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文檔簡介
2021年廣西名校高考數(shù)學一模試卷(理科)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有
一項為最佳答案.
(x+2)(8x+l)15
5分)設(shè)集合A=,集合8=y\y=-----------,一?X<—
4x48
AU?8=(
2.(5分)警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁四人相互認識,警察
將四名嫌疑人分別進行審問.甲說:“是乙和丙其中一個干的乙說:“我和甲都沒干.”丙
說:“我和乙都沒干.”丁說:“我沒干已知四人中有兩人說謊,且只有一人偷竊,下列兩
人不可能同時說謊的是()
A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲
3.(5分)如圖,在正方體ABC。-中,AB=1,M,N分別是AB、8c的中點,
平面4AC分別與"N交于P、。兩點,則與.陽=()
A.叵
5
4.(5分)在四面體ABC。中,AB=6,BC=3,H£>=4,若NABC與/鉆。互余,則A8?C力
的最大值為()
A.20C.40D.50
5.(5分)。-1)(12-1)(元3-1)(14一1)(工5一])的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項系數(shù)乘以
各項指數(shù)之和的值為()
A.0B.55C.90D.120
6.(5分)訴-1)5-訴+1)5=()
A.1B.-1C.2D.-2
7.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,結(jié)果是(
A.162B.171C.180D.無輸出
^/t242W12°)
8.(5分)
3cos36°+l
111
A.-B.-C.D.
8642
=加5+2x/3,°,2
9.(5分)己知。=--------ln3,b=—,c=l-/n2,則()
6/
A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a
3.1
10.(5分)已知數(shù)列一?+3%_]+萬q=2,則log?(%+1)=()
A.631og23-31B.331og23-15C.631og32-31D.331og32-15
72
11.(5分)已知橢圓?+5=1上有相異的三點A,B,C,則5^8c的最大值為()
A.也B.3&C,巫D.376
22
、升口r十l「sin(a+〃)°sin(a4-2b)°,
12.(5分)右〃、。是小于180的正整數(shù),且滿足-;---=...-T~?則滿足條件
sin。sinZ?
的數(shù)對(。,與共有(
A.2對B.6對C.8對D.12對
二、填空題:本大題共四小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)已知恒正函數(shù)/(幻=//(幻,f(1)=-.若%、々、/<0,且
e
x]+x2+x3=-V3/n2.則/(I)./(-4)./(g的最大值為.
Xx2工3
14.(5分)在平面直角坐標系中,A(-2,0),B(0,l),c為£+y2=i上的動點,則|AC|+|BC|
的取值范圍為一.
7
15.(5分)已知AABC滿足4?=1,AC=2,cosA=—.若E為AABC內(nèi)一點,滿足
AAE=2AB+AC(AeR),且麗?反=0,延長他至3c交于點。,則①1=.
A,
16.(5分)已知數(shù)列{〃〃}和色}滿足q=2,b]=1,atJ+hn=hn+},an+}+/?/J+I=4an,則
”2221_
4()08
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題,每
個試題考生都必須作答。第22、23為選做題,考生根據(jù)要求作答.
17.(12分)在A4BC中,角A,B,C的對邊分別為。,b,C,已知
c+4Z?sinBcosC=4asinB.且A為鈍角.
(I)求角5的大??;
(H)若。=?-&,c=隨,求鄴3"8)的值.
5cos3c
18.(12分)某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號,創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無
形資產(chǎn)和重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間,將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題
包含:中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六
個好”、“五個禮讓”共5個問題,提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日,創(chuàng)城檢查人
員來到A校,隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問,其中甲只背了5個問題中的2個,
乙背了其中的3個,丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分,答錯不扣分,最終三人
得分相加,滿分60分,達到30分該學校為合格,達到50分時該學校為優(yōu)秀.
(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù));
(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列,并求出A校得分的數(shù)學期望;
(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.
