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文檔簡介

2021年廣西名校高考數(shù)學一模試卷(理科)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有

一項為最佳答案.

(x+2)(8x+l)15

5分)設(shè)集合A=,集合8=y\y=-----------,一?X<—

4x48

AU?8=(

2.(5分)警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁四人相互認識,警察

將四名嫌疑人分別進行審問.甲說:“是乙和丙其中一個干的乙說:“我和甲都沒干.”丙

說:“我和乙都沒干.”丁說:“我沒干已知四人中有兩人說謊,且只有一人偷竊,下列兩

人不可能同時說謊的是()

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

3.(5分)如圖,在正方體ABC。-中,AB=1,M,N分別是AB、8c的中點,

平面4AC分別與"N交于P、。兩點,則與.陽=()

A.叵

5

4.(5分)在四面體ABC。中,AB=6,BC=3,H£>=4,若NABC與/鉆。互余,則A8?C力

的最大值為()

A.20C.40D.50

5.(5分)。-1)(12-1)(元3-1)(14一1)(工5一])的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項系數(shù)乘以

各項指數(shù)之和的值為()

A.0B.55C.90D.120

6.(5分)訴-1)5-訴+1)5=()

A.1B.-1C.2D.-2

7.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,結(jié)果是(

A.162B.171C.180D.無輸出

^/t242W12°)

8.(5分)

3cos36°+l

111

A.-B.-C.D.

8642

=加5+2x/3,°,2

9.(5分)己知。=--------ln3,b=—,c=l-/n2,則()

6/

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

3.1

10.(5分)已知數(shù)列一?+3%_]+萬q=2,則log?(%+1)=()

A.631og23-31B.331og23-15C.631og32-31D.331og32-15

72

11.(5分)已知橢圓?+5=1上有相異的三點A,B,C,則5^8c的最大值為()

A.也B.3&C,巫D.376

22

、升口r十l「sin(a+〃)°sin(a4-2b)°,

12.(5分)右〃、。是小于180的正整數(shù),且滿足-;---=...-T~?則滿足條件

sin。sinZ?

的數(shù)對(。,與共有(

A.2對B.6對C.8對D.12對

二、填空題:本大題共四小題,每小題5分,共20分.

13.(5分)已知恒正函數(shù)/(幻=//(幻,f(1)=-.若%、々、/<0,且

e

x]+x2+x3=-V3/n2.則/(I)./(-4)./(g的最大值為.

Xx2工3

14.(5分)在平面直角坐標系中,A(-2,0),B(0,l),c為£+y2=i上的動點,則|AC|+|BC|

的取值范圍為一.

7

15.(5分)已知AABC滿足4?=1,AC=2,cosA=—.若E為AABC內(nèi)一點,滿足

AAE=2AB+AC(AeR),且麗?反=0,延長他至3c交于點。,則①1=.

A,

16.(5分)已知數(shù)列{〃〃}和色}滿足q=2,b]=1,atJ+hn=hn+},an+}+/?/J+I=4an,則

”2221_

4()08

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題,每

個試題考生都必須作答。第22、23為選做題,考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)在A4BC中,角A,B,C的對邊分別為。,b,C,已知

c+4Z?sinBcosC=4asinB.且A為鈍角.

(I)求角5的大??;

(H)若。=?-&,c=隨,求鄴3"8)的值.

5cos3c

18.(12分)某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號,創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無

形資產(chǎn)和重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間,將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題

包含:中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六

個好”、“五個禮讓”共5個問題,提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日,創(chuàng)城檢查人

員來到A校,隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問,其中甲只背了5個問題中的2個,

乙背了其中的3個,丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分,答錯不扣分,最終三人

得分相加,滿分60分,達到30分該學校為合格,達到50分時該學校為優(yōu)秀.

