(fā)現(xiàn)電磁理論的動(dòng)量和勢(shì)能函數(shù)的形式，F(xiàn)=—BtUp=q=(p—我們可以從中閱讀到的信息是qA擁有真實(shí)的動(dòng)量含義，下面我們將看到一些十分驚人的結(jié)果!1厶=-mv2—q(p—v?A2edLp=—=mv—qAdv e1H= P"—L=2mp—qeA2—qp接下來(lái)是給出相對(duì)論形式的拉氏變換，為了方便我將引入四維矢量的描述方式：L]xT,XT,TT粒子的四維坐標(biāo)可以視為粒子“原時(shí)“的函數(shù)PS:原時(shí)的概念是這么引入的：我們都知道四維時(shí)空都有一個(gè)不變的間隔即11—AxAx=At2t一c2At2—Ax2—Ay2—Az2=At2C2MR c2=At1—=At1—V2/c2At=—卄c2—v2c我們把這個(gè)不隨參考系變化的時(shí)空間隔稱為”原時(shí)” AT.那么就有：6；；接著用拉格朗日乘子法，AxAx=c2

卩卩接著用拉格朗日乘子法，引入輔助函數(shù)得：入TL'=L■— (AxAx—c2)2'卩"丿對(duì)新函數(shù)取變分求極值：6LdT=0t由歐拉方程可推導(dǎo)得:dL'ddL‘一dx證明對(duì)L的任意變換，上式都是成立的。這里再介紹自由粒子的作用量形式：狹義相對(duì)論性的自由粒子的作用量表示：=—m0c2 1=—m0c2 1—v2/c2I卩 口同樣從力出發(fā)(一種本征的思考，力是與能量，動(dòng)量，角動(dòng)量直接相互聯(lián)系的基本量):drr=5,熾％TT亦=ei基矢量dp dvdr 一p=dp dvdr 一p=mu，丁=F =F?e.且我們可知F?e.是一標(biāo)量Q.dT dTdq. 1 iid(dr—]mu?dTddr—mu———Q=0dTdq. 1dr du d (洛必達(dá)法則給出：亍=亍=廠And—-dq. dq. dq. dT dq.drdrdu=兀dd(—m0C2 1—U2/c2d1叫 du2d1du2=不(2肌亦)dTdr21—u2/c2dq.注意到：d du du d°1注意到：d du du d°1mu2mu? -mu? -Q=0t2—az dq. dq. 1 azdq.d1mu2=0TOC\o"1-5"\h\zd(—me21—U2/c2 1du20 =m?'如 2叫dVL(x(t),X(t),T=—me21—U2/c2—V,Q= -卩卩 0 idq.我們現(xiàn)在得到了相對(duì)論條件下的自由例子的拉氏方程-LagrangeEquation接下來(lái)是確定V的表達(dá)式。我們知道在電磁場(chǎng)情形下，粒子將會(huì)收到電磁場(chǎng)的局域作用，而勢(shì)的作用在A-B效應(yīng)中體現(xiàn)出比場(chǎng)更加基本的性質(zhì)。所以寫(xiě)下勢(shì)能函數(shù)優(yōu)先用基本勢(shì)來(lái)完成！V=q(?-v?A由此可得：L(x(t),x^(t),t=—m0c21—u2/c2—q(?-v?A接著可以寫(xiě)成簡(jiǎn)潔的四矢量的形式：A=(￥，￡C VU= ,^=卩 1—V2/c21—V2/c2P口=(iW/ctp)此時(shí)同樣可以給出相對(duì)論形式下的作用量,哈密頓量和共軛動(dòng)量的表達(dá)式：drt2dry—1(—mnc2—qAU

0卩卩1dLP= =mu+qAduH=P—qA2+ 2c4+q?三?電磁場(chǎng)的協(xié)變性電磁場(chǎng)方程的表達(dá)式可以寫(xiě)為：dAE=——dtB=VXA為了保證電磁場(chǎng)在勢(shì)函數(shù)規(guī)范變化后不發(fā)生變化(基于勢(shì)函數(shù)的隨機(jī)性，但勢(shì)函數(shù)也有限制)因此作電磁勢(shì)的規(guī)范變換：A=A+dW d 、，V=示,—V-四維梯度dt 口dtL'=L-qvWu于是有：