19.(12分)已知橢圓C:「+£=l(a>8>0)與拋物線「:y2=2px(p>0)共焦點,以橢圓的
ab'
上下頂點M、N和左、右焦點£、F2所圍成的四邊形時£叫的面積為8,經(jīng)過巴的直線交
拋物線于A、B,交橢圓于C、D,且滿足2行(一!一+二一)=—!—+—!—.
1^1ief;l\CF2\\DF2\
(1)求出橢圓和拋物線的標準方程;
(2)若點。在第三象限,且點A在點3上方,點C在點。上方,當△5耳。面積取得最
大值S時,求鈦?哥的值.
20.(12分)如圖1,矩形ABC£>中,2AB=BC,將矩形折起,使點A與點C重合,
折痕為£F.連接"、CE,以"'和EF為折痕,將四邊形ABFE折起,使點5落在線段
尸C上,將ACDE向上折起,使平面OECJ?平面尸EC,如圖2.
(1)證明:平面ABEL平面EFC;
(2)連接BE、BD,求銳二面角A-BE-。的正弦值.
]_
21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x;(x>0).
(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;
(II)證明:(1)xxlnx<\[x;
19
(2)xxlnx>——.
2
(二)選考題:共10分,請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第
一題計分。[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程.]
X,+>,2
22.(10分)平面直角坐標系xQy中,已知F為橢圓=1的右焦點,且。+廿=4,
靛+5
過F作兩條互相垂直的直線交橢圓分別于A、B與C、D.以尸為極點,%軸正半軸為極
軸建立極坐標系.
(I)求橢圓的極坐標方程與」一的代數(shù)表達式;
\AB\
11
(H)求4----------的取值范圍.
兩|C£||
[選修4-5:不等式選講]
23.已知a、bc>0.且a+力+c=l.
(I)求證:a2+Z?2+c2..a+b'+c3+2(ab+bc+ca)2;
(II)設(shè)大為整數(shù),且4(R?+hc+c〃)+—匚+」一+」一<%恒成立,求大的最小值.
a+2h+2c+2
2021年廣西名校高考數(shù)學一模試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有
一項為最佳答案.
1.(5分)設(shè)集合4=卜|了=空二2},集合8={y|y=(x+2;,+l)(,x<_|卜則
支常=()
A.(6,—)B.(6,—]C.(6,—)D.R
4104
■m卜木、ttjiAfI1(x+2)(8x+l)8x~+17x+21171725
【解答]解:A={x\x>6}fy=^——-----=----------=2x+—+—..2+—=—,
4x4x2x444
(-?%<-),當且僅當2x=1",即x=,時取等號,
482x2
p1上275Q63
又x=一時,y=—;x=-時,y=—,
4-4810
8=3菖超?},?B={y|y25
故選:D.
2.(5分)警察抓了4名偷竊嫌疑人甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁四人相互認識,警察
將四名嫌疑人分別進行審問.甲說:“是乙和丙其中一個干的乙說:“我和甲都沒干丙
說:“我和乙都沒干丁說:“我沒干已知四人中有兩人說謊,且只有一人偷竊,下列兩
人不可能同時說謊的是()
A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲
【解答】解:對于A,若甲和乙同時說謊,甲說謊:則意思是甲或丁干的,乙說謊:則意
思是甲或乙干的,丙:丙和乙都沒干,是丁或甲干的,?。杭谆蛞一虮傻模藭r可能是甲
干的;
對于3,若乙和丙同時說謊,甲:丙或乙干的,乙說謊:則意思是甲或乙干的,丙說謊:
則意思是乙或丙干的,丁:甲或乙或丙干的,此時可能是乙干的;
對于C,若丙和丁同時說謊,甲:丙或乙干的,乙:丙或丁干的,丙說謊:則意思是乙或
丙干的,丁說謊:則意思是丁干的,此時選不出是誰干的,所以丙和丁不可能同時說謊;
對于。,若丁和甲同時說謊,甲說謊:則意思是甲或丁干的,乙:丙或丁干的,丙:丙和
乙都沒干,是丁或甲干的,丁說謊:則意思是丁干的,此時可能是丁干的.
