高二數(shù)學課件：排列組合綜合應用問題

排列組合綜合應用題排列組合綜合應用題1引入：前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題的求解方法，下面我們要在復習、鞏固已掌握的方法的基礎上，學習和討論排列、組合的綜合問題。和應用問題。

問題：解決排列組合問題一般有哪些方法？應注意什么問題？

解排列組合問題時，當問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用分類法；當問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；上述兩種稱“直接法”,當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除法,采用“間接法”；另外，排列中“相鄰”問題可采用捆綁法；“分離”問題可用插空法等。解排列組合問題，一定要做到“不重”、“不漏”。引入：前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題問2①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；③分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；④分為甲、乙、丙三組，每組4人；⑤分為三組，每組4人。例1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三3

小結：練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配問題。

1.非平均分配問題中，沒有給出組名與給出組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名而沒指明哪組是幾個，可以在沒有給出組名（或給出組名但不指明各組多少個）種數(shù)的基礎上乘以組數(shù)的全排列數(shù)。

2.平均分配問題中，給出組名的分步求；若沒給出組名的，一定要在給出組名的基礎上除以組數(shù)的全排列數(shù)。

3.部分平均分配問題中，先考慮不平均分配，剩下的就是平均分配。這樣分配問題就解決了。結論：給出組名(非平均中未指明各組個數(shù)）的要在未給出組名的種數(shù)的基礎上，乘以組數(shù)的階乘。小結：練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平均分4例2：求不同的排法種數(shù)。①6男2女排成一排，2女相鄰；②6男2女排成一排，2女不能相鄰；③4男4女排成一排，同性者相鄰；④4男4女排成一排，同性者不能相鄰。分析：

①由2女捆綁成一人與6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22種“捆綁法”

②把6男2女8人全排列，扣去2女“相鄰”就是2女“不相鄰”，所以有A88-A77.A22種?！芭懦ā?/p>

還可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相鄰的7個空位中排2女，所以共有A66.A72種.分離排列問題思考:對于不相鄰的分離排列能否都用“排除法”?若改5男3女排成一列,3女不相鄰,用排除法得對嗎?例2：求不同的排法種數(shù)。分析：①由2女捆綁成一人與6男全排5

③4男4女排成一列，同性者相鄰，把4男、4女捆綁成一個排列，然后同性者之間再全排列，所在地共有A22.A44.A44種?！袄壏ā?/p>

④同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù)位，女偶數(shù)位，或者對調(diào)?！嗫偱帕袛?shù)為A22.A44.A44種。③4男4女排成一列，同性者相鄰，把4男、4女④同6例3：某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進行混合雙打訓練，兩邊都必須要1男1女，共有多少種不同的搭配方法。

分析：每一種搭配都需要2男2女，所以先要選出2男2女，有C82.C72種；

然后考慮2男2女搭配，有多少種方法？男女----------男女①

Aa-------------Bb②

Ab-------------Ba③Bb-------------Aa④

Ba-------------Ab

顯然：①與③；②與④在搭配上是一樣的。所以只有2種方法，所以總的搭配方法有2C82.C72種。搭配問題先組后排例3：某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進分71.高二要從全級10名獨唱選手中選出6名在歌詠會上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？1.高二要從全級10名獨唱選手中選出6名在歌詠會上表演，8（一）.有條件限制的排列問題

例1：5個不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？②a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？③a,e排在一起多少種排法？④a,e不相鄰有多少種排法？⑤a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？

解：①（解題思路）分兩步完成，把a,e排在首末兩端有A22種，再把其余3個元素排在中間3個位置有A33種。由乘法共有A22.A33=12(種)排法。優(yōu)先法二.排列組合應用問題（一）.有條件限制的排列問題例1：5個不同的元素a,b9

解：②先從b,c,d三個選其中兩個排在首末兩位，有A32種，然后把剩下的一個與a,e排在中間三個位置有A33種，由乘法原理:共有A32.A33=36種排列.間接法：

