初等變換的應(yīng)用

矩陣初等變換的應(yīng)用舉例2內(nèi)容摘要矩陣是線性代數(shù)的重要研究對象。矩陣初等變換是線性代數(shù)中一種重要的計算工具，利用矩陣初等變換，可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關(guān)系。本文列舉了利用矩陣的初等變換解決上述問題的格式以及相關(guān)的計算實例。同時也指出由于這些計算格式有不同的原理，雖然這些計算格式有不少類似之處，但是它們也有一些明顯區(qū)別。3目錄引言1行列式的計算2求矩陣的逆3求矩陣的秩4求線性方程組的解5求向量組的線性關(guān)系6確定一向量組能否由另一向量組線性表出7求向量組的秩與極大無關(guān)組8判斷兩向量組是否等價9向量空間內(nèi)向量在基下的坐標(biāo)10一組向量組生成的子空間的基與維數(shù)11求兩個子空間的和與交的基與維數(shù)12求從一組基到另一組基的過渡矩陣結(jié)論4引言

矩陣是線性代數(shù)的重要研究對象，矩陣初等變換是線性代數(shù)中一種重要的計算工具。首先我們給出矩陣初等變換的定義。下面三種變換定義為矩陣初等行變換：

1.互換兩行（記?）；

2.以數(shù)（≠）乘以某一行（記）；

3.把某一行的倍加到另一行上（記）。若將上述定義中的“行”換成“列”，則稱之為初等列變換。初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。利用矩陣初等變換，可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關(guān)系，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等。本文列舉了利用矩陣初等變換解決上述問題的格式以及相關(guān)的計算實例。同時也指出由于這些計算格式有不同的原理，雖然這些計算格式有不少類似之處，但是它們也有一些明顯區(qū)別。我們只有了解這些計算格式的聯(lián)系與區(qū)別才能正確使用這些計算格式。首先我們給出利用初等行變換時矩陣消元的一般程序

A行階梯形矩陣行最簡形矩陣5正文1行列式的計算一般格式：經(jīng)過將行列式等行變換化為上三角形

c1……cl

=c1……cl

其中第i步使用第一型初等行變換時，取α=-1，使用第二型初等行變換時，ci=1/k使用第三型初等行變換時，ci=1（i=1，2…l）6例1計算

detA的值。解：==196。2求矩陣的逆一般格式：經(jīng)過一系列的初等行變換把n級可逆矩陣A與n級單位矩陣E所組成

n×2n的矩陣（AE）中的A化為單位矩陣，則E化為A-1這種計算格式也可以用來判斷A是否可逆，當(dāng)我們將A化為行階梯形矩陣時，若其中的非零行的個數(shù)等于n時，則A可逆，否則A不可逆。7例2求矩陣

的逆。解：8驗證：3求矩陣的秩一般格式：將m×n矩陣經(jīng)過一系列初等行變換變成階梯形矩陣行階梯形矩陣B例3求矩陣的秩A其中B中非零行數(shù)即為矩陣A的秩，記作r（A）。9:由于B中有2個非零行，所以r（A）=2。一般格式:(1)齊次線性方程組AX=0，A是m×n矩陣4求線性方程組的解1°對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(A)。若r(A)=n，則AX=0，只有零解；若r(A)＜n，則AX=0有非零解，轉(zhuǎn)入2°

2°對階梯陣?yán)^續(xù)施行初等行變換將其化為行最簡形矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，以非零行首個非零元對應(yīng)的k個未知量為基本未知量，其余的n-k個未知量為自由未知量，將自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分別令自由未知量中一個為1，其余全為0，求得AX=0的基礎(chǔ)解系：X１，X２，…，Xn-k

103°n-k個解向量的線性組合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C１，C２，…，Cn-k為任意常數(shù))就是AX=0的通解。

(2)非齊次線性方程組AX=B，A是m×n矩陣

1°對增廣矩陣(AB)進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(A)與r(AB)，若r(A)＜r(AB)，則AX=B無解；若r(A)=r(AB)則AX=B有解，轉(zhuǎn)入2°

2°對行階梯陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，將其化為行最簡形矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，此時若r(A)=r(AB)=n，則AX=B有唯一解，行最簡形矩陣所對應(yīng)的線性方程組就是這唯一解的表達(dá)式；若r(A)=r(AB)=k＜n，則AX=B有無窮多解，轉(zhuǎn)入3°

3°以非零行的首個非零元對應(yīng)的k個未知量為基本未知量，其余n-k個未知元為自由未知量，將自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量為0，求得AX=B的一個特解X0

4°在AX=B的一般解中去掉常數(shù)項，就得到導(dǎo)出組AX=0的一般解，分別令一個自由未知量為1其余自由未知量都為0，求出導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系，X１，X２，…，Xn-k與通解C１X１＋C２X2＋…＋Cn-kXn-k

5°AX=B的一個特解加導(dǎo)出組AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k為任意常數(shù))就是AX=B的通解。11解：

x=

，其中為任意常數(shù)。

例4求解非齊次線性方程組125確定向量組的線性相關(guān)性一般格式：設(shè)向量組為α1α2……αm，以α1α2……αm為列構(gòu)成矩陣A，對A施行初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩r（A），若r（A）=m，則α1α2……αm線性無關(guān)，若r（A）<m，則α1α2……αm線性相關(guān)。例5已知a1=[1,1,1]T,a2=[0,2,5]T,a3=[1,3,6]T,討論a1,a2,a3的線性相關(guān)性。解：計算以向量組成的矩陣的秩r(A)=2<3=向量個數(shù)，所給向量組是線性相關(guān)的。6確定一向量能否由另一向量線性表出一般格式：以向量組α1α2……αm與向量β為列構(gòu)成矩陣A，然后對A施行初等行變換，化為行最簡形矩陣B看B的最后一列能否由前面各列表出。13

例6已知向量組α1=(2,-1,3,1)T，α2=(4,-2,5,4)T,β=(2,-1,4,-1)T，試判斷β能否由α1，α2線性表出，若能，則寫出相關(guān)的線性組合。

解：以為列構(gòu)成矩陣，并對它施行初等行變換，化為行最簡形矩陣α1α2β故：β=3α1-α27求向量組的秩與極大無關(guān)組一般格式：設(shè)向量組α1α2……αm，以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣AB的非零行的首個元素所在的列向量對應(yīng)的α1α2……αm中的向量αi1……αir構(gòu)成一個極大無關(guān)組，其向量的個數(shù)即為向量組α1α2……αm的秩。14例7利用矩陣初等行變換求下列矩陣的行向量組的秩與一個極大無關(guān)組α1=[1,1,1,0]T,α2=[1,1,0,0]T,α3=[3,3,2,0]T,α4=[1,0,0,0]T,α5=[3,2,1,0]T解：將已知向量為列構(gòu)成4×5的矩陣A，并對它施行初等行變換故α1，α2，α4為該向量組的一個極大無關(guān)組，該向量組的秩為3。158判斷兩向量組是否等價一般格式：已知向量組α1α2……αm與β1β2…βs，分別以α1α2……αm與

β1β2…βs為列構(gòu)成矩陣A與矩陣B，即A=（α1α2……αm），

B=（β1β2…βs），令矩陣C=（A，B），對矩陣C施行初等行變換由D可求得r（A），r（B），r（C），若r（A）=r（B）=r（C），則向量組α1α2……αm與β1β2…βs等價，否則