高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件

結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué)1第1章緒論第1章緒論2振動引起的結(jié)構(gòu)破壞——Tacoma橋振動引起的結(jié)構(gòu)破壞——Tacoma橋31.1基本概念1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)固體力學(xué)靜力學(xué)動力學(xué)剛體變形體結(jié)構(gòu)力學(xué)材料力學(xué)彈性力學(xué)理論力學(xué)剛體變形體剛體動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué)彈性動力學(xué)1.1基本概念1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)固體力學(xué)靜力學(xué)動力學(xué)剛體變形體42、動力自由度自由度靜力自由度動力自由度剛體變形體約束質(zhì)量例1：分布質(zhì)量簡支梁——無限自由度一階振型二階振型三階振型2、動力自由度自由度靜力自由度動力自由度剛體變形體約束質(zhì)量例5四階振型五階振型例2：集中質(zhì)量簡支梁——有限自由度1、單自由度系統(tǒng)2、二自由度系統(tǒng)一階振型四階振型五階振型例2：集中質(zhì)量簡支梁——有限自由度1、單自由6一階振型二階振型3、三自由度二階振型三階振型一階振型一階振型二階振型3、三自由度二階振型三階振型一階振型73、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的兩類問題（1）正問題荷載結(jié)構(gòu)響應(yīng)（2）反問題（動力學(xué)反演）響應(yīng)結(jié)構(gòu)荷載已知已知+荷載結(jié)構(gòu)已知已知+已知或未知+1.2研究對象1、結(jié)構(gòu)——彈性恢復(fù)力fk(x)2、外力——時變特性fp(t)3、結(jié)構(gòu)動力學(xué)的兩類問題（1）正問題荷載結(jié)構(gòu)響應(yīng)（2）反81.3研究內(nèi)容1、結(jié)構(gòu)動力特性——固有頻率、振型、阻尼2、結(jié)構(gòu)響應(yīng)——位移、速度、加速度1.4研究方法1、時域法——解析法、逐步積分法線性、非線性問題2、頻域法——譜分析法線性問題3、概率法——統(tǒng)計方法線性、非線性問題1.3研究內(nèi)容1、結(jié)構(gòu)動力特性——固有頻率、振型、阻尼2、9第2章單自由度系統(tǒng)第2章單自由度系統(tǒng)10圖2.2電視塔圖2.1水塔圖2.3導(dǎo)管架平臺圖2.4單層廠房圖2.2電視塔圖2.1水塔圖2.3導(dǎo)管架平臺圖2112.1無阻尼系統(tǒng)模型圖2.1典型的單自由度無阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型mkxmkxm

kxmθmg2.1.1系統(tǒng)力學(xué)模型——彈簧質(zhì)量系統(tǒng)1、系統(tǒng)組成慣性元件（質(zhì)量m）——運(yùn)動物體彈性元件（剛度k）——提供恢復(fù)力2.1無阻尼系統(tǒng)模型圖2.1典型的單自由度無阻尼系統(tǒng)動122、系統(tǒng)特點(diǎn)①慣性元件為質(zhì)點(diǎn)②彈性元件為無質(zhì)量彈簧③不計次要自由度2.1.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型——二階常系數(shù)線性微分方程mkxf(t)mgmkxf(t)2.1.3系統(tǒng)動力特性設(shè)：——齊次方程2、系統(tǒng)特點(diǎn)①慣性元件為質(zhì)點(diǎn)②彈性元件為無質(zhì)量彈簧③不計次要13代入得：解得：——系統(tǒng)固有頻率——系統(tǒng)固有周期2.1.4固有頻率計算1、直接法代入得：解得：——系統(tǒng)固有頻率——系統(tǒng)固有周期2.1.4固14ml(1)簡支梁固有頻率計算(2)懸臂梁固有頻率計算①彎曲變形ml(1)簡支梁固有頻率計算(2)懸臂梁固有頻率計算①彎曲變15②剪切變形(3)擺mθmgl小變形時則：②剪切變形(3)擺mθmgl小變形時則：16θmgamk1k2m(5)組合問題①彈簧串聯(lián)(4)倒擺θmgamk1k2m(5)組合問題①彈簧17ml②彈簧并聯(lián)2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm1ml②彈簧并聯(lián)2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2θm18即：設(shè)：代入得：等效剛度等效質(zhì)量即：設(shè)：代入得：等效剛度等效質(zhì)量192.2有阻尼系統(tǒng)模型2.2.1系統(tǒng)力學(xué)模型mkc圖2.6典型的單自由度有阻尼系統(tǒng)動力學(xué)模型m