(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù));

(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列,并求出A校得分的數(shù)學期望;

(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

19.(12分)已知橢圓C:「+£=l(a>8>0)與拋物線「:y2=2px(p>0)共焦點,以橢圓的

ab'

上下頂點M、N和左、右焦點£、F2所圍成的四邊形時£叫的面積為8,經(jīng)過巴的直線交

拋物線于A、B,交橢圓于C、D,且滿足2行(一!一+二一)=—!—+—!—.

1^1ief;l\CF2\\DF2\

(1)求出橢圓和拋物線的標準方程;

(2)若點。在第三象限,且點A在點3上方,點C在點。上方,當△5耳。面積取得最

大值S時,求鈦?哥的值.

20.(12分)如圖1,矩形ABC£>中,2AB=BC,將矩形折起,使點A與點C重合,

折痕為£F.連接"、CE,以"'和EF為折痕,將四邊形ABFE折起,使點5落在線段

尸C上,將ACDE向上折起,使平面OECJ?平面尸EC,如圖2.

(1)證明:平面ABEL平面EFC;

(2)連接BE、BD,求銳二面角A-BE-。的正弦值.

]_

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x;(x>0).

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;

(II)證明:(1)xxlnx<\[x;

19

(2)xxlnx>——.

2

(二)選考題:共10分,請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第

一題計分。[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程.]

X,+>,2

22.(10分)平面直角坐標系xQy中,已知F為橢圓=1的右焦點,且。+廿=4,

靛+5

過F作兩條互相垂直的直線交橢圓分別于A、B與C、D.以尸為極點,%軸正半軸為極

軸建立極坐標系.

(I)求橢圓的極坐標方程與」一的代數(shù)表達式;

\AB\

11

(H)求4----------的取值范圍.

兩|C£||

[選修4-5:不等式選講]

23.已知a、bc>0.且a+力+c=l.

(I)求證:a2+Z?2+c2..a+b'+c3+2(ab+bc+ca)2;

(II)設(shè)大為整數(shù),且4(R?+hc+c〃)+—匚+」一+」一<%恒成立,求大的最小值.

a+2h+2c+2

2021年廣西名校高考數(shù)學一模試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有

一項為最佳答案.

1.(5分)設(shè)集合4=卜|了=空二2},集合8={y|y=(x+2;,+l)(,x<_|卜則

支常=()

A.(6,—)B.(6,—]C.(6,—)D.R

4104

■m卜木、ttjiAfI1(x+2)(8x+l)8x~+17x+21171725

【解答]解:A={x\x>6}fy=^——-----=----------=2x+—+—..2+—=—,

4x4x2x444

(-?%<-),當且僅當2x=1",即x=,時取等號,

482x2

p1上275Q63

又x=一時,y=—;x=-時,y=—,

4-4810

8=3菖超?},?B={y|y25

故選:D.

2.(5分)警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁四人相互認識,警察

將四名嫌疑人分別進行審問.甲說:“是乙和丙其中一個干的乙說:“我和甲都沒干丙

說:“我和乙都沒干丁說:“我沒干已知四人中有兩人說謊,且只有一人偷竊,下列兩

人不可能同時說謊的是()

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

【解答】解:對于A,若甲和乙同時說謊,甲說謊:則意思是甲或丁干的,乙說謊:則意

思是甲或乙干的,丙:丙和乙都沒干,是丁或甲干的,?。杭谆蛞一虮傻模藭r可能是甲

干的;

對于3,若乙和丙同時說謊,甲:丙或乙干的,乙說謊:則意思是甲或乙干的,丙說謊:

則意思是乙或丙干的,丁:甲或乙或丙干的,此時可能是乙干的;

對于C,若丙和丁同時說謊,甲:丙或乙干的,乙:丙或丁干的,丙說謊:則意思是乙或

丙干的,丁說謊:則意思是丁干的,此時選不出是誰干的,所以丙和丁不可能同時說謊;

對于。,若丁和甲同時說謊,甲說謊:則意思是甲或丁干的,乙:丙或丁干的,丙:丙和

乙都沒干,是丁或甲干的,丁說謊:則意思是丁干的,此時可能是丁干的.