變換前的作用量表達(dá)式為（聲明以下的X,u都是四維矢量）:TOC\o"1-5"\h\zt2 t2QL dLSS=S Ldrc= 8x+8udr\o"CurrentDocument"dx dut1 t1dL必+dL必+喬叫2一t2ddLdtdut1Sxdz由于吐氐在時(shí)間河流上的兩端的變分為0?所以上式可以繼續(xù)寫(xiě)為:dut2dLddL— 8xd.T=0T1 dXdtdU變換后:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"t2 t2\o"CurrentDocument"SS'=S厶'必=6 L—u drT1 l1=屮I=屮I?—屮Judr= dxdx dx卩T1 卩 T1 卩由此可知規(guī)范變換的函數(shù)在其兩端點(diǎn)的變分為0！t2 t2 CSS'=S厶'必=8 L必+ -^T=021\o"CurrentDocument"t1 t1于是可得電磁場(chǎng)規(guī)范變換的協(xié)變性成立 用作用量的變分不變證明!四?作用量應(yīng)用的范圍物理是一門(mén)描述物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的學(xué)科。一般性地描述運(yùn)動(dòng)都是用微分方程來(lái)描述,諸如弦振動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程，只要給定方程的初值與邊界條件我們就可以將物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律詳細(xì)地表示出來(lái)。物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是受一定的規(guī)律支配,在我們的世界就是四項(xiàng)基本作用力。物質(zhì)的構(gòu)成在我們現(xiàn)在的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上是十二種基本粒子構(gòu)造了所有的我們宇宙的物質(zhì)?？墒俏覀兡芊裉骄孔匀唤鐬槭裁催x擇此方程？物體為什么會(huì)那樣運(yùn)動(dòng)？我們第一次接觸物體為何運(yùn)動(dòng)是在學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)過(guò)程,力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué) 就是物體是怎樣運(yùn)動(dòng)的？動(dòng)力學(xué)---物體為何運(yùn)動(dòng)？牛頓的理論是決定形式的,只要給了初始條件,我們就知道物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。一種巧合是某一種與物體位移和速度相關(guān)聯(lián)的量會(huì)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中取得一個(gè)極小值,而這種巧合不僅僅發(fā)生在機(jī)械力學(xué),在熱學(xué)（熵）和電動(dòng)力學(xué)（麥克斯韋方程組和洛倫茲力）都可以找到這些極小值來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)。并且所有的物體運(yùn)動(dòng)方程都可以由這些作用量推導(dǎo)出來(lái)！我介紹一個(gè)極簡(jiǎn)的粒子,以表示我對(duì)費(fèi)曼的傾佩之情:121S= 2mv2dt……自由粒子的作用量11t21mv2t21mv2dt=2limAtt0Ax2LAt21At>mlim2At-0ZAx2LnAtPS:用到的不等式af+aj+a2+a2+…+呻>可知自由粒子作勻速運(yùn)動(dòng)是作用量極小需要滿足的！總體的極小整體描述-分段的極小微觀描述-微分方程最小作用量原理要求爲(wèi)呦2沁到極小值的那個(gè)行進(jìn)方式是自然界的選擇嗎？是誰(shuí)的意

