2022-2023學年黑龍江省牡丹江市高一下學期期末考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年黑龍江省牡丹江市高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1．“治國之道，富民為始.”共同富裕是社會主義的本質要求，是中國式現(xiàn)代化的重要特征，是人民群眾的共同期盼.共同富裕是全體人民通過辛勤勞動和相互幫助最終達到豐衣足食的生活水平，是消除兩極分化和貧窮基礎上的普遍富裕．請你運用數(shù)學學習中所學的統(tǒng)計知識加以分析，下列關于個人收入的統(tǒng)計量中，最能體現(xiàn)共同富裕要求的是（

）A．平均數(shù)小，方差大 B．平均數(shù)小，方差小C．平均數(shù)大，方差大 D．平均數(shù)大，方差小【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的含義即可求解.【詳解】方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動情況，方差越大說明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，平均數(shù)是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫，所以最能體現(xiàn)共同富裕要求的是平均數(shù)大，方差小.故選：D2．下列說法錯誤的是（

）A．一個棱柱至少有5個面 B．斜棱柱的側面中沒有矩形C．圓柱的母線平行于軸 D．正棱錐的側面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的性質判斷即可.【詳解】由棱柱的性質可知A正確，B錯誤；由圓柱的性質可知C正確；由正棱錐的性質可知D正確.故選：B3．已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率．先由計算器產生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結果．經隨機模擬產生了以下20組隨機數(shù)：169

966

151

525

271

937

592

408

569

683471

257

333

027

554

488

730

863

537

039據(jù)此估計的值為（

）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75【答案】B【分析】由20組隨機數(shù)中找出至少2次擊中目標的包含的隨機數(shù)的組數(shù)，即可求概率的值.【詳解】20組隨機數(shù)中至少2次擊中目標的包含的隨機數(shù)為：151

525

271

592

408

471

257

333

027

554

730

537

039一個有組，所以其3次射擊至少2次擊中目標的概率，故選：B.4．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概念，結合試驗條件逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，當從口袋中取出兩個黑球時，事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”同時發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B中，從口袋中取出兩個球，事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生，但必有一個事件發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“都是紅球”對立事件，所以B不符合題意；對于C中，當從口袋中取值一紅一黑時，事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”同時發(fā)生，所以事件“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D中，事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不能同時發(fā)生，當取出兩個紅球時，事件都沒有發(fā)生，所以事件“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥事件但不是對立事件，符合題意.故選：D.5．擲兩枚質地均勻的正方體骰子，設出現(xiàn)的點數(shù)之和為5，7，9的概率分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，擲兩枚骰子，一共有36種等可能的結果，分析出點數(shù)之和分別為5，7，9的情況種數(shù)，接下來利用概率計算公式進行計算，再比較三個概率的大小即可.【詳解】擲兩枚質地均勻的正方體骰子，記出現(xiàn)的點數(shù)為，，共有36種結果，點數(shù)之和為5的情況有，共4種，，點數(shù)之和為7的情況有，共6種，，點數(shù)之和為9的情況有，共4種，，則.故選：B.6．某校開展“正心立德，勞動樹人”主題教育活動，對參賽的100名學生的勞動作品的得分情況進行統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計值為（

）

A．70 B．77 C．80 D．82【答案】B【分析】由頻率之和為1求出值，由中位數(shù)公式計算中位數(shù)的估計值．【詳解】由頻率之和為1得：，解得，的頻率為，的頻率為，則中位數(shù)在內，所以這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計值為，故選：B．7．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對其平方化簡后，再開方可求得結果【詳解】由題意得，，因為,所以，所以，故選：C8．我們可以用24小時內降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(小于10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個圓錐形容器(如圖)接了24小時的雨水，則這天降雨屬于哪個等級（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得積水厚度，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于大雨.故選：C.二、多選題9．如圖所示，在正方體中，M，N分別為棱，的中點，其中正確的結論為（

）A．直線AM與是異面直線B．A，M，B，N四點共面C．直線BN與是異面直線D．直線MN與AC是相交直線【答案】AC【分析】根據(jù)圖形及異面直線的定義判斷即可.【詳解】因為面，面，面，，所以與是異面直線，故A正確；連接，因為面，面，面，，所以與是異面直線，故B錯誤；因為面，面，面，，所以與是異面直線，故C正確；延長與交于點，因為面，面，面，，所以與是異面直線，即與是異面直線，故D錯誤.故選：AC.10．如圖是一個古典概型的樣本空間及事件A和事件B，其中，，，，則（

）A． B．C．事件A與B互斥 D．事件A與B相互獨立【答案】ABD【分析】計算出事件A和事件B，以及，的概率，即可判斷A,B；由于，可判斷C;分別計算的值，看二者的關系，判斷D.【詳解】，，，故正確，正確；與不互斥，故C錯誤；，事件A與相互獨立，故D正確.故選：ABD.11．已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關系進行判斷A，由線面、面面垂直的判定寫性質判斷BCD．【詳解】若，可能平行也可能異面，A錯；，則，又，則，B正確；若，假設與不垂直，過直線任一點在平面內作直線，因為，所以，又，則，又，是平面內兩相交直線，因此，而，所以，即直線中如果有一條不與垂直，則另一條必定與直線垂直，C正確；若，如圖，設，，過直線上一點在平面內作直線，則，同理過在平面內作直線，則，因為過一點有且只有一條直線與一個平面垂直，所以重合，即重合為平面和的交線，所以，D正確．故選：BCD．12．如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點E，點F為棱CD的中點，則（