故選:C.

3.(5分)如圖,在正方體ABCZ)-A8£。中,=1,M,N分別是43、8c的中點,

平面4AC分別與RN交于p、。兩點,則與.陽=()

DE

【解答】解:以力為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示,

則4(1,0,0),C(0,1,0),(1,1,1),D,(0,0,1),M(11,0),^V(1,1,0),

所以前=(-1,1,0),福'=((),1,1),

設(shè)平面ABtC的法向量為元=(x,y,z),

n-AC=—x+y=0

則有<

n?AB1=y+z=0

令y=i,則x=i,z=-i,所以元=(LL-1),

\D^A-fi\22y/3

又取=(1,0,7),所以點。到平面A4c的距離為4=

|n|=73=—

又訊=(0-^,0),所以點M到平面AB}C的距離為d,=也a='=2,

2I五I6

所以田Pl_4_亍_4

所以⑷一友+也一5

因為M,N分別為他,3c的中點,則MV//AC,

因為平面AgC,ACu平面AgC,所以MN//平面AgC,

因為MVu平面〃MN,平面“MNC平面AB。=尸。,所以PQ//MN,

設(shè)點P(X1,y,Z,),0(X2,%,Z2),

--4——■41

由D}P^-D{M,所以a,y”Z1-1)=《(1,5,-1),

22

所以J%=《,解得,

421241

所以P「W,K,同理可得Q[ww),

JJJJJJ

所以―4P-=(134)罟—。?=(314),

JJJJJ?kZ

故I即H麗|=孚,

BpB被11

所以cos/P$0

IB/IIB.QI13

2

貝ljsinNPB、Q=^\-cosAPB,Q=---,

因此?用戶||四°"而/2耳。=綿?

故選:D.

4.(5分)在四面體45C£>中,AB=6,BC=3,班>=4,若ZA3C與NAB?;ビ?,則A月?C/5

的最大值為()

A.20B.30C.40D.50

【解答】解:如圖,

D

B

C

zLA〃。與ZABZ)互余,***Z-ABD-AABC,CD—BD—BC,AB——BA,AB=6,

2

BC=3,BD=4,

麗?前二-麗?(而-而)=正炭-麗?麗=18cosZABC-24cos(--Z4BC)=18cosAABC-24sin/ABC=30sin(a-AABC)

2

“183

9其中tunct=—=—f

244

/.麗?麗的最大值為:30.

故選:B.

5.(5分)(x-l)(/-1)(V-l)(f-I)。'-1)的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項系數(shù)乘以

各項指數(shù)之和的值為()

A.0B.55C.90D.120

【解答】解:令x=l得各項系數(shù)和為0,

(x-l)(x2-l)(x3-l)(x4-IX%5-1)=x15-x14-x13+x'°+x9+x8-x1-x6-x5+x2+x-\,

貝Ij各項指數(shù)和為15+14+13+10+9+8+7+5+5+2+1=90,

則90-0x90=90,

故選:C.

6.(5分)(夜i-1)5-(應(yīng)i+1)5=()

A.1B.-1C.2D.-2

【解答】解:("一1]=一1-2萬,("+1)'=-1+2",

所以(夜i_=-7+4",訴+1)4=-7-44,

所以(血i-l)5=-1-1172/,(V2/+1)5=1-1172/,

則("_1)5_("+1)5=_2.

故選:D.

7.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,結(jié)果是()

n=3n+1

結(jié)束

A.162B.171C.180D.無輸出

【解答】解:根據(jù)題意,模擬程序框圖的運行過程,可得循環(huán)的退出條件為:”>=10.