故選:C.
3.(5分)如圖,在正方體ABCZ)-A8£。中,=1,M,N分別是43、8c的中點,
平面4AC分別與RN交于p、。兩點,則與.陽=()
DE
【解答】解:以力為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示,
則4(1,0,0),C(0,1,0),(1,1,1),D,(0,0,1),M(11,0),^V(1,1,0),
所以前=(-1,1,0),福'=((),1,1),
設(shè)平面ABtC的法向量為元=(x,y,z),
n-AC=—x+y=0
則有<
n?AB1=y+z=0
令y=i,則x=i,z=-i,所以元=(LL-1),
\D^A-fi\22y/3
又取=(1,0,7),所以點。到平面A4c的距離為4=
|n|=73=—
又訊=(0-^,0),所以點M到平面AB}C的距離為d,=也a='=2,
2I五I6
所以田Pl_4_亍_4
所以⑷一友+也一5
丁
因為M,N分別為他,3c的中點,則MV//AC,
因為平面AgC,ACu平面AgC,所以MN//平面AgC,
因為MVu平面〃MN,平面“MNC平面AB。=尸。,所以PQ//MN,
設(shè)點P(X1,y,Z,),0(X2,%,Z2),
--4——■41
由D}P^-D{M,所以a,y”Z1-1)=《(1,5,-1),
22
所以J%=《,解得,
421241
所以P「W,K,同理可得Q[ww),
JJJJJJ
所以―4P-=(134)罟—。?=(314),
JJJJJ?kZ
故I即H麗|=孚,
BpB被11
所以cos/P$0
IB/IIB.QI13
2
貝ljsinNPB、Q=^\-cosAPB,Q=---,
因此?用戶||四°"而/2耳。=綿?
故選:D.
4.(5分)在四面體45C£>中,AB=6,BC=3,班>=4,若ZA3C與NAB?;ビ?,則A月?C/5
的最大值為()
A.20B.30C.40D.50
【解答】解:如圖,
D
B
C
zLA〃。與ZABZ)互余,***Z-ABD-AABC,CD—BD—BC,AB——BA,AB=6,
2
BC=3,BD=4,
麗?前二-麗?(而-而)=正炭-麗?麗=18cosZABC-24cos(--Z4BC)=18cosAABC-24sin/ABC=30sin(a-AABC)
2
“183
9其中tunct=—=—f
244
/.麗?麗的最大值為:30.
故選:B.
5.(5分)(x-l)(/-1)(V-l)(f-I)。'-1)的展開式中各項的指數(shù)之和再減去各項系數(shù)乘以
各項指數(shù)之和的值為()
A.0B.55C.90D.120
【解答】解:令x=l得各項系數(shù)和為0,
(x-l)(x2-l)(x3-l)(x4-IX%5-1)=x15-x14-x13+x'°+x9+x8-x1-x6-x5+x2+x-\,
貝Ij各項指數(shù)和為15+14+13+10+9+8+7+5+5+2+1=90,
則90-0x90=90,
故選:C.
6.(5分)(夜i-1)5-(應(yīng)i+1)5=()
A.1B.-1C.2D.-2
【解答】解:("一1]=一1-2萬,("+1)'=-1+2",
所以(夜i_=-7+4",訴+1)4=-7-44,
所以(血i-l)5=-1-1172/,(V2/+1)5=1-1172/,
則("_1)5_("+1)5=_2.
故選:D.
7.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,結(jié)果是()
n=3n+1
結(jié)束
A.162B.171C.180D.無輸出
【解答】解:根據(jù)題意,模擬程序框圖的運行過程,可得循環(huán)的退出條件為:”>=10.
〃的初值為17,第一次循環(huán)判斷條件〃=17成立,執(zhí)行人=左+1=1,
在以后的循環(huán)中,〃的值為:52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,
一直4,2,1循環(huán),大的值也不會發(fā)生改變,故本程序是死循環(huán),無輸出.
故選:D.