圖和旨意呢？物體本身是”聞出”了所有的路徑后選擇了一條作用量最小的值嗎?我覺(jué)得統(tǒng)計(jì)力學(xué)的“熵”給了一種微觀的解釋。物體的確走了所有的路徑，在微觀下他們表現(xiàn)出一種概率分布，隨著時(shí)間的流逝，這種分布趨于穩(wěn)定的宏觀值。而至于物體是怎么走的所有路徑？首先要澄清一個(gè)觀點(diǎn)，真的有所謂的確切的路徑嗎？當(dāng)我們?nèi)ゴ_定（也就是探測(cè)”路徑“的時(shí)候）實(shí)際上已經(jīng)影響了物體的路徑，而真實(shí)的路徑已經(jīng)不是我們觀察的到的那樣。而真實(shí)的路徑也是無(wú)法觀察的！那么對(duì)于真實(shí)的不確定就賦予了真實(shí)各種可能性。這也就是量子力學(xué)的觀點(diǎn)：到量子力學(xué)層次，按波函數(shù)的解釋?zhuān)矬w實(shí)際上所以可能的路徑都是要走的。每條路徑通過(guò)一個(gè)權(quán)重因子e；對(duì)體系的"振幅"產(chǎn)生貢獻(xiàn)。對(duì)一般的路徑稍微偏離一點(diǎn)，就會(huì)有變化，產(chǎn)生干涉相消（?’'?）---類(lèi)似于雙縫干涉。而只有（唯一性保證）S取極小值，權(quán)重AS變化最微弱，路徑稍偏離S基本不變6S=0,此時(shí)才會(huì)產(chǎn)生相干疊加！此路徑”經(jīng)典路徑"對(duì)振幅起重要貢獻(xiàn)，類(lèi)似于光選擇最短光程，留下可觀測(cè)的經(jīng)典宏觀效應(yīng)。而散步在全空間的各種路徑仍然是存在的，只不過(guò)此時(shí)他們的概率極低，不至于我們敏感度極低的眼睛和現(xiàn)有的普通儀器觀測(cè)到！現(xiàn)在討論關(guān)于最小作用量的”逆問(wèn)題“：即所有的物理量都有其對(duì)應(yīng)的作用量嗎？當(dāng)初費(fèi)曼發(fā)明”路徑積分“就因有些系統(tǒng)無(wú)法用哈密頓系統(tǒng)描述！如果可以的話，這就意味著最小作用量原理可以完全取代微分方程決定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。費(fèi)曼發(fā)現(xiàn)洛倫茲力找不到其對(duì)應(yīng)的作用量表示。王青老師ppt自由質(zhì)點(diǎn)被約束在單位球面上運(yùn)動(dòng)：S=/曲:肌/r.F=1m[r-Fm[r-Ff)]=D現(xiàn)假設(shè)此質(zhì)點(diǎn)帶電電量鴿并且在球心放置一個(gè)單位磁單極：B場(chǎng)方程中應(yīng)出現(xiàn)洛倫茲力項(xiàng)：+rr-r）—qvX療一gFxF洛倫茲力項(xiàng)如何在作用量中體現(xiàn)？產(chǎn)（尹XR=0五.從作用量推導(dǎo)量子化條件現(xiàn)在考慮一位物理學(xué)家的工作，他是一位弦論物理學(xué)家。這是我對(duì)他的全部了解了。他假設(shè)了磁荷存在的情形下，我們可以有最小作用量原理給出量子化條件。也就是解釋一個(gè)懸而未決的問(wèn)題：為什么元電荷是e=1.60217656535X10-19C這個(gè)值？不過(guò)同時(shí)假定磁荷的話，就需要思考元磁荷的問(wèn)題？這也是一個(gè)我們即將面對(duì)的問(wèn)題！消息：2015/4/30科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了量子磁荷的存在。/news/2015-04-physicists-quantum-mechanical-monopoles.htmOutm_sourcenmenu&utm_medium=link&utm_campaign=item-menu不過(guò)這也不算是好消息，因?yàn)榇笪锏膾炜坡屎屯苏n率要呈指數(shù)式上升了~。電荷在磁荷外圍的球面上作閉合回路運(yùn)動(dòng)。我們可以計(jì)算該回路的作用量：t2 S= (―mc21—v2/c2—q^[^x,y,z,t—v?A(x,y,z,t)])dtt1TOC\o"1-5"\h\zt2 12S= (—mc21—v2/c2—qg^)dt—qg A?dl\o"CurrentDocument"ti 11t2 t2A?dl= BdS可是我們發(fā)現(xiàn)磁通量積分可以選擇任意兩個(gè)曲面C]，C2！ti ti\o"CurrentDocument"t2 12 aBdS+BdS=顯uti,C1 t