〃的初值為17,第一次循環(huán)判斷條件〃=17成立,執(zhí)行人=左+1=1,

在以后的循環(huán)中,〃的值為:52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,

一直4,2,1循環(huán),大的值也不會發(fā)生改變,故本程序是死循環(huán),無輸出.

故選:D.

心(5分)嚷嘉5=()

111

c

A.8-B.6-4-D.

2

sin72°cos72°sin144°1

【解答】解:因為cos36°sinl8°=cos36°cos72°=

2sin36°-4sin36°—4'

cos36°-sin18°=sin54°-sin18°=sin(36°+18°)-sin(36°-18°)=2cos36°sinl8°=-,

2

令x=cos36。,可得sin18°=一,

4x

所以工一工二工,可得X=@里,可得COS36O=?1,

4x244

.27to?21TOz-“co?oo\2―|sin(42°+12°)+sin(42°—12°)]'

sin420cos120_(sin42°cos12°)_4八

3cos360+13cos360+13cos360+1

:(sin54°+sin30°);(cos36°+;)?

3cos360+13cos360+1

1(2^±1+1)2J-(7+3肉

=44232

3x或土>+1:(7+3石)

44

2

故選:A.

9.(5分)已知〃=5+2一加3,b=2,c=1-Zn2,貝U()

6e

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

【解答】國華:令/(x)=勿(1+1)一“4—X2—x3H—X4—X5,%>0?

2345

1V5

則/'(無)=-----l+x-x2+x3-x4=-------<0,

1+xl+x

故/(%)在(0,+<功上單調(diào)遞減,/(x)</(0)=0,

35

所以>(1+工)<了一,工2+lx-+1%,

235

所以山(;)<;、(;);義(;)、(;)焉273-1

1+3_2_4+35=<---------

6

因為〃=5+―加3-(1-/〃2)=~~--/n—>0,故,

662

9o

因為〃=:<2.,e7>2.77>210,

/10

,7

所以評〉2,故及2v—,

10

3

所以1—加2>6,所以〃vc,

綜上,b<c<a?

故選:B.

3o1

10.(5分)已知數(shù)列為+3?!╛]+3,q=2,則Iog2(%+1)=()

A.6310g23-31B.331og23-15C.6310g32-31D.3310g32-15

3]

【解答】解:=Q?,ti+3a,i+-,

2

24+2=3(摩]+2a,i+1)=3(an_,+1),

兩端取對數(shù)可得,

log22+log2(a?+l)=]og23+21og2(aM.1+1),

33

log式4+1)+log,-=2[log2(4i+1)+>og2-],

3

at=2,log,3+log,—=21og23-1,

3

???數(shù)列{1暇(。“+1)+1臉3}是以2年23-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,

3

5

?■.log2(a6+1)+log,-=(21og23-l)-2=641og23-32,

.,.log2(tz6+l)=631og23-31,

故選:A.

11.(5分)已知橢圓\+、=l上有相異的三點A,B,C,則“吃的最大值為(

A.—B.30C.—D.3瓜

22

【解答】解:首先證明一個結(jié)論,

設(shè)A(acosG,bsin0}),B(acos02,bsin02),C(acos,bsin03)9(0?0]<02<03<2^),

22

是橢圓二+與=1上三個不同的點,

a~b~

直線/:y=-b,A,G分別是A,B,c在直線/上的射影,

則A(acos6],-b),B1(?COS^2,-b),C^(acos^,-b),

SA43c=S梯形A&B出+S梯形Bgqc-S梯形飽'

=g(IM1+|84|)14耳|+g(|341+ICC1)144|-g(|M|+|CCJ)I4GI

=-(/?sin^+b+hsin02+/?)(?cos-acos02)^^(bsin02+b+bsinO3+b)(acos02-tzcos^)

一g(bsinG+h+hsin03+h)(acos01-tzcos^)

