2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.2．已知向量、滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，，則，解得.故選：C.3．已知向量.若與共線，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得，利用向量共線得到方程，解出即可.【詳解】，由與共線得故選：A.4．已知α為第二象限角，，則cos2α=（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故選A.5．對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：①存在平面，使得，都垂直于；②存在平面，使得，都平行于；③存在直線，直線，使得；④存在異面直線，，使得，，，．其中，可以判定與平行的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，確定正確選項(xiàng)即可．【詳解】解：①若存在平面，使得，都垂直于，則與平行或相交，故①錯(cuò)誤．②若存在平面，使得，都平行于，因?yàn)榕c是不重合的兩個(gè)平面，所以與平行，故②正確．③若存在直線，直線，使得，則與平行或相交，故③錯(cuò)誤；④若存在異面直線，，使得，，，，則可以判定與平行．可在面內(nèi)作，，因?yàn)?，是異面直線，則與必相交．又，，，，，即④正確．故選：B．6．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小正值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用三角函數(shù)的圖像平移得到新的解析式，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可求得的最小正值.【詳解】，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，由該函數(shù)為偶函數(shù)可知:，即，當(dāng)時(shí)，，所以的最小正值是為.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的輔助角公式，三角函數(shù)的圖象平移，三角函數(shù)奇偶性，是中檔題.7．在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：若，則，∴，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，∴，反之也成立，故“”是“”的充要條件；故選：C8．鈍角三角形的面積是，，則=（

）A． B． C．7 D．7或1【答案】D【分析】首先根據(jù)面積公式求角，再結(jié)合余弦定理求.【詳解】，所以，或，當(dāng)時(shí)，,即，此時(shí)，滿足題意，當(dāng)，，滿足題意，所以或.故選：D9．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為4，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出平面截球面的截面圓的圓心是的中點(diǎn)，再找到截面圓的半徑和交線，從而得解.【詳解】連接，如圖，

因?yàn)橹彼睦庵睦忾L(zhǎng)均為4，，所以是正三角形，則，取的中點(diǎn)，連接，則，，易知平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故平面截球面的截面圓的圓心是點(diǎn)，取和的中點(diǎn)，連接，則，，故在球面上，又，，即，所以為直角三角形，，球面與側(cè)面的交線是側(cè)面上以為圓心，為半徑的圓弧，則.故選：B.10．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在常數(shù)a滿足，且對(duì)任意的，總存在，使得，稱函數(shù)為函數(shù).給出以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是函數(shù)；②函數(shù)是函數(shù)；③若函數(shù)是函數(shù)，則；④若函數(shù)是函數(shù)，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)題中所給定義，結(jié)合條件，逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)，分析整理，即可得答案.【詳解】對(duì)于①，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意，，令，則，函數(shù)是函數(shù)，①正確；對(duì)于②，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，顯然不存在，使得，此時(shí)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若t=4，的定義域?yàn)?，，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，則，顯然，因此，，即，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)是P()函數(shù)，則對(duì)任意，總存在使，又，取，則，當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，令，此時(shí)，則有，即對(duì)，總存在使得，當(dāng)時(shí)，同理對(duì)，總存在使得，所以，④正確，所以正確結(jié)論的序號(hào)是①④.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是掌握P(a)函數(shù)的定義，并根據(jù)選項(xiàng)所給條件，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分析和判斷作答.二、填空題11．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是.【答案】1【分析】由可得，則，根據(jù)可得的最小值.【詳解】設(shè)，，，，則，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：1.12．若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為．【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)椋瑘A錐的側(cè)面積為，底面積為，所以，解得，，所以，該圓錐的體積為．【解析】圓錐的幾何特征點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關(guān)系，熟練掌握面積、體積計(jì)算公式．13．若cos＝，cos(＋β)＝－，∈，＋β∈，則β＝.【答案】【分析】根據(jù)角的湊配可得，再根據(jù)已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)進(jìn)行代入即可得解.【詳解】，又，∈，得；，＋β∈，得，則，由∈，＋β∈得，所以．故答案為：三、雙空題14．已知平面向量，，滿足：，，，則，之間的夾角為，的取值范圍是.【答案】【分析】空1：直接利用向量夾角公式即可；空2：利用坐標(biāo)法，不妨令，設(shè)，得到，求出的范圍，再利用即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，不妨令，設(shè)，所以由,可得，所以，所以，解得，所以，故答案為：；.四、填空題15．在正方體中，棱長(zhǎng)為2，已知點(diǎn)P，Q分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）直線與直線垂直；（2）直線與直線不可能平行；（3）二面角的平面角的正弦值為；（4）的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】（1）（3）（4）【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷（1）；取、分別為、的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性可判斷（2）；利用二面角的定義可判斷（3）；將和延展至同一平面，分析可知當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)三角形邊與角的關(guān)系可求得的最小值，可判斷（4）.【詳解】對(duì)于（1），因?yàn)?，則、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，?）對(duì)；對(duì)于（2），當(dāng)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，，又因?yàn)?，此時(shí)，（2）錯(cuò)；對(duì)于（3），因?yàn)?、，平面即為平面，平面即為平面，所以，二面角即為二面角?/p>