kxcx2.2.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型f(t)mkcx2.2有阻尼系統(tǒng)模型2.2.1系統(tǒng)力學(xué)模型mkc圖2.6202.2.3系統(tǒng)動力特性設(shè)：代入得：1、過阻尼系統(tǒng)2、臨界阻尼系統(tǒng)——臨界阻尼系數(shù)2.2.3系統(tǒng)動力特性設(shè)：代入得：1、過阻尼系統(tǒng)2、臨界阻213、小阻尼系統(tǒng)其中：——阻尼比——有阻尼頻率代入得：——有阻尼周期3、小阻尼系統(tǒng)其中：——阻尼比——有阻尼頻率代入得：——有阻22系統(tǒng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.3自由振動問題1、運(yùn)動方程——初速度——初位移2、初始條件t=02.3.1無阻尼系統(tǒng)自由振動3、解的形式系統(tǒng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.3自由振動問題1、運(yùn)動方程——初速度234、振幅C和初相位——振幅——初相位——無阻尼自由振動位移函數(shù)4、振幅C和初相位——振幅——初相位——無阻尼自由振動位移函24txx0圖2.7無阻尼系統(tǒng)自由振動位移曲線t圖2.8無阻尼系統(tǒng)自由振動速度曲線圖2.9無阻尼系統(tǒng)自由振動加速度曲線ttxx0圖2.7無阻尼系統(tǒng)自由振動位移曲線t圖2.8無阻252.3.2有阻尼系統(tǒng)自由振動1、運(yùn)動方程——初速度——初位移2、初始條件t=03、解的形式4、振幅C和初相位——振幅——初相位2.3.2有阻尼系統(tǒng)自由振動1、運(yùn)動方程——初速度——初26——有阻尼自由振動位移函數(shù)tx圖2.10有阻尼系統(tǒng)自由振動位移曲線5、阻尼比ζ——有阻尼自由振動位移函數(shù)tx圖2.10有阻尼系統(tǒng)自由振動27——對數(shù)衰減率2.4簡諧荷載的強(qiáng)迫振動2.4.1無阻尼系統(tǒng)1、運(yùn)動方程——對數(shù)衰減率2.4簡諧荷載的強(qiáng)迫振動2.4.1無阻尼28設(shè)：2、解的形式解得：——系統(tǒng)靜位移——頻率比其中：——動力放大系數(shù)定義：設(shè)：2、解的形式解得：——系統(tǒng)靜位移——頻率比其中：——動力29圖2.11幅頻特性曲線圖2.11幅頻特性曲線30則：代入邊界條件得：2.4.2有阻尼系統(tǒng)1、運(yùn)動方程2、解的形式則：代入邊界條件得：2.4.2有阻尼系統(tǒng)1、運(yùn)動方程2、31設(shè)：設(shè)：32其中：其中：代入邊界條件得：解得：代入解函數(shù)得：其中：其中：代入邊界條件得：解得：代入解函數(shù)得：33——動力放大系數(shù)3、幅頻特性由：得：——動力放大系數(shù)3、幅頻特性由：得：34阻尼比計算①共振點(diǎn)阻尼比計算②帶寬法（半功率）阻尼比計算阻尼比計算①共振點(diǎn)阻尼比計算②帶寬法（半功率）阻尼比計算354、相頻特性圖2.12相頻特性曲線4、相頻特性圖2.12相頻特性曲線36例：利用激振器測量單層廠房的動力特性，采用簡諧擾力激振，兩次測量的結(jié)果為：解：求系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效剛度、固有頻率、粘滯阻尼系數(shù)和阻尼比。例：利用激振器測量單層廠房的動力特性，采用簡諧擾力激振，解：37代入得：代入得：38則：——阻尼系數(shù)由：得：5、基礎(chǔ)運(yùn)動問題mkcx(1)

質(zhì)量塊的絕對運(yùn)動則：——阻尼系數(shù)由：得：5、基礎(chǔ)運(yùn)動問題mkcx(1)質(zhì)量39設(shè)：代入得：設(shè)：代入得：40Tr(2)

質(zhì)量塊的相對運(yùn)動設(shè)：Tr(2)質(zhì)量塊的相對運(yùn)動設(shè)：41設(shè)：代入得：或：代入得：設(shè)：代入得：或：代入得：42——傳遞系數(shù)由此可得：——傳遞系數(shù)由此可得：43例：汽車沿圖2-12所示路面行駛。速度v=20m/s，路面凹凸幅值為3cm。假設(shè)路面不平度按照正弦規(guī)律變化，并且路面正弦變化的波長l=12m，汽車質(zhì)量為2000kg，汽車的彈簧剛度為39200N/m，阻尼比為0.4。計算汽車在此路面上行駛時，底盤垂向振動幅值。解：例：汽車沿圖2-12所示路面行駛。速度v=20m/s，路面凹442.5周期荷載的強(qiáng)迫振動2.5.1任意周期荷載的傅里葉級數(shù)表達(dá)式2.5周期荷載的強(qiáng)迫振動2.5.1任意周期荷載的傅里葉45(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)設(shè)：則：其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)2.5.2無阻尼系統(tǒng)46而：2.5.3有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)其中：設(shè)：而：2.5.3有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)其中：設(shè)：47高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件48例：設(shè)單自由度系統(tǒng)受鋸齒波荷載（如圖）作用，系統(tǒng)的固有周期與荷載的周期比為2:1，阻尼比為0.05，分別計算無阻尼和有阻尼時的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)。