）A．三點共線 B．異面直線BD與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長度就是點到平面的距離，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，因為平面平面，所以平面平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點平面，所以也是平面與平面的公共點，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；因為平面平面ABCD，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線BD與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以,即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：因為，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．從我校高三某班抽取10名同學，他們的數(shù)學高考成績如下：116，117，122，125，127，131，135，139，143，150(單位：分)，則這10名同學數(shù)學成績的第70百分位數(shù)是．【答案】137【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義可求.【詳解】因為，所以這10名同學數(shù)學成績的第70百分位數(shù)是，故答案為：137.14．在正方體中，二面角的余弦值為．【答案】/【分析】連接和交于點，可證得平面，則，又，所以為二面角的平面角，在直角中，解三角形即可求出結果.【詳解】如圖，連接和交于點，連接．∵平面，平面，∴，又平面，∴平面，又平面，∴，又，∴為二面角的平面角，在直角中，設，則，故．故答案為：.15．如圖，圓柱的底面直徑AB與母線AD相等，E是弧AB的中點，則AE與BD所成的角為．

【答案】【分析】過作，交圓柱底面圓于，則即異面直線AE與BD所成的角，求解即可.【詳解】如圖，過作，交圓柱底面圓于，連接AF，DF，則即異面直線AE與BD所成的角．

不妨設，則，由題意可得是等腰直角三角形，所以．在直角中，，所以，所以是直角三角形，又，所以，故答案為：．16．如圖，在長方體中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，，E為棱CD的中點，F(xiàn)為棱（包括端點）上的動點，則三棱錐外接球表面積的最小值是．【答案】/【分析】取AE的中點，過作平面ABCD的垂線，與平面交于點M，過M作的垂線，垂足為N，設，，則．設球O的半徑為R，求出，得到的取值范圍，即得解.【詳解】解：如圖，取AE的中點，過作平面ABCD的垂線，與平面交于點M，過M作的垂線，垂足為N，則三棱錐外接球的球心O在上．設，，則．設球O的半徑為R，則，即，所以．因為，所以，則.故三棱錐外接球的表面積．故答案為：四、解答題17．已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求B；（2）設，，求c.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設，根據(jù)正弦定理得，結合三角形內角的性質得，即可求B；（2）由余弦定理，結合已知條件列方程，即可求c.【詳解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即.（2）由余弦定理，即，∴，解得.18．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）由，因為平面，得到，結合直線與平面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）連接，得到為與平面所成的角，在直角中，即可求得與平面所成的角.【詳解】（1）解：因為是正方形，所以，又因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面.（2）解：連接，因為平面，所以為與平面所成的角，因為，所以，在直角中，，所以，即與平面所成的角為.

19．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，判斷ABC的形狀；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，______？，注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】若選①，由結合可得，則，后由基本不等式結合可判斷三角形是否存在；若選②，由題可得.由余弦定理結合可得，可解得，可得.即可判斷三角形是否存在.【詳解】解：若選①，這樣的ABC不存在.理由如下：則則.得，與正弦函數(shù)的有界性矛盾.故這樣的ABC不存在；若選②，這樣的ABC存在..由余弦定理：.得.又.則.因為a，b，c成等差數(shù)列，b不是最大邊，所以，所以，即.則，則此時ABC為等邊三角形.20．立德中學在端午節(jié)到來之際準備舉辦端午知識趣味競賽，甲、乙兩位同學組成“星隊”參賽，每輪活動由甲、乙各回答一道題，已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，其中．(1)若在一輪比賽中“甲答對題目且乙答錯題目”的概率為，求;(2)在（1）的條件下，求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式列式求解；（2）設分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件，設“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語為事件，則，根據(jù)獨立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，，所以；（2）設分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件，根據(jù)題意得，．設“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語為事件，則，且與互斥，與與相互獨立，所以，因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為．21．4月23日是世界讀書日，樹人中學為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經調查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值)男生一周課外閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533女生一周課外閱讀時間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時間為的學生中按比例分配抽取6人，再從這6名學生中選出2名同學調查他們閱讀書目．求這兩人都是女生的概率；(2)分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；(3)估計總樣本的平均數(shù)和方差．參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為和，，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中．【答案】(1)(2)，；(3)，.【分析】（1）首先求出中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計算抽取的男生與女生的人數(shù)，利用古典概型公式求出概率；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；（3）首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.【詳解】（1）一周課外閱讀時間為的學生中男生有3人，女生有人，若從中按比例分配抽取6人，則男生有人，女生有人，用表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，則樣本空間為，設事件“選出兩人都是女生”，則，由于抽中中每一個樣本點的可能性相等，所以這是一個古典概型，所以.（2）估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)；估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù).（3）估計總樣本的平均數(shù)，∵，∴，，∴，所以估計總樣本的平均數(shù)，方差．22．如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點為，求的長；(3)設的大小為，若，求