=go/?[sin0—耳)+sin?-冬)一sin(4-G)],

因為a,a<q<a<2乃,

所以打一可,。3一4,4一46(0,2萬),

令a=a_a,夕=g-。2,

則a+/?=4-4w(0,2i),

所以S^BC=~4"sina+sin/7—sin(a+/?)],

令p=sina+sin夕一sin(a+夕)

_.a+Ba-B_.a+£a+B

=2sin------cos----------2sin------cos.......-

2222

c.a+B,a-Ba+B..a+/八a+B、..a+6.、a+(3°.+。a+6

=2sin----(cos--------cos------)?2sm------(1-cos------)=4sin-------sin--------=8sin------cos.....-

222222444

肥l、l2a?6。+£2。+£64?2。+£?2。+£21+夕

所以p,,64sin-----—cos------=一sm———sin-------3acos———

223444

,)。+夕-a+夕.,a+0,a+0

sin"......-+sin~-----+sin"-----+3ocos~-----

6與4444

T(4

所以p,,當,

a-P

cos------=1

2

當且僅當《

?2a+4&2a+p

sin-----=3cos

22

即。=£=彳時,等號成立,

所以(5*)皿=乎血

所以a=2,b=\[2,

所以(SAAB。)〃皿x2x0=^^,

故選:C.

12.(5分)若a、。是小于180的正整數(shù),且滿足sm(”—):=sm(=26):.則滿足條件

smasmb

的數(shù)對(。,協(xié)共有()

A.2對B.6對C.8對D.12對

【解答】解:1??<180?1?z?<180?awN*,bwN'

+

2,a+力<360,Cl+bEN”,3,,a+2b<540,d+2bEN,

觀察正弦函數(shù)的圖象,

y/b

田.sm(a+b)°sm(。+2/7)0

滿足r---------=-----------的(a,b)只可能有以下兩種情況:

sm?°sinb°

?。+力+。+2b八f。+/?+a+2b

①當a=6時,則n-----------=90或------------=270,

22

;.a=b=36或a=力=108

②當£±^=90,.?/+6=180,

2

則sincf=sinb0,sin(Q+b)°=0,

...力工0,sin(a+2b)°w0,

???此時沒有滿足題意的整數(shù)對,

綜上①②,滿足題意的(。,歷有2對,

故選:A.

二、填空題:本大題共四小題,每小題5分,共20分.

13.(5分)已知恒正函數(shù)/。)=32/,(%),f(1)=-.若玉、x>x<0,且

e23

%+工2+七=-G歷2.則/(—7)?/(—)-/(-y)的最大值為_(5產(chǎn)_

【解答】解:因為%+/+玉=-百及2,

22

所以(%;+*+x;)x(l+l+l)..(%+毛+x2)=3/n2,

所以#4-^2+^../zr2,

當且僅當斗=9=X,==蛆等號成立,

因為阿(x)y=-U

x-

所以/叭x)=」+c,

X

所以/(x)=ex

由/(1)=e*c=eT,

x

所以c=0,f(x)=e9

所以/(A)-八二)?/(A)=e-L、叱,產(chǎn)=(;產(chǎn)

X1A2七2

故答案為:e嚴.

14.(5分)在平面直角坐標系中,A(-2,0),8(0,1),c為f+y2=l上的動點,則IACI+IBCI

的取值范圍為[行,眄).

——3—

【解答】解:如圖,當c與5重合或是直線他和圓的交點P時,|AC|+|BC|的最小值為

|AB|=V(-2-O)2+(O-l)2=V5,

直線AB的方程為e+;=1,即工-2》+2=0,

4

x-2y+2=0x=0543

由,叫1或<,即「(-《,?,

[y=l

所以|24|=孚,|尸3|=平,

設(shè)ZBPC=a,BiJ|BC|2=||2+1CP|2-21PB||PC|cosa,

|AC|2=|PA|2+|PC|2-21PAIIPCIcos(^-a)=PA|2+|尸C|-21PAl|PC|cosa,

所以圖+如心篙+需

代入|PA|=挈,|「8|=平,并化簡得|AC|2118cl2

=1+-|PC|2?1+-X22=—,\PC\

32663

為直徑時取等號,

由柯西不等式(畢x6+竿3轟g+等32)竽’當且僅當

V23

\AC\BC…群口―

-~~1時等號成立,

32

即(|AC|+|BCD2,,y,所以|AC|+18C|

又尸C為直徑時,殍故|AC|+|8C|<

所以|AC|+|8C|的取值范圍是[石,叵).