解：圖示荷載函數(shù)可表示為：n=0n=1,2,…例：設(shè)單自由度系統(tǒng)受鋸齒波荷載（如圖）作用，系統(tǒng)的固有解：圖49n=1,2,…無阻尼響應(yīng)有阻尼響應(yīng)2.6任意荷載的強(qiáng)迫振動2.6.1系統(tǒng)對沖擊荷載的響應(yīng)1、強(qiáng)迫振動階段(0≤t≤t1)n=1,2,…無阻尼響應(yīng)有阻尼響應(yīng)2.6任意荷載的強(qiáng)迫振動502、自由振動階段(t1≤t)荷載頻率低于結(jié)構(gòu)固有頻率（γ<1）2、自由振動階段(t1≤t)荷載頻率低于結(jié)構(gòu)固有頻率（γ<151荷載頻率高于結(jié)構(gòu)固有頻率（γ>1）荷載頻率高于結(jié)構(gòu)固有頻率（γ>1）522.6.2系統(tǒng)對任意荷載的響應(yīng)F(t)τtτ1、無阻尼系統(tǒng)由動量定理得：由得：2.6.2系統(tǒng)對任意荷載的響應(yīng)F(t)τtτ1、無阻尼系53例：單自由度系統(tǒng)受三角形沖擊荷載F(t)=F0(1-t/t1)作用，t1為荷載持續(xù)時間。求最大位移和放大系數(shù)。解：當(dāng)t≤t

1時，由杜哈梅積分得：(t≤t1)(t≤t1)——杜哈梅積分例：單自由度系統(tǒng)受三角形沖擊荷載F(t)=F0(1-t/t154當(dāng)t≥t1時當(dāng)t≥t1時552、有阻尼系統(tǒng)2.6.3杜哈梅積分的數(shù)值解法1、無阻尼系統(tǒng)2、有阻尼系統(tǒng)2.6.3杜哈梅積分的數(shù)值解法1、無阻尼系56其中：2、有阻尼系統(tǒng)其中：2、有阻尼系統(tǒng)572.6.4逐步積分法1、增量方程——系統(tǒng)增量方程其中：兩式相減得：其中：2.6.4逐步積分法1、增量方程——系統(tǒng)增量方程其中：兩582、Wilson-θ法將加速度在ti點(diǎn)展開式中：積分上式令：2、Wilson-θ法將加速度在ti點(diǎn)展開式中：積分上式令：59上式可寫成：式中：上式可寫成：式中：60或則：3、Newmark—β法——線性加速度法或則：3、Newmark—β法——線性加速度法61——平均加速度法——無條件穩(wěn)定本章小結(jié)1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(1)無阻尼系統(tǒng)或其中：(2)有阻尼系統(tǒng)——平均加速度法——無條件穩(wěn)定本章小結(jié)1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(1)62或2、系統(tǒng)動力特性(1)系統(tǒng)特征方程設(shè)：代入得：——特征方程——特征值(2)系統(tǒng)特征值由系統(tǒng)特征方程解得或2、系統(tǒng)動力特性(1)系統(tǒng)特征方程設(shè)：代入得：——特征方程63m——質(zhì)量，系統(tǒng)慣性性質(zhì)k——剛度，系統(tǒng)恢復(fù)力性質(zhì)c——阻尼，系統(tǒng)耗能性質(zhì)(1)物理參數(shù)——固有頻率3、系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)(2)模態(tài)參數(shù)或——固有周期——阻尼比——有阻尼頻率m——質(zhì)量，系統(tǒng)慣性性質(zhì)k——剛度，系統(tǒng)恢復(fù)力性質(zhì)c——阻尼644、系統(tǒng)動力響應(yīng)(1)自由振動——初始擾動無阻尼系統(tǒng)其中：——初相位——振幅有阻尼系統(tǒng)——初相位——振幅其中：4、系統(tǒng)動力響應(yīng)(1)自由振動——初始擾動無阻尼系統(tǒng)其中：—65對數(shù)衰減率(2)簡諧荷載強(qiáng)迫振動無阻尼系統(tǒng)式中：有阻尼系統(tǒng)式中：——相位差對數(shù)衰減率(2)簡諧荷載強(qiáng)迫振動無阻尼系統(tǒng)式中：有阻尼系統(tǒng)式66基礎(chǔ)運(yùn)動——隔振問題——基礎(chǔ)位移其中：——傳遞系數(shù)——相位差相對基礎(chǔ)運(yùn)動——慣性傳感器——基礎(chǔ)位移其中：——傳遞系數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)動——隔振問題——基礎(chǔ)位移其中：——傳遞系數(shù)——相位差67——相位差(3)周期荷載強(qiáng)迫振動其中：(n=1,2,…)(n=1,2,…)無阻尼系統(tǒng)——相位差(3)周期荷載強(qiáng)迫振動其中：(n=1,2,…)(n68有阻尼系統(tǒng)(4)任意荷載強(qiáng)迫振動沖擊荷載——強(qiáng)迫振動——自由振動其中：——振幅——相位角脈沖荷載有阻尼系統(tǒng)(4)任意荷載強(qiáng)迫振動沖擊荷載——強(qiáng)迫振動——自由69——自由振動任意荷載①杜哈梅積分②逐步積分法——自由振動任意荷載①杜哈梅積分②逐步積分法70第3章串聯(lián)多自由度系統(tǒng)第3章串聯(lián)多自由度系統(tǒng)713.1系統(tǒng)模型3.1.1力學(xué)模型k1k2k3m1m2m3m1m2m3k2c2k3c3k1c1x1x2x3f1(