取上下底面中心點(diǎn)分別為，分別連接，平面即為平面，由題知底面，因?yàn)槠矫?，所以，易知，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，面，則二面角即為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，，所以，則（3）正確；對(duì)于（4），因?yàn)槠矫妫矫?，則，同理可得，因?yàn)?，同理可得，，將和延展至同一平面，如下圖所示：

在中，，，因?yàn)?，，，所以，，所以，，故，所以，，?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為，（4）對(duì).故答案為：（1）（3）（4）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（3）小問(wèn)的關(guān)鍵時(shí)利用二面角的定義在圖中找到所對(duì)應(yīng)的角，再利用勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)，則得到其正弦值，第（4）問(wèn)的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)，再利用二倍角等知識(shí)點(diǎn)得到最值.五、解答題16．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，再由的取值范圍求出的范圍，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以函?shù)的最小正周期.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，又，所以，所以，則，即在上的值域?yàn)?17．如圖，中，，四邊形是正方形，平面平面，若G，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則由三角形中位線定理得，，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得，則平面，由理平面，從而可證得平面平面，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結(jié)合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是和的中點(diǎn)，，．又四邊形為正方形，，從而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，平面，則平面.

（2）為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，設(shè)，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．18．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求的大??；(2)再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用余弦定理即可得解；（2）選①②，利用余弦定理求出邊，即可得解.選①③，先利用正弦定理求出邊，從而可得角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式求出，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解.選②③，先根據(jù)，求出角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式求出，利用正弦定理求出邊，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，又，所以；（2）選①②，則，由，得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以有兩解，與題意矛盾.選①③，則，因?yàn)?，所以，故，所以，則，所以.選②③，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?19．如圖，正四棱錐，，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，

(1)求正四棱錐的表面積；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，且【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，計(jì)算出的長(zhǎng)，再結(jié)合三角形和正方形的面積公式可求得正四棱錐的表面積；（2）連接交于點(diǎn)，連接、，證明出平面，計(jì)算出的長(zhǎng)，即為所求；（3）取的中點(diǎn)為，過(guò)作的平行線交于，連接、，由線面平行的判定可得平面，根據(jù)等比例性質(zhì)有，再根據(jù)線面平行的判定得平面，最后由面面平行的判定及性質(zhì)即可確定存在性.【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋?，則，且，所以，正四棱錐的表面積為.（2）解：連接交于點(diǎn)，連接、，如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)?，則為、的中點(diǎn)，所以，，且，，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，所以，，所以，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因此，點(diǎn)到平面的距離為.（3）解：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足，理由如下：取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，過(guò)作的平行線交于，連接、.

在中，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，由，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，而，、平面，故面面，又面，則平面，此時(shí).20．已知有窮數(shù)列滿足.給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列A是m-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.(1)判斷數(shù)列是否是3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；(3)若數(shù)列不是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列，數(shù)列與數(shù)列都是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且，求的值.【答案】(1)是，理由見解析；(2)11；(3)0.【分析】（1）根據(jù)新定義直接驗(yàn)證數(shù)列作答.（2）先根據(jù)新定義證明時(shí)，數(shù)列一定是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，再驗(yàn)證時(shí)，不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列即可.（3）由都是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列可得，，再由反證法證得，即可得出的值.【詳解】（1）數(shù)列是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，理由如下:數(shù)列中，，即有，所以數(shù)列是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列.（2）設(shè)集合，則中的元素個(gè)數(shù)為，因?yàn)樵跀?shù)列中，所以，若，則，所以在這個(gè)有序數(shù)對(duì)中，至少有兩個(gè)有序數(shù)對(duì)相同，即存在正整數(shù)，使得，所以當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí)，數(shù)列一定是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若，數(shù)列不是連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列；若,數(shù)列不是連續(xù)等