A55-4A44+2A33（種）排法。解：②先從b,c,d三個選其中兩個間接法：A510

解：③捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成一個整體,作為一個元素與其它3個元素全排列，有A44種；a,e兩個元素的全排列數(shù)為A22種，由乘法原理共有A44.A22(種)排列。

解：④排除法：即用5個元素的全排列數(shù)A55，扣除a,e排在一起排列數(shù)A44.A22，則a,e不相鄰的排列總數(shù)為A55-A44.A22（種）插空法：即把a,e以外的三個元素全排列有A33種，再把a,e插入三個元素排定后形成的4個空位上有A42種，由乘法原理共有A33.A42

(種)解：③捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成11

解:

⑤a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有一種順序，但a,e間的排列數(shù)為A22，所以，可把5個元素全排列得排列數(shù)A55，然后再除以a,e的排列數(shù)A22。所以共有排列總數(shù)為A55/A22（種）

注意：若是3個元素按一定順序，則必須除以排列數(shù)P33。解:⑤a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有12

例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)。（二）有條件限制的組合問題：解法1：5個元素中至少有兩個是偶數(shù)可分成三類：①2個偶數(shù)，3個奇數(shù)；②3個偶數(shù)，2個奇數(shù)；③4個偶數(shù)，1個奇數(shù)。所以共有子集個數(shù)為

C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：從反面考慮，全部子集個數(shù)為P95，而不符合條件的有兩類：①5個都是奇數(shù)；②4個奇數(shù)，1個偶數(shù)。所以共有子集個數(shù)為C95-C55-C54.C41=105例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，913下面解法錯在哪里?

例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子集的個數(shù)。

至少有兩個偶數(shù)，可先由4個偶數(shù)中取2個偶數(shù)，然后再由剩下的7個數(shù)中選3個組成5個元素集合且滿足至少有2個是偶數(shù)。成以共有子集C42.C73=210(個)

用“具體排”來看一看是否重復，如C42中的一種選法是：選4個偶數(shù)中的2，4，又C73中選剩下的3個元素不6，1，3組成集合{2，4，6，1，3，}；再看另一種選法：由C42中選4個偶數(shù)中的4，6，又C73中選剩下的3個元素不2，1，3組成集合{4，6，2，1，3}。顯然這是兩個相同和子集，所以重復了。重復的原因是分類不獨立。下面解法錯在哪里?例2：已知集合A={1，2，3，4，14（三）排列組合混合問題：

例3：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。一共有多少種分配方案。

解1：分三步完成，1.選3名男同學有C63種，2.選2名女同學有C42種，3.對選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種).（三）排列組合混合問題：例3：從6名男同學和4名女同15

例3：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同學和2名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。一共有多少種分配方案。

解2：把工作當作元素，同學看作位置，1.從5種工作中任選3種（組合問題）分給6個男同學中的3人（排列問題）有C53.A63種,第二步,將余下的2個工作分給4個女同學中的2人有A42種.根據(jù)乘法原理共有C53.A63.A42=14400(種).亦可先分配給女同學工作,再給男同學分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(種).例3：從6名男同學和4名女同學中，選出3名男同16例4.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有+＝602種方法例4.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三解：17

排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思考起來又比較抽象。“具體排”是抽象轉化為具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一?！熬唧w排”可以幫助思考，可以找出重復，遺漏的原因。有同學總結解排列組合應用題的方法是“想透，排夠不重不漏”是很有道理的。

解排列組合應用題最重要的是，通過分析構想設計合理的解題方案，在這里抽象與具體，直接法與間接法，全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運用。課堂小結排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思考起來又比較抽18典型例題

1.4名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)為（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（）（A)20(B)19(C)10(D)69

3.小于50000且含有兩個5，而其它數(shù)字不重復的五位數(shù)有（）個。（A)(B)(C)(D)

ABB典型例題1.4名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校至少19練習

3.15人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。(1)分為三組，每組5人,共有______________種不同的分法。（2）分為甲、乙、丙三組