心(5分)嚷嘉5=()
111
c
A.8-B.6-4-D.
2
sin72°cos72°sin144°1
【解答】解:因為cos36°sinl8°=cos36°cos72°=
2sin36°-4sin36°—4'
cos36°-sin18°=sin54°-sin18°=sin(36°+18°)-sin(36°-18°)=2cos36°sinl8°=-,
2
令x=cos36。,可得sin18°=一,
4x
所以工一工二工,可得X=@里,可得COS36O=?1,
4x244
.27to?21TOz-“co?oo\2―|sin(42°+12°)+sin(42°—12°)]'
sin420cos120_(sin42°cos12°)_4八
3cos360+13cos360+13cos360+1
:(sin54°+sin30°);(cos36°+;)?
3cos360+13cos360+1
1(2^±1+1)2J-(7+3肉
=44232
3x或土>+1:(7+3石)
44
2
故選:A.
9.(5分)已知〃=5+2一加3,b=2,c=1-Zn2,貝U()
6e
A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a
【解答】國華:令/(x)=勿(1+1)一“4—X2—x3H—X4—X5,%>0?
2345
1V5
則/'(無)=-----l+x-x2+x3-x4=-------<0,
1+xl+x
故/(%)在(0,+<功上單調(diào)遞減,/(x)</(0)=0,
35
所以>(1+工)<了一,工2+lx-+1%,
235
所以山(;)<;、(;);義(;)、(;)焉273-1
1+3_2_4+35=<---------
6
因為〃=5+―加3-(1-/〃2)=~~--/n—>0,故,
662
9o
因為〃=:<2.,e7>2.77>210,
/10
,7
所以評〉2,故及2v—,
10
3
所以1—加2>6,所以〃vc,
綜上,b<c<a?
故選:B.
3o1
10.(5分)已知數(shù)列為+3?!╛]+3,q=2,則Iog2(%+1)=()
A.6310g23-31B.331og23-15C.6310g32-31D.3310g32-15
3]
【解答】解:=Q?,ti+3a,i+-,
2
24+2=3(摩]+2a,i+1)=3(an_,+1),
兩端取對數(shù)可得,
log22+log2(a?+l)=]og23+21og2(aM.1+1),
33
log式4+1)+log,-=2[log2(4i+1)+>og2-],
3
at=2,log,3+log,—=21og23-1,
3
???數(shù)列{1暇(。“+1)+1臉3}是以2年23-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
3
5
?■.log2(a6+1)+log,-=(21og23-l)-2=641og23-32,
.,.log2(tz6+l)=631og23-31,
故選:A.
11.(5分)已知橢圓\+、=l上有相異的三點A,B,C,則“吃的最大值為(
A.—B.30C.—D.3瓜
22
【解答】解:首先證明一個結(jié)論,
設(shè)A(acosG,bsin0}),B(acos02,bsin02),C(acos,bsin03)9(0?0]<02<03<2^),
22
是橢圓二+與=1上三個不同的點,
a~b~
直線/:y=-b,A,G分別是A,B,c在直線/上的射影,
則A(acos6],-b),B1(?COS^2,-b),C^(acos^,-b),
SA43c=S梯形A&B出+S梯形Bgqc-S梯形飽'
=g(IM1+|84|)14耳|+g(|341+ICC1)144|-g(|M|+|CCJ)I4GI
=-(/?sin^+b+hsin02+/?)(?cos-acos02)^^(bsin02+b+bsinO3+b)(acos02-tzcos^)
一g(bsinG+h+hsin03+h)(acos01-tzcos^)
=go/?[sin0—耳)+sin?-冬)一sin(4-G)],
因為a,a<q<a<2乃,
所以打一可,。3一4,4一46(0,2萬),
令a=a_a,夕=g-。2,
則a+/?=4-4w(0,2i),
所以S^BC=~4"sina+sin/7—sin(a+/?)],
令p=sina+sin夕一sin(a+夕)
_.a+Ba-B_.a+£a+B
=2sin------cos----------2sin------cos.......-
2222
c.a+B,a-Ba+B..a+/八a+B、..a+6.、a+(3°.+。a+6
=2sin----(cos--------cos------)?2sm------(1-cos------)=4sin-------sin--------=8sin------cos.....-
222222444
肥l、l2a?6。+£2。+£64?2。+£?2。+£21+夕
所以p,,64sin-----—cos------=一sm———sin-------3acos———
223444
,)。+夕-a+夕.,a+0,a+0
sin"......-+sin~-----+sin"-----+3ocos~-----
6與4444
T(4
所以p,,當,
a-P
cos------=1
2
當且僅當《
?2a+4&2a+p
sin-----=3cos
22
即。=£=彳時,等號成立,
所以(5*)皿=乎血
所以a=2,b=\[2,
所以(SAAB。)〃皿x2x0=^^,
故選:C.