t)f2(t)f3(t)3.1系統(tǒng)模型3.1.1力學(xué)模型k1k2k3m1m2723.1.2數(shù)學(xué)模型3.1.2數(shù)學(xué)模型73其中：其中：743.2特征值問題3.2.1系統(tǒng)特征方程設(shè)：有非零解的條件：或特征方程3.2特征值問題3.2.1系統(tǒng)特征方程設(shè)：有非零解的751、特征方程的根：3.2.2系統(tǒng)特征對2、特征向量（振型）：3、系統(tǒng)特征對：3.2.3特征對的性質(zhì)1、特征根的性質(zhì)1、特征方程的根：3.2.2系統(tǒng)特征對2、特征向量（振型762、特征向量的性質(zhì)證明：3、規(guī)格化特征向量2、特征向量的性質(zhì)證明：3、規(guī)格化特征向量773.2.4特征值的計算1、迭代法最高階特征值計算設(shè)：例：迭代矩陣3.2.4特征值的計算1、迭代法最高階特征值計算設(shè)：例：78設(shè)：設(shè)：79高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件80證明：證明：81其中：一階特征值計算其中：其中：一階特征值計算其中：82例：例：83證明：證明：84其中：2、逐階濾頻法——GramSchmidt法計算二階特征值其中：2、逐階濾頻法——GramSchmidt法計算二階特85例：——一次濾頻例：——一次濾頻86——二次濾頻計算三階特征值——二次濾頻計算三階特征值87其中：3、Jacobi（雅可比）法條件：K和M是實對稱矩陣，且K是正定的令：其中：3、Jacobi（雅可比）法條件：K和M是實對稱矩陣，88則：其中：正交矩陣對角陣mnnm則：其中：正交矩陣對角陣mnnm89例：設(shè)：例：設(shè)：90高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件913.3方程的解耦3.3.1廣義坐標(biāo)設(shè)：其中：3.3方程的解耦3.3.1廣義坐標(biāo)設(shè)：其中：923.3.2廣義坐標(biāo)方程其中：——模態(tài)質(zhì)量矩陣——第i階模態(tài)質(zhì)量——模態(tài)剛度矩陣——第i階模態(tài)剛度3.3.2廣義坐標(biāo)方程其中：——模態(tài)質(zhì)量矩陣——第i階模態(tài)93——模態(tài)阻尼矩陣——第i階模態(tài)阻尼系數(shù)——模態(tài)力向量則系統(tǒng)解耦方程為：或——模態(tài)阻尼矩陣——第i階模態(tài)阻尼系數(shù)——模態(tài)力向量則系統(tǒng)解94——固有頻率——模態(tài)阻尼——模態(tài)力3.4阻尼問題3.4.1瑞雷阻尼——固有頻率——模態(tài)阻尼——模態(tài)力3.4阻尼問題3.4.953.4.2常阻尼模型穩(wěn)態(tài)運(yùn)動條件下：3.4.2常阻尼模型穩(wěn)態(tài)運(yùn)動條件下：963.5強(qiáng)迫振動3.5.1廣義坐標(biāo)解其中：3.5強(qiáng)迫振動3.5.1廣義坐標(biāo)解其中：973.5.2時程分析法3.5.2時程分析法98Wilson-θ法Wilson-θ法99或Newmark-β法——線性加速度法——平均加速度法或Newmark-β法——線性加速度法——平均加速度法100高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件1013.6耦合振動的應(yīng)用——振動控制問題3.6.1主、從系統(tǒng)的動力特性1、系統(tǒng)固有頻率設(shè)：3.6耦合振動的應(yīng)用——振動控制問題3.6.1主、從102其中：——質(zhì)量比——頻率錯開系數(shù)2、系統(tǒng)耦合特性質(zhì)量比的影響頻率錯開系數(shù)的影響——主從系統(tǒng)強(qiáng)烈耦合——主從系統(tǒng)不耦合其中：——質(zhì)量比——頻率錯開系數(shù)2、系統(tǒng)耦合特性質(zhì)量比的影響1033.6.2主、從系統(tǒng)的減振問題3.6.2主、從系統(tǒng)的減振問題104高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件105本章小結(jié)：1、運(yùn)動方程2、系統(tǒng)動力特性(1)物理參數(shù)——質(zhì)量矩陣——剛度矩陣本章小結(jié)：1、運(yùn)動方程2、系統(tǒng)動力特性(1)物理參數(shù)——質(zhì)量106——阻尼矩陣(1)特征值問題特征方程固有頻率與振型——第i階固有頻率——第i階振型——阻尼矩陣(1)特征值問題特征方程固有頻率與振型——第i階107標(biāo)準(zhǔn)化振型其中：3、系統(tǒng)阻尼問題(1)瑞雷阻尼標(biāo)準(zhǔn)化振型其中：3、系統(tǒng)阻尼問題(1)瑞雷阻尼108其中：(2)常阻尼模型4、廣義坐標(biāo)方程——模態(tài)質(zhì)量矩陣——模態(tài)剛度矩陣其中：其中：(2)常阻尼模型4、廣義坐標(biāo)方程——模態(tài)質(zhì)量矩陣——模109——第i階模態(tài)質(zhì)量——第i階模態(tài)剛度——模態(tài)阻尼矩陣式中：——第i階模態(tài)阻尼5、強(qiáng)迫振動問題①廣義坐標(biāo)解——解析解——第i階模態(tài)質(zhì)量——第i階模態(tài)剛度——模態(tài)阻尼矩陣式中：—110②時程分析法——數(shù)值解Wilson-θ法其中：②時程分析法——數(shù)值解Wilson-θ法其中：111Newmark-β法Newmark-β法112其中：其中：113m1m2kx1x2例1：寫出圖示系統(tǒng)以相對坐標(biāo)表示的運(yùn)動方程，并求系統(tǒng)固有頻率。