3

故答案為:[君,辿羽).

3

7

15.(5分)已知AA4C滿足=1,AC=2cosA=一.若石為AA3C內(nèi)一點,滿足

f25

AAE=2AB+AC(AGR),且麗?的=0,延長";至BC交于點D,則‘-后

【解答】解:令就=24月,則|入戶|=2,由COSA=K,

.714412

可得尸。2=4+4—2x2x2x—二——,所以/C=—,

25255

建立如圖所示的直角坐標系,F(xiàn)(-|,0),C(|,0),

o8

所以AO=《,所以A點坐標為叼,

34

所以2?點坐標為(-1,-),。點坐標為

由2詬=24月+前,則點E在AO上,

設(shè)E點坐標為(0,。,

—■—■—-—346184,

由E8.EC=0,可得E&EC=(_=,——?)?(---0=-———£+/=0,

555255

解得1=2+后,

5

所以|通|/一絲絲=丘叵,

555

16

所以行且絲?訕t,

\AE\6-V226-V2215

5

16

所以四1=15=6-后

Z1615

6-5/22

故答案為:6一后

16.(5分)已知數(shù)列{《,}和色}滿足q=2,4=1,+2=〃+1,+2+1=4%,則媼=

“1008

21004

【解答】解:因為4+2=仇+1,4+i+4+1=4%,且q=2,〃=1,

則以=q+4=3,

由a?=仇+i-%,可得。向=%2一〃向,

代入an+l+代?=4an,可得bn+2=地+「地,

所以如2一次M=2(%-紋),且打一24=1,

所以數(shù)列仍向-線,}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,

則%-2"=2"T,

等式兩邊同時除以可得綃一冬=1,

2”12

所以數(shù)列{條}為等差數(shù)列,且首項為,―改=2,

所以裊=2+(〃-l)xl=n+l,

所以我=(〃+1>2"-2,

則4nos=Woos=1°1°x21007-1009X2,()06=(2020-1()09)x21006=101lx21006,

所以%2—2022x22392KxM

1006

400K101Ix2

故答案為:2,(XM.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題,每

個試題考生都必須作答。第22、23為選做題,考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)在MBC中,角A,B,C的對邊分別為。,b,c,已知

c+4Z?sinBcosC=4/zsinB.且A為鈍角.

(I)求角6的大??;

(II)若b=A-6,c=莊,求生竺辿的值.

5cos3C

【解答】解:(/)因為c+4Z?sin3cosC=4asin3,

由正弦定理得,sinC+4sin2BcosC=4sinAsinB=4sinBsin(B+C),

所以sinC+4sin:BcosC=4sinBsinBcosC+4sinBsinCcosB,

即sinC=4sinBsinCeosB=2sin23sinC,

因為sinC>0,

故sin2B=L

2

由A為鈍角可知3為銳角,

TT

故0<8<一,

2

7T5萬

三角形內(nèi)角得8或8==;

1212

(II)因為b=a-也,c=~~~1b<cf

TTTT

所以3vC,0<B<-,即8=—,

412

..乃乃\/6-y/2

sin13=sin(--------)=-----------,

344

由正弦定理得,一h△=—Jc,

sinBsinC

8A/5瓜-8

所以25]/

2

由C為銳角得,cosC=yjl—sinC=,tanC=2,

2,

2tanC4tanC+tan2C32

則tan2C=---------=一一,tan3C=-------------------=---------^―=—,

\-tan~C31-tanCtan2C■

sin(3A-B)=sin[3(*-C)-/=喈.3C)=sin"-(;+3C)]=sin(3C+7=;sin3C+-cos3c=%3。+與L-2+111

cos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3c2211222

18.(12分)某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號,創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無

