極坐標與參數(shù)方程測試題(有詳解答案)

極坐標與參數(shù)方程測試題(有詳解答案)極坐標與參數(shù)方程測試題1.直線y=2x+1的參數(shù)方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t為參數(shù)）B、x=t^2，y=2t+1（t為參數(shù)）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ為參數(shù)）2.已知實數(shù)x,y滿足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，則x+2y=（）A.π/2B.πC.-π/2D.-π3.已知M(-5,3)，下列所給出的不能表示點的坐標的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.極坐標系中，下列各點與點P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）關(guān)于極軸所在直線對稱的是（）A.(-ρ,θ)B.(-ρ,-θ)C.(ρ,2π-θ)D.(ρ,2π+θ)5.點P1,-3，則它的極坐標是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，設點A,B分別在曲線C1：(x=3+cosθ,y=sinθ)（θ為參數(shù)）和曲線C2：ρ=1上，則AB的最小值為()A.1B.2C.3D.47.參數(shù)方程為x=t+1,y=2(t為參數(shù))表示的曲線是（）A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線8.若直線{t為參數(shù)}與直線4x+ky=1垂直，則常數(shù)k=（）A.-6B.-1/11C.6D.119.極坐標方程ρ=4cosθ化為直角坐標方程是()A.(x-2)+y=4B.x+y=4C.x+(y-2)=4D.(x-1)+(y-1)=410.柱坐標（2，2π/3，1）對應的點的直角坐標是（）A.(-1,3,1)B.(1,-3,1)C.(3,-1,1)D.(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角為$\theta$，點$P$為空間一點，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$為垂足，且$PA=4$，$PB=5$，設點$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距離分別為$x$、$y$。則當$\theta$變化時，點$(x,y)$的軌跡是下列圖形中的（$\mathrm{B}$）。12.已知曲線$2\rho=4\sin(x+\theta)$，圓$\rho=1$與直線$\rho\cos\theta+2\rho\sin\theta=3$，求它們的位置關(guān)系。將曲線化為$\rho=2\sin(x+\theta)$，代入直線方程得$\rho=3/\sqrt{5}$，即它們相交于一個點。13.在極坐標$(\rho,\theta)$（$0\leq\theta<2\pi$）中，曲線$\rho=2\sin\theta$與$\rho\cos\theta=-1$的交點的極坐標為$(1,\pi/6)$。14.在極坐標系中，圓$\rho=2$上的點到直線$\rho\cos\theta+3\rho\sin\theta=6$的距離的最小值是$1$。15.已知圓$C$：$(x-1)^2+y^2=1$，直線$l$：$y=1-3t$，$x=-2+3t$，求圓心到直線$l$的距離。將直線的參數(shù)方程代入圓的方程得$(3t-1)^2+(1-3t)^2=2$，即$t=1/2$，圓心到直線$l$的距離為$1/\sqrt{2}$。16.以直角坐標系的原點為極點，$x$軸的正半軸為極軸，已知曲線$C_1$：$\theta=0$，$C_2$：$\theta=\pi$，$C_3$：$3y=2\sin\theta$，且$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$，則曲線$C_1$、$C_2$、$C_3$所圍成的封閉圖形的面積是$11\pi/3$。17.（本小題滿分10分）在直角坐標系$xOy$中，直線$l$的方程為$x-y+4=0$，曲線$C$的參數(shù)方程為$x=3\cos\alpha$，$y=\sin\alpha$。$(\mathrm{I})$已知在極坐標系中，點$P$的極坐標為$(4,\pi/2)$，判斷點$P$與直線$l$的位置關(guān)系；$(\mathrm{II})$設點$Q$是曲線$C$上的一個動點，求它到直線$l$的距離的最小值。$(\mathrm{I})$將點$P$的極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標得$P(0,4)$，將直線$l$的方程轉(zhuǎn)化為極坐標系中的方程為$\rho\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，將點$P$的極坐標代入得$16\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，解得$\theta=-\pi/4$或$\theta=3\pi/4$。將這兩個極角代入直線$l$的方程得兩個交點，即$(2\sqrt{2},\pi/4)$和$(2\sqrt{2},5\pi/4)$，其中只有$(2\sqrt{2},\pi/4)$在點$P$的內(nèi)部，因此點$P$與直線$l$的位置關(guān)系為相離。$(\mathrm{II})$將直線$l$的方程轉(zhuǎn)化為極坐標系中的方程為$\rho\sin(\theta+\pi/4)=2\sqrt{2}$，將曲線$C$的參數(shù)方程代入得$\rho^2=9\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$，即$\rho^2=9+8\cos\alpha$。