12.(5分)若a、。是小于180的正整數(shù),且滿足sm(”—):=sm(=26):.則滿足條件
smasmb
的數(shù)對(。,協(xié)共有()
A.2對B.6對C.8對D.12對
【解答】解:1??<180?1?z?<180?awN*,bwN'
+
2,a+力<360,Cl+bEN”,3,,a+2b<540,d+2bEN,
觀察正弦函數(shù)的圖象,
y/b
田.sm(a+b)°sm(。+2/7)0
滿足r---------=-----------的(a,b)只可能有以下兩種情況:
sm?°sinb°
?。+力+。+2b八f。+/?+a+2b
①當a=6時,則n-----------=90或------------=270,
22
;.a=b=36或a=力=108
②當£±^=90,.?/+6=180,
2
則sincf=sinb0,sin(Q+b)°=0,
...力工0,sin(a+2b)°w0,
???此時沒有滿足題意的整數(shù)對,
綜上①②,滿足題意的(。,歷有2對,
故選:A.
二、填空題:本大題共四小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)已知恒正函數(shù)/。)=32/,(%),f(1)=-.若玉、x>x<0,且
e23
%+工2+七=-G歷2.則/(—7)?/(—)-/(-y)的最大值為_(5產(chǎn)_
【解答】解:因為%+/+玉=-百及2,
22
所以(%;+*+x;)x(l+l+l)..(%+毛+x2)=3/n2,
所以#4-^2+^../zr2,
當且僅當斗=9=X,==蛆等號成立,
因為阿(x)y=-U
x-
所以/叭x)=」+c,
X
所以/(x)=ex
由/(1)=e*c=eT,
x
所以c=0,f(x)=e9
所以/(A)-八二)?/(A)=e-L、叱,產(chǎn)=(;產(chǎn)
X1A2七2
故答案為:e嚴.
14.(5分)在平面直角坐標系中,A(-2,0),8(0,1),c為f+y2=l上的動點,則IACI+IBCI
的取值范圍為[行,眄).
——3—
【解答】解:如圖,當c與5重合或是直線他和圓的交點P時,|AC|+|BC|的最小值為
|AB|=V(-2-O)2+(O-l)2=V5,
直線AB的方程為e+;=1,即工-2》+2=0,
4
x-2y+2=0x=0543
由,叫1或<,即「(-《,?,
[y=l
所以|24|=孚,|尸3|=平,
設(shè)ZBPC=a,BiJ|BC|2=||2+1CP|2-21PB||PC|cosa,
|AC|2=|PA|2+|PC|2-21PAIIPCIcos(^-a)=PA|2+|尸C|-21PAl|PC|cosa,
所以圖+如心篙+需
代入|PA|=挈,|「8|=平,并化簡得|AC|2118cl2
=1+-|PC|2?1+-X22=—,\PC\
32663
為直徑時取等號,
由柯西不等式(畢x6+竿3轟g+等32)竽’當且僅當
V23
\AC\BC…群口―
-~~1時等號成立,
32
即(|AC|+|BCD2,,y,所以|AC|+18C|
又尸C為直徑時,殍故|AC|+|8C|<
所以|AC|+|8C|的取值范圍是[石,叵).