形資產(chǎn)和重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間,將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題

包含:中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六

個好”、“五個禮讓”共5個問題,提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日,創(chuàng)城檢查人

員來到A校,隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問,其中甲只背了5個問題中的2個,

乙背了其中的3個,丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分,答錯不扣分,最終三人

得分相加,滿分60分,達到30分該學校為合格,達到50分時該學校為優(yōu)秀.

(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù));

(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列,并求出A校得分的數(shù)學期望;

(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.

【解答】解:(1)記A校答對的題目個數(shù)為X,記事件”:A校優(yōu)秀,

c;c;c;c;+c;CCc;+C;c;c:+c;c;c;

..P(M)=P(X=5)+P(X=6)==0.174;

(2)X的可能取值為1,2,3,4,5,6,

ClC;C\6

P(X=1)=

?3500

C;C;C;C:++C;C;C:_57

P(X=2)=

500

C氾C;+C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C;C:164

P(X=3)=

500

C;C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C:++C;C;C;C;C:186

P(X=4)=

500

C;C;C;C;+C;C;C;C;+C;C;C;78

P(X=5)=

500

c;c;c;9

P(X=6)=

(C)3500

所以隨機變量的分布列如下:

X123456

P657164186789

500500500500500500

…、16c57cl64/186<78.918

E(X)=1x---F2x-----F3x---F4x----F5x----F6x----=—,

5005005005005005005

因此,A校得分的期望為10E(X)=36,

(3)建議:①強化公民道德教育,提高市民文化程度;

②加強基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè),營造優(yōu)美人居環(huán)境.

22

19.(12分)已知橢圓C:]+/=l(a>8>0)與拋物線F:y2=2px(p>0)共焦點,以橢圓的

上下頂點M、N和左、右焦點耳、鳥所圍成的四邊形M£N鳥的面積為8,經(jīng)過巴的直線交

拋物線于A、B,交橢圓于C、D,且滿足20(二一+「一)=」一+—1—.

1^1IB/Sl\CF2\\DF2\

(1)求出橢圓和拋物線的標準方程;

(2)若點。在第三象限,且點A在點5上方,點。在點£>上方,當面積取得最

大值s時,求豆瓦?哥的值.

【解答】解:(1)設(shè)過點F?的直線他的傾斜角為,,設(shè)|60=x,\F2C\=y,

由橢圓的定義可得I£0=2a-x,|耳C|=2a-y,

由余弦定理可得x?2c?cos。=(2c)2+x2-(.2a-x)2,

A2A2

整理得x=--一,同理可得丫=―--

a-CCOS0CI+CCQS0

所以1+工=2a

5,

xy

i12a

所以+=

TCF^\\DF2\~^'

所以|工。|=---=一一

。-ccos?]_£cos。

a

過點A,5兩點分別向X軸作垂線伍,BB-A,為垂足,

再設(shè)16Al=x,\F2B\=y,

可得點A的橫坐標為3+xcos6,點、B的橫坐標為]-ycos6,

由拋物線的定義可知K+xcose+'=x,--ycos0+-=y,

2222.

所以'=號'》P

1+cos。'

此時_L+_L=2,

xyP

112

所以-----1---------=一?

\AF2\\BF2\p

設(shè)橢圓C的焦距為2c,所以K=c,

2

得「:y2=4s,

又因為橢圓的上下頂點M,N和左右焦點耳,鳥所圍成的四邊形%的面積為8,

所以LX4=8,

2

解得歷=4,

又因為±?1

Pc

由2夜(一!一+」一)=」一+—!—,得2區(qū)滸

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