考點(diǎn)20 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式12種常見考法歸類（原卷版）

考點(diǎn)20同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式12種常見考法歸類考點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值（一）已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值（二）利用平方關(guān)系求參數(shù)（三）由條件等式求值考點(diǎn)二利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡考點(diǎn)三正余弦齊次式的計(jì)算考點(diǎn)四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關(guān)系考點(diǎn)五利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明恒等式考點(diǎn)六給角求值問題考點(diǎn)七利用誘導(dǎo)公式化簡與求值考點(diǎn)八同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)九利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值考點(diǎn)十利用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系求解考點(diǎn)十一利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式考點(diǎn)十二新定義題1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系sin2α＋cos2α＝1.eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).這就是說，同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.2.同角關(guān)系的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα).(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1).(4)cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).3.sinα，cosα，tanα三者知一求二問題這類知一求二問題，注意判斷角的范圍，另外熟記以下常見勾股數(shù)，可以提高解題速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達(dá)式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關(guān)系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ5.正余弦齊次式處理技巧（1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分別稱為關(guān)于sinα，cosα的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解.如果分母為1，可考慮將1寫成sin2α＋cos2α.（2）已知①分式齊1次式=②分式齊2次式③齊2次整式6.與和有關(guān)的公式：對(duì)于已知sinα±cosα的求值問題，一般應(yīng)用三角恒等式，利用整體代入的方法來解，涉及的三角恒等式有：(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α注：利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào)；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的關(guān)系可實(shí)現(xiàn)和積轉(zhuǎn)化．7.同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．8.利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號(hào)．(3)對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡．9.誘導(dǎo)公式10.誘導(dǎo)公式的記憶方法①口訣記憶法：奇變偶不變，符號(hào)看象限“奇變偶不變，符號(hào)看象限”精析：（1）適用范圍：（即角中必須出現(xiàn)的整數(shù)倍才能使用誘導(dǎo)公式）（2）奇？偶？（使用誘導(dǎo)公式時(shí)先判斷是否需要變函數(shù)名）奇：指k是奇數(shù)（也即的系數(shù)是奇數(shù)）如變：指的是函數(shù)名發(fā)生改變，偶：指k是偶數(shù)（也即的系數(shù)是偶數(shù)）如，不變：函數(shù)名不發(fā)生變化三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各個(gè)角所在的象限（無論具體是什么角，都將其視為銳角）例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）確定符號(hào)：判斷符號(hào)時(shí)看原函數(shù)名，而非變化之后的函數(shù)名（6）實(shí)例：誘導(dǎo)公式1-6（7）補(bǔ)充：，，，，特殊：11.利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；（2）“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；（3）“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；（4）“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.12.應(yīng)用誘導(dǎo)公式要注意：①三角式的化簡通常先用誘導(dǎo)公式，將角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這可以避免交錯(cuò)使用公式時(shí)導(dǎo)致的混亂；②在運(yùn)用公式時(shí)正確判斷符號(hào)至關(guān)重要；③三角函數(shù)的化簡、求值是三角函數(shù)中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視；④正確理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”可以提高解題效率.13.三角函數(shù)式化簡的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).（2）切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用.14.解決條件求值問題的兩技巧（1）尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.（2）轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關(guān)鍵.（3）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（4）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（5）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化考點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值（一）已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2023春·北京石景山·高三首師大附屬蘋果園中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則_____.2．（2023春·四川甘孜·高三校考階段練習(xí)）已知，且是第二象限的角，則______．3．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市鐵路中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知為第三象限角，，則___________．4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知為銳角，，角的終邊上有一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．（二）利用平方關(guān)系求參數(shù)5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知是第四象限角，則________．6．（2023秋·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考期末）已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.(1)求實(shí)數(shù)的值，(2)求的值.7．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．（三）由條件等式求值8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若，且，則_____.9．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎?，則___________10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是第三象限角，，則________．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）__________.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡得（

）A． B．C． D．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．5 B． C．2 D．4考點(diǎn)三正余弦齊次式的計(jì)算15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________16．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)校考階段練習(xí)）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值是_____________．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．419．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考二模）已知，則的值是__________．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則______．22．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則____________.23．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知方程，則（

）A． B． C． D．24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為______.考點(diǎn)四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關(guān)系25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．26．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.28．【多選】（2023春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．29．【多選】（2023春·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明恒等式30．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）求證：＝.31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足．(1)證明：；(2)求的最大值．32．（2023春·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）求證：=．33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.考點(diǎn)六給角求值問題34．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）__________．35．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（

）A．1 B． C． D．36．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，若，則的值為______.考點(diǎn)七利用誘導(dǎo)公式化簡與求值37．（2023春·浙江杭州·高三?？计谥校┮阎瑒t的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．38．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）化簡的結(jié)果為______.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則______．40．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谀┮阎?(1)化簡；(2)若，，求的值.41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的值．考點(diǎn)八同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則_________．43．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知，，則______.44．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三校考階段練習(xí)）已知，則____________.45．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．46．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為______.48．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)九利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值49．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）若，則（

）A． B． C． D．50．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．51．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？计谥校┮阎堑诙笙蓿?，則（

）A． B． C． D．52．（2023春·河南信陽·高三河南省信陽市第二高級(jí)中學(xué)校考期中）已知，則的值是__________．考點(diǎn)十利用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系求解53．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知，且，則_______．54．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．55．（2023春·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）若是第四象限角，且,__________．56．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，則________．考點(diǎn)十一利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式57．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．