3
故答案為:[君,辿羽).
3
7
15.(5分)已知AA4C滿足=1,AC=2cosA=一.若石為AA3C內(nèi)一點,滿足
f25
AAE=2AB+AC(AGR),且麗?的=0,延長";至BC交于點D,則‘-后
【解答】解:令就=24月,則|入戶|=2,由COSA=K,
.714412
可得尸。2=4+4—2x2x2x—二——,所以/C=—,
25255
建立如圖所示的直角坐標系,F(xiàn)(-|,0),C(|,0),
o8
所以AO=《,所以A點坐標為叼,
34
所以2?點坐標為(-1,-),。點坐標為
由2詬=24月+前,則點E在AO上,
設(shè)E點坐標為(0,。,
—■—■—-—346184,
由E8.EC=0,可得E&EC=(_=,——?)?(---0=-———£+/=0,
555255
解得1=2+后,
5
所以|通|/一絲絲=丘叵,
555
16
所以行且絲?訕t,
\AE\6-V226-V2215
5
16
所以四1=15=6-后
Z1615
6-5/22
故答案為:6一后
16.(5分)已知數(shù)列{《,}和色}滿足q=2,4=1,+2=〃+1,+2+1=4%,則媼=
“1008
21004
【解答】解:因為4+2=仇+1,4+i+4+1=4%,且q=2,〃=1,
則以=q+4=3,
由a?=仇+i-%,可得。向=%2一〃向,
代入an+l+代?=4an,可得bn+2=地+「地,
所以如2一次M=2(%-紋),且打一24=1,
所以數(shù)列仍向-線,}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
則%-2"=2"T,
等式兩邊同時除以可得綃一冬=1,
2”12
所以數(shù)列{條}為等差數(shù)列,且首項為,―改=2,
所以裊=2+(〃-l)xl=n+l,
所以我=(〃+1>2"-2,
則4nos=Woos=1°1°x21007-1009X2,()06=(2020-1()09)x21006=101lx21006,
所以%2—2022x22392KxM
1006
400K101Ix2
故答案為:2,(XM.
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.17-21為必考題,每
個試題考生都必須作答。第22、23為選做題,考生根據(jù)要求作答.
17.(12分)在MBC中,角A,B,C的對邊分別為。,b,c,已知
c+4Z?sinBcosC=4/zsinB.且A為鈍角.
(I)求角6的大??;
(II)若b=A-6,c=莊,求生竺辿的值.
5cos3C
【解答】解:(/)因為c+4Z?sin3cosC=4asin3,
由正弦定理得,sinC+4sin2BcosC=4sinAsinB=4sinBsin(B+C),
所以sinC+4sin:BcosC=4sinBsinBcosC+4sinBsinCcosB,
即sinC=4sinBsinCeosB=2sin23sinC,
因為sinC>0,
故sin2B=L
2
由A為鈍角可知3為銳角,
TT
故0<8<一,
2
7T5萬
三角形內(nèi)角得8或8==;
1212
(II)因為b=a-也,c=~~~1b<cf
TTTT
所以3vC,0<B<-,即8=—,
412
..乃乃\/6-y/2
sin13=sin(--------)=-----------,
344
由正弦定理得,一h△=—Jc,
sinBsinC
8A/5瓜-8
所以25]/
2
由C為銳角得,cosC=yjl—sinC=,tanC=2,
2,
2tanC4tanC+tan2C32
則tan2C=---------=一一,tan3C=-------------------=---------^―=—,
\-tan~C31-tanCtan2C■
sin(3A-B)=sin[3(*-C)-/=喈.3C)=sin"-(;+3C)]=sin(3C+7=;sin3C+-cos3c=%3。+與L-2+111
cos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3c2211222
18.(12分)某市在爭取創(chuàng)建全國文明城市稱號,創(chuàng)建文明城市簡稱創(chuàng)城.是極具價值的無
形資產(chǎn)和重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間,將有創(chuàng)城檢查人員到學校隨機找人進行提問.問題
包含:中國夢內(nèi)涵、社會主義核心價值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動、文明校園創(chuàng)建“六
個好”、“五個禮讓”共5個問題,提問時將從中抽取2個問題進行提問.某日,創(chuàng)城檢查人
員來到A校,隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問,其中甲只背了5個問題中的2個,
乙背了其中的3個,丙背了其中的4個.計一個問題答對加10分,答錯不扣分,最終三人
得分相加,滿分60分,達到30分該學校為合格,達到50分時該學校為優(yōu)秀.
