3.1 橢圓（練習(xí)） - 解析版

33.1橢圓（練習(xí)）解析第頁(yè)3.1橢圓（練習(xí)）解析一．單項(xiàng)選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則A． B． C． D．【答案】B【解析】橢圓的方程整理可得：，由題意得，，，所以．故選B．2．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，因?yàn)?，所以，即，所以離心率．故選C．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得的周長(zhǎng)為，所以．又離心率，所以，所以．因此所求橢圓的方程為．故選B．4．已知，是是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，，，所以，所以，．因?yàn)?，所以，解得．所以的面積為．故選A．5．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，，設(shè)點(diǎn)，則有，解得，因?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為．故選D．6．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率等于A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，，分別代入橢圓方程相減得，即．又，且，所以得，所以，所以．故選C．二、填空題7．直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】【解析】由，即，可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線必與橢圓相交．8．已知中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則該橢圓的方程為：．【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以該橢圓的方程為．9．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：．【答案】【解析】設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)?，所以，所以，即?0．已知，分別是橢圓的上，下焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)，使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍為_________．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以的面積的最大值為．因?yàn)闄E圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)，使得的面積為，所以，解得，所以，即，故橢圓的離心率的取值范圍是．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)，的距離之差為．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】解法一：（1）依題意，有，即，所以．又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知：，又由橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)，的距離之差為，不妨設(shè)，則有，解得，．又，所以，即為直角三角形所以的面積．解法二：（1）因?yàn)闄E圓的的左、右焦點(diǎn)分別為，，所以，所以．又點(diǎn)橢圓上，所以，即，所以，即，解得，或（舍去）．因此該橢圓的方程為．（2）同解法一．12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）證明：．【答案】（1）或；（2）詳見解析．【解析】（1）由已知得，的方程為．那么點(diǎn)的坐標(biāo)為或，所以的方程為或．（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，．當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直