經(jīng)驗總結(jié)一行列式計算方法

a23或一列的元都是二項式，那么這個行列式等于把這些二項式各取一項作成相應行或列而其余行或列不變的兩個行列式的和。即

b2jc2 bnj

b2

c2

nDn

na(1)(j1j2jnna1j12j1j2j1

其中， 表示對所有n級排列求和。j1 是1, ,n的一個排列，j1j21是偶排列時，(1)(j1j2jn)是正號；當j 是奇排列時，(1)(j1j2jn)是1 的。a1ja2 是D中取自不不同列的n個元素的乘積 2.1：D

0000000000 由行列式的定義知除去符號差別外行列式一般項可表示為a1ja2 則D(1)(j1j2j5)a

nj1j2

1j12 其中j1, ,j5為1,2,3,4,5的任意排列,在D中位于后三行后三列的元素為零,而D2.3求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法[4]。難000100Dn01000001

n1n1其中 出其值，從而證之Dn1Dn低

階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1n-2n階 n－2[()n－2[()()]

＝＝D－D）=n－2[()2()] （1（2）

n1n1小結(jié)：雖然從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但不要盲目代，一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化的計算，如果不行的話，就要適當?shù)負Q遞推關(guān)系式，如本題。運用行列式的性質(zhì)是計算行列式的一個重要途徑,大多數(shù)行列式的計算都依賴義來計算行列式[7].行列式的性質(zhì)告訴了該如何求行列式,而一切的行列式都可(行123nn234n12.3[6]Dn34512.n12nn分析直接用化三角形法化簡很煩,觀察發(fā)現(xiàn)對于任意相鄰兩列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素與前面元素相差1,因此先從第n1列乘-1加到第n列,第n2列乘-1加到第n1列,這樣做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再計算就顯得容123nn11111234n121111解Dn3451231111n12nnn11111111112 0000000000000000000000001n(n

(n2

nn1

在例2.3中1,2, ,n,這n個數(shù) a1d a12d a1(n1)d a1d a12d a13d a1nd D a1da1ddda1(nddd dddd(n 000(n(nn 0d0(n 00 (n(n

)(nd

1n(aa(n1)d )(nd 2.3中的數(shù)

1n(aa(n 1，d1代入 )(nd 結(jié)論顯然成立2.4．拆 a2n且滿足aijaji,i,j1, ,n,對任意數(shù)b，求n階行列aa11ba12b an2a2nbna11b a12b a1nb a12b a1nb a12b Da21 a2nb a2nb a2nn an2 ann an2 ann an2 anna1n a2nba2nbbannanna2nba2nb1bA2i bA1i1b A=

i,j,且aa i,j1, 所以A1,且A'A* 得：AA－1 即A＊ 所以A＊＝A－1又' (A1)'(A')1(A)1A＊，以 A(i,j1,2, ,n)為A*的元素，n

Aij0nDn1b

Aij1列式按行（列）展開的性質(zhì)把n階行列式通過加行（列）變成與之相等的n1階行列nn

2n

a2

a3n

aaaaaaa000

a2n

2.5[4]計算nx21

x x1 1Dn

x x2 x1 1x x x21 1 先把主對角線的數(shù)都減1，這樣 就可明顯地看出第一行為x1與乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,,xn，從而就可考慮此法。 Dn

x21x21xn

2x22xnn

x2nx2n

(i rxirx

cx ii(icx ii(i

001xi20000 1先計算n1,2,3 2 0120000021000122Dn

sin(n (sin證：當n1,2D2cos D2 4cos21sin(2

2

現(xiàn)假定結(jié)論對小于等于n1

sin(n11)2100200012001200Dn00210021001200122cossin(n11)sin(n22cossinnsin(n

2cossinnsinncoscosnsin(n故當對n D j

,

或DaijAij(j1, ,n) 2.7D解D

02001101

214 n階行列式若直接用降階法計算量會大大加重.因此必須先利利用定 可以根據(jù)行列式的某一個K級字式展開嗎?拉式的計算更為簡潔,現(xiàn)引入定理.1） 2） Cnm

BB

0

Dnaaaab ( (i2,,nb00 b(n(naaaC20000(in)0000000

(n (n

00000(n2)([(n2)ab(n1)](范行列式 x x x

nx2(xxn