令：或：m1m2kx1x2例1：寫出圖示系統(tǒng)以相對114其中：例2：求圖示二層框架的固有頻率和振型。其中：例2：求圖示二層框架的固有頻率和振型。115高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件116例3：求例2二層框架的強(qiáng)迫振動。已知：設(shè)：代入得：解得：例3：求例2二層框架的強(qiáng)迫振動。設(shè)：代入得：解得：117穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：例4：求圖示結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。解：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：例4：求圖示結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。解：118設(shè)：設(shè)：119解得：解得：120高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件121第4章分布參數(shù)系統(tǒng)第4章分布參數(shù)系統(tǒng)1224.1直桿的軸向振動4.1.1運(yùn)動方程4.1直桿的軸向振動4.1.1運(yùn)動方程1234.1.2等截面均質(zhì)直桿其中：4.1.3方程的解令：4.1.2等截面均質(zhì)直桿其中：4.1.3方程的解令：1244.1.4頻率與振型1、邊界條件（兩端自由桿）4.1.4頻率與振型1、邊界條件（兩端自由桿）1252、固有頻率由：2、固有頻率由：126得：3、振型函數(shù)得：3、振型函數(shù)1274、初始條件例：一等截面均質(zhì)直桿兩端自由，初始時，兩端的壓縮變形量為δ。求桿的運(yùn)動狀態(tài)。4、初始條件例：一等截面均質(zhì)直桿兩端自由，初始時，兩端的壓縮128討論：討論：1294.1.5任意直桿振型的正交性代入：證明：4.1.5任意直桿振型的正交性代入：證明：130得：由邊界條件固定邊界自由邊界得：上式右端項分部積分得得：由邊界條件固定邊界自由邊界得：上式右端項分部積分得131因此同理：兩式相減得：代入：得：因此同理：兩式相減得：代入：得：1324.2圓截面直桿的扭轉(zhuǎn)振動4.2圓截面直桿的扭轉(zhuǎn)振動133其中：設(shè)：則：式中：其中：設(shè)：則：式中：1344.3高腹梁的剪切振動則：4.3高腹梁的剪切振動則：135代入上式得：等截面均質(zhì)梁其中：設(shè)：則：式中：代入上式得：等截面均質(zhì)梁其中：設(shè)：則：式中：1364.4梁的彎曲振動4.4.1純彎曲振動1、運(yùn)動方程式中：4.4梁的彎曲振動4.4.1純彎曲振動1、運(yùn)動方程式137代入上式得：均質(zhì)等截面梁2、動力特性設(shè)：代入上式得：代入上式得：均質(zhì)等截面梁2、動力特性設(shè)：代入上式得：138分離變量得：其中：設(shè)：代入得：解得：分離變量得：其中：設(shè)：代入得：解得：139則：由Eular公式：可得：①簡支梁固有頻率與振型則：由Eular公式：可得：①簡支梁固有頻率與振型140頻率方程：則：簡支梁純彎曲固有頻率：簡支梁純彎曲振型：簡支梁純彎曲自由振動頻率方程：則：簡支梁純彎曲固有頻率：簡支梁純彎曲振型：簡支梁141設(shè)：則：②懸臂梁固有頻率與振型設(shè)：則：②懸臂梁固有頻率與振型142得頻率方程：解得前三階頻率：得頻率方程：解得前三階頻率：143振型函數(shù)：由邊界條件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函數(shù)振型函數(shù)：由邊界條件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函數(shù)144高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件145③固端梁固有頻率與振型③固端梁固有頻率與振型146解得前三階頻率：由邊界條件：得：代入得：解得前三階頻率：由邊界條件：得：代入得：147其中：4、標(biāo)準(zhǔn)振型的正交性設(shè)：由虛功原理有：代入得：將其中：4、標(biāo)準(zhǔn)振型的正交性設(shè)：由虛功原理有：代入得：將148整理得：5、純彎曲梁的強(qiáng)迫振動設(shè)：代入得：標(biāo)準(zhǔn)振型滿足：整理得：5、純彎曲梁的強(qiáng)迫振動設(shè)：代入得：標(biāo)準(zhǔn)振型滿足：149代入得：上式兩端乘，并積分整理得：其中：引入阻尼：或代入得：上式兩端乘，并積分整理得：其中：150例1：求圖示簡支梁的強(qiáng)迫振動。Pylx1x解：已知簡支梁振型函數(shù)振型力：振型質(zhì)量：例1：求圖示簡支梁的強(qiáng)迫振動。Pylx1x解：已知簡151例2：求圖示固端梁在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動。