將$\sin(\theta+\alpha)=\rho\sin(\alpha-\theta)$代入距離公式得到到直線$l$的距離的平方為$(2\sqrt{2}-\rho\sin(\alpha-\pi/4))^2$，將$\rho^2$代入化簡得到到直線$l$的距離的平方為$17-16\cos(\alpha-\pi/4)$，因此最小值為$1$，當且僅當$\cos(\alpha-\pi/4)=-1$，即$\alpha=3\pi/4$。18.在平面直角坐標系$xOy$中，橢圓$C$方程為$(x/4)^2+(y/3)^2=1$。$(\mathrm{I})$過橢圓的右焦點，且與直線$l$：$x-2y+2=0$平行的直線的普通方程為$x-2y-2=0$。右焦點為$(\sqrt{7},0)$，直線$l$的斜率為$1/2$，因此過右焦點，且與直線$l$平行的直線的斜率為$1/2$，截距為$-3/2$，即直線的方程為$x-2y-7=0$。$(\mathrm{II})$橢圓$C$的內(nèi)接矩形的面積為$6$。內(nèi)接矩形的對角線長度為橢圓的長軸長度，即$2\sqrt{13}$。設矩形的長和寬分別為$a$和$b$，則有$a^2+b^2=52$，又因為矩形的面積為$ab$，因此要求$ab$的最大值，可以用均值不等式得到$a+b\leq2\sqrt{13}$，因此$ab\leq26$，當且僅當$a=b=\sqrt{13}$時取到。因此內(nèi)接矩形的面積為$ab=13\times2=26$。1.在極坐標系（x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為(4,)，需要判斷點P與直線l的位置關(guān)系。2.對于曲線C上的一個動點Q，需要求它到直線l的距離的最小值。3.已知參數(shù)方程式為x=2cos(t)，y=2(t+42)，直線l的參數(shù)方程為x-y+4=0，圓C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+π/2)。需要求解圓心C的直角坐標和由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值。4.已知曲線C1的參數(shù)方程式為x=3cos(θ)，y=3sin(θ)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程式為ρ=2。正方形ABCD的頂點都在C2上，且A、B、C、D依逆時針次序排列。需要求解點A、B、C、D的直角坐標和設p為C1上任意一點，求PA+PB+PC+PD的取值范圍。1.在以極軸為x軸正半軸的極坐標系中，點P的極坐標為(4,)，需要判斷它與直線l的位置關(guān)系。2.對于曲線C上的動點Q，需要求它到直線l的距離的最小值。3.已知參數(shù)方程式為x=2cos(t)，y=2(t+42)，直線l的參數(shù)方程為x-y+4=0，圓C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+π/2)。需要求圓心C的直角坐標和由直線l上的點向圓C引切線的最小切線長。4.已知曲線C1的參數(shù)方程式為x=3cos(θ)，y=3sin(θ)，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程式為ρ=2。正方形ABCD的頂點都在C2上，且A、B、C、D依逆時針次序排列。需要求點A、B、C、D的直角坐標和設p為C1上任意一點時，PA+PB+PC+PD的取值范圍。同時，刪除明顯有問題的第五段內(nèi)容。20.圓C的直角坐標方程為$x^2+y^2-2x=0$，圓心到直線l的距離為$d=\frac{35}{5\pi}$，得點M的直角坐標為(4,4)。21.解：（Ⅰ）由點M的極坐標為$(4,\frac{\pi}{6})$，所以直線OM的直角坐標方程為$y=x$。（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程$x=1+2cos\alpha$，$y=2sin\alpha$化成普通方程為$(x-1)^2+y^2=4$，圓心為A(1,0)，半徑為$r=2$。由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離最小值為$|MA|-r=5-2=3$。23.（Ⅰ）$y^2=2ax$，$y=x-2$。（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為$x=-2+\frac{t}{\sqrt{2}}$，$y=-4+\frac{t}{\sqrt{2}}$（為參數(shù)），代入$y^2=2ax$，得到$t^2-22(4+a)t+8(4+a)=0$，則有$t_1+t_2=22(4+a)$，$t_1t_2=8(4+a)$。因為$|MN|^2=|PM|\cdot|PN|$，所以$(t_1-t_2)^2=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2=t_1t_2$。解得$a=1$。24.解：（I）把極坐標系下的點P$(4,\frac{\pi}{2})$化為直角坐標，得P$(0,4)$。因為點P的直角坐標$(0,4)$滿足直線l的方程$x-y+4=0$，所以點P在直線l上。（II）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為$(3cos\alpha,sin\alpha)$，從而點Q到直線l的距離為$d=\frac{|3cos\alpha-sin\alpha+4|}{\sqrt{2}}$。由此得，當$cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=-1$時，$d$取得最小值，且最小值為2。25.解：（I）$\rho=2cos\theta-2sin\theta$，$\rho^2=2\rhocos\theta-2\rhosin\theta$，$\rho^2+2x-2y=0$，即$x^2+y^2-2x+2y=0$，圓心直角坐標為$(1,-1)$。（II）方法1：直線l上的點向圓C引切線長是$\sqrt{(2-t)^2+(t+4)^2}-1=t^2+8t+40=(t+4)^2+24\geq26$。方法2：直線l的斜率為1，過圓心$(1,-1)$的直線斜率為$\frac{1+1}{1-1}=0$，故直線l與圓C的夾角為$\frac{\pi}{