(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù));
(2)求出A校答對的問題總數(shù)X的分布列,并求出A校得分的數(shù)學期望;
(3)請你為創(chuàng)建全國文明城市提出兩條合理的建議.
【解答】解:(1)記A校答對的題目個數(shù)為X,記事件”:A校優(yōu)秀,
c;c;c;c;+c;CCc;+C;c;c:+c;c;c;
..P(M)=P(X=5)+P(X=6)==0.174;
(2)X的可能取值為1,2,3,4,5,6,
ClC;C\6
P(X=1)=
?3500
C;C;C;C:++C;C;C:_57
P(X=2)=
500
C氾C;+C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C;C:164
P(X=3)=
500
C;C;C;C:+C;C;C;C:+C;C;C:++C;C;C;C;C:186
P(X=4)=
500
C;C;C;C;+C;C;C;C;+C;C;C;78
P(X=5)=
500
c;c;c;9
P(X=6)=
(C)3500
所以隨機變量的分布列如下:
X123456
P657164186789
500500500500500500
…、16c57cl64/186<78.918
E(X)=1x---F2x-----F3x---F4x----F5x----F6x----=—,
5005005005005005005
因此,A校得分的期望為10E(X)=36,
(3)建議:①強化公民道德教育,提高市民文化程度;
②加強基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè),營造優(yōu)美人居環(huán)境.
22
19.(12分)已知橢圓C:]+/=l(a>8>0)與拋物線F:y2=2px(p>0)共焦點,以橢圓的
上下頂點M、N和左、右焦點耳、鳥所圍成的四邊形M£N鳥的面積為8,經(jīng)過巴的直線交
拋物線于A、B,交橢圓于C、D,且滿足20(二一+「一)=」一+—1—.
1^1IB/Sl\CF2\\DF2\
(1)求出橢圓和拋物線的標準方程;
(2)若點。在第三象限,且點A在點5上方,點。在點£>上方,當面積取得最
大值s時,求豆瓦?哥的值.
【解答】解:(1)設(shè)過點F?的直線他的傾斜角為,,設(shè)|60=x,\F2C\=y,
由橢圓的定義可得I£0=2a-x,|耳C|=2a-y,
由余弦定理可得x?2c?cos。=(2c)2+x2-(.2a-x)2,
A2A2
整理得x=--一,同理可得丫=―--
a-CCOS0CI+CCQS0
所以1+工=2a
5,
xy
i12a
所以+=
TCF^\\DF2\~^'
£
所以|工。|=---=一一
。-ccos?]_£cos。
a
過點A,5兩點分別向X軸作垂線伍,BB-A,為垂足,
再設(shè)16Al=x,\F2B\=y,
可得點A的橫坐標為3+xcos6,點、B的橫坐標為]-ycos6,
由拋物線的定義可知K+xcose+'=x,--ycos0+-=y,
2222.
所以'=號'》P
1+cos。'
此時_L+_L=2,
xyP
112
所以-----1---------=一?
\AF2\\BF2\p
設(shè)橢圓C的焦距為2c,所以K=c,
2
得「:y2=4s,
又因為橢圓的上下頂點M,N和左右焦點耳,鳥所圍成的四邊形%的面積為8,
所以LX4=8,
2
解得歷=4,
又因為±?1
Pc
由2夜(一!一+」一)=」一+—!—,得2區(qū)滸
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