yxl=240例2：求圖示固端梁在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動。yxl=152令：令：1534.4.2考慮軸向力的彎曲振動M+dMQ+dQNNMQdydxP(x,t)fI1、運(yùn)動方程4.4.2考慮軸向力的彎曲振動M+dMQ+dQNNMQd1542、動力特性設(shè)：2、動力特性設(shè)：155其中：設(shè)：其中：設(shè)：156其中：例4：求軸向壓力作用下的簡支梁的固有頻率和振型。代入：其中：例4：求軸向壓力作用下的簡支梁的固有頻率和振型。代入：157由得：代入由得：代入158得：將代入得：振型函數(shù)：位移函數(shù)：得：將代入得：振型函數(shù)：位移函數(shù)：1594.4.3Timoshenko梁的彎曲振動1、運(yùn)動方程由dx平衡條件得：4.4.3Timoshenko梁的彎曲振動1、運(yùn)動方程由160式中：將代入得：再將變形協(xié)調(diào)關(guān)系代入得：式中：將代入得：再將變形協(xié)調(diào)關(guān)系代入得：161將代入求導(dǎo)得：由解出代入將代入求導(dǎo)得：由解出代入162得：整理得：將代入得：得：整理得：將代入得：1632、動力特性設(shè)：設(shè)：2、動力特性設(shè)：設(shè)：1644.4.4連續(xù)體系的離散化令：1、動剛度矩陣代入：得：4.4.4連續(xù)體系的離散化令：1、動剛度矩陣代入：得：165或或或或166式中：式中：1672、傳遞矩陣①場矩陣解得：2、傳遞矩陣①場矩陣解得：168其中：其中：169②點(diǎn)矩陣設(shè)：則：因此：②點(diǎn)矩陣設(shè)：則：因此：170其中：例：求兩端自由梁的頻率和振型其中：例：求兩端自由梁的頻率和振型171邊界條件：頻率方程：邊界條件：頻率方程：172例：求一端固定一端簡支梁的頻率和振型邊界條件：例：求一端固定一端簡支梁的頻率和振型邊界條件：173頻率方程：頻率方程：174例：求串聯(lián)多自由度系統(tǒng)的傳遞矩陣由彈簧平衡條件得：寫成矩陣形式：例：求串聯(lián)多自由度系統(tǒng)的傳遞矩陣由彈簧平衡條件得：寫成矩陣形175令：——場矩陣由質(zhì)點(diǎn)動平衡條件得：設(shè)：寫成矩陣形式：則：令：——場矩陣由質(zhì)點(diǎn)動平衡條件得：設(shè)：寫成矩陣形式：則：176令：——點(diǎn)矩陣傳遞矩陣：其中：——傳遞矩陣：單自由度系統(tǒng)的固有頻率：邊界條件：代入得：令：——點(diǎn)矩陣傳遞矩陣：其中：——傳遞矩陣：單自由度系統(tǒng)的固177展開第二式得：4.5薄板的彎曲振動tOa

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yz4.5.1薄板彎曲運(yùn)動方程展開第二式得：4.5薄板的彎曲振動tOabxy1781、應(yīng)力應(yīng)變分量①薄板彎曲假定直法線假定xzzdxO不計擠壓應(yīng)力剛性中面假定σyσxτxyτyxτyzτzyxyz②應(yīng)力、應(yīng)變分量1、應(yīng)力應(yīng)變分量①薄板彎曲假定直法線假定xzzdxO不計擠壓1792、彎曲運(yùn)動方程①應(yīng)變與位移關(guān)系（幾何方程）同理：由：得：2、彎曲運(yùn)動方程①應(yīng)變與位移關(guān)系（幾何方程）同理：由：得：180積分得：由剛性中面假定得：則：積分得：由剛性中面假定得：則：181②應(yīng)力與位移關(guān)系（物理方程）③內(nèi)力與位移關(guān)系②應(yīng)力與位移關(guān)系（物理方程）③內(nèi)力與位移關(guān)系182其中：④平衡條件xyzO其中：④平衡條件xyzO183高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件184略去高階小量得：同理可得：代入：得：將略去高階小量得：同理可得：代入：得：將185代入得：或其中：4.5.2簡支板固有頻率和振型1、邊界條件代入得：或其中：4.5.2簡支板固有頻率和振型1、邊界條186由得：由得：2、固有頻率設(shè)：代入方程得：由得：由得：2、固有頻率設(shè)：代入方程得：187解出本章小結(jié)1、桿的軸向振動其中：解出本章小結(jié)1、桿的軸向振動其中：188分離變量：——頻率方程——振型方程振型函數(shù)：兩端自由桿：頻率方程：得：分離變量：——頻率方程——振型方程振型函數(shù)：兩端自由桿：頻率189頻率：振型：2、梁的彎曲振動——橫向動力平衡——截面彎矩平衡①純彎曲振型方程：頻率：振型：2、梁的彎曲振動——橫向動力平衡——截面彎矩平衡190振型函數(shù)：——橫向動力平衡——截面彎矩平衡②軸力影響振型方程：振型函數(shù)：其中：振型函數(shù)：——橫向動力平衡——截面彎矩平衡②軸力影響振型方程191——橫向動力平衡③Timshenko梁的橫向振動——截面彎矩平衡由：得：——橫向動力平衡③Timshenko梁的橫向振動——截面彎矩192②應(yīng)力-位移關(guān)系(物理方程)3、薄板的彎曲振動①應(yīng)變-位移關(guān)系(幾何方程)②應(yīng)力-位移關(guān)系(物理方程)3、薄板的彎曲振動①應(yīng)變-位移關(guān)193③內(nèi)力-位移關(guān)系④平衡方程⑤運(yùn)動微分方程或③內(nèi)力-位移關(guān)系④平衡方程⑤運(yùn)動微分方程或194第5章離散多自由度系統(tǒng)第5章離散多自由度系統(tǒng)195高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件196高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件1975.1系統(tǒng)自由度5.1.1結(jié)點(diǎn)自由度1、平面桁架①系統(tǒng)自由度②節(jié)點(diǎn)位移向量2、空間桁架①系統(tǒng)自由度②節(jié)點(diǎn)位移向量5.1系統(tǒng)自由度5.1.1結(jié)點(diǎn)自由度1、平面桁架①系統(tǒng)1983、平面剛架①系統(tǒng)自由度②節(jié)點(diǎn)位移向量2、空間剛架①系統(tǒng)自由度②節(jié)點(diǎn)位移向量3、平面剛架①系統(tǒng)自由度②節(jié)點(diǎn)位移向量2、空間剛架①系統(tǒng)自由1995.2桁架結(jié)構(gòu)動力分析5.2.1桿的剛度、質(zhì)量特性1、型函數(shù)由：積分得：代入桿端參數(shù)得：代入ly5.2桁架結(jié)構(gòu)動力分析5.2.1桿的剛度、質(zhì)量特性1、200得：其中：——型函數(shù)將代入得又代入得得：其中：——型函數(shù)將代入得又代入得2012、剛度矩陣由位移法方程令：則：由虛位移原理：設(shè)：由得：2、剛度矩陣由位移法方程令：則：由虛位移原理：設(shè)：由得：202代入得：同理可得：代入位移法方程寫成矩陣形式代入得：同理可得：代入位移法方程寫成矩陣形式203或其中：——桿單元剛度矩陣3、質(zhì)量矩陣①集中質(zhì)量矩陣慣性力方程或其中：——桿單元剛度矩陣3、質(zhì)量矩陣①集中質(zhì)量矩陣慣性力方204令：則：令：由虛位移原理：則：令：由虛位移原理：令：則：令：由虛位移原理：則：令：由虛位移原理：205則：同理：展開得：或其中：——集中質(zhì)量矩陣則：同理：展開得：或其中：——集中質(zhì)量矩陣206②一致質(zhì)量矩陣令：令：由虛位移原理：同理：②一致質(zhì)量矩陣令：令：由虛位移原理：同理：207其矩陣形式或——一致質(zhì)量矩陣其中：其矩陣形式或——一致質(zhì)量矩陣其中：2085.2.2平面桁架的動力分析1、桁架結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)2、坐標(biāo)變換矩陣形式5.2.2平面桁架的動力分析1、桁架結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)2、坐209或其中：則：或①單元局部坐標(biāo)方程：其中：3、整體坐標(biāo)方程或其中：則：或①單元局部坐標(biāo)方程：其中：3、整體坐標(biāo)方程210②單元整體坐標(biāo)方程：將代入得：左乘變換矩陣得：其中：③系統(tǒng)運(yùn)動方程：②單元整體坐標(biāo)方程：將代入得：左乘變換矩陣得：其中：③系統(tǒng)運(yùn)211其中：代入單元整體坐標(biāo)方程得：整理得：其中：其中：代入單元整體坐標(biāo)方程得：整理得：其中：212例：求圖示平面桁架的固有頻率和振型132132例：求圖示平面桁架的固有頻率和振型132132213坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換214高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件215高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件216高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件217高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件218由約束條件得：設(shè)：代入并求和設(shè)：由約束條件得：設(shè)：代入并求和設(shè)：21931323211132321231235.2.3空間桁架的動力分析1、單元矩陣(1)剛度矩陣31323211132321231235.2.3空間桁架220(2)質(zhì)量矩陣(3)坐標(biāo)變換矩陣(2)質(zhì)量矩陣(3)坐標(biāo)變換矩陣221高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件2225.3框架結(jié)構(gòu)動力分析5.3.1梁單元動力特性1、型函數(shù)由積分得：或5.3框架結(jié)構(gòu)動力分析5.3.1梁單元動力特性1、型函223令：則：代入得：整理得：整理得：同理：令：則：代入得：整理得：整理得：同理：2242、剛度矩陣由位移法方程其中：令：則：2、剛度矩陣由位移法方程其中：令：則：225由虛位移原理令：則：代入得：將由虛位移原理令：則：代入得：將226寫成矩陣的形式2、質(zhì)量矩陣(1)集中質(zhì)量矩陣寫成矩陣的形式2、質(zhì)量矩陣(1)集中質(zhì)量矩陣227(2)一致質(zhì)量矩陣其中：或令：則：(2)一致質(zhì)量矩陣其中：或令：則：228令：由虛位移原理將代入得：令：由虛位移原理將代入得：2293、等效結(jié)點(diǎn)荷載設(shè)梁上作用分布荷載p(x,t)，等效結(jié)點(diǎn)荷載表示為：令：由虛位移原理則：將代入得：3、等效結(jié)點(diǎn)荷載設(shè)梁上作用分布荷載p(x,t)，等效結(jié)點(diǎn)荷載230均布荷載：4、幾何剛度均布荷載：4、幾何剛度231高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件2325.3.2平面框架動力分析1、框架單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力2、框架單元的剛度矩陣(1)拉壓剛度矩陣5.3.2平面框架動力分析1、框架單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力233(2)彎曲剛度矩陣(3)框架單元剛度矩陣3、框架單元的質(zhì)量矩陣(1)集中質(zhì)量矩陣桿單元質(zhì)量矩陣(2)彎曲剛度矩陣(3)框架單元剛度矩陣3、框架單元的質(zhì)量矩234梁單元質(zhì)量矩陣框架單元質(zhì)量矩陣梁單元質(zhì)量矩陣框架單元質(zhì)量矩陣235(2)一致質(zhì)量矩陣桿單元質(zhì)量矩陣梁單元質(zhì)量矩陣框架單元質(zhì)量矩陣(2)一致質(zhì)量矩陣桿單元質(zhì)量矩陣梁單元質(zhì)量矩陣框架單元質(zhì)量矩2364、坐標(biāo)變換(1)線位移變換矩陣(2)角位移變換矩陣(3)框架單元變換矩陣4、坐標(biāo)變換(1)線位移變換矩陣(2)角位移變換矩陣(3)框237例：用一致質(zhì)量矩陣計算圖示框架的前三階固有頻率和陣型。12解：求系統(tǒng)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣?yán)河靡恢沦|(zhì)量矩陣計算圖示框架的前三階固有12解：求系統(tǒng)238高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件239高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件240代入頻率方程解得：代入方程求得：代入頻率方程解得：代入方程求得：2415.3.3空間框架動力分析1、框架單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力2、框架單元的剛度矩陣3、框架單元的一致質(zhì)量矩陣4、坐標(biāo)變換5.3.3空間框架動力分析1、框架單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力242其中：令：其中：令：243高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件244d=0的情況d=0的情況2455.4自由度凝聚5.4.1靜力凝聚法1、剛度矩陣凝聚5.4自由度凝聚5.4.1靜力凝聚法1、剛度矩陣凝聚246由得：代入得：由得：代入得：2472、變換矩陣的計算例：2、變換矩陣的計算例：2483、質(zhì)量矩陣凝聚例：解：凝聚自由度13、質(zhì)量矩陣凝聚例：解：凝聚自由度1249矩陣分塊矩陣分塊250解出：例：解出：例：251凝聚自由度1和3凝聚自由度1和3252由得：由得：253高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件2545.4.2動力凝聚法1、凝聚矩陣設(shè)：其中：5.4.2動力凝聚法1、凝聚矩陣設(shè)：其中：2552、質(zhì)量矩陣和剛度矩陣凝聚3、解特征值問題由解出：例：解：求凝聚矩陣和動力矩陣2、質(zhì)量矩陣和剛度矩陣凝聚3、解特征值問題由解出：例：解：求256高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件257由得：代回得：由得：代回得：258由得：將由得：將259代入得：消元得：代入得：消元得：260由得：代回由得：代回261得：消元得：得：消元得：262由得：由得：2635.4.3改進(jìn)的動力凝聚法5.4.3改進(jìn)的動力凝聚法264由得：將代入求得：由得：將代入求得：265由得：5.4.4里茲法(能量法)或設(shè)：由得：5.4.4里茲法(能量法)或設(shè)：266則：令：其中：代入得：其中：則：令：其中：代入得：其中：267由能量駐值原理得：5.4.5子空間迭代法令：其中：由能量駐值原理得：5.4.5子空間迭代法令：其中：268其中：迭代格式其中：迭代格式2695.4.6模態(tài)綜合法1、固定界面法5.4.6模態(tài)綜合法1、固定界面法270高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件271高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件272例：例：273高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件274高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件275高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)課件276——模態(tài)綜合法——直接計算2、自由界面法——模態(tài)綜合法——直接計算2、自由界面法277其中：其中：278例：例：279由得：解出：由得：解出：