2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“治國(guó)之道，富民為始.”共同富裕是社會(huì)主義的本質(zhì)要求，是中國(guó)式現(xiàn)代化的重要特征，是人民群眾的共同期盼.共同富裕是全體人民通過(guò)辛勤勞動(dòng)和相互幫助最終達(dá)到豐衣足食的生活水平，是消除兩極分化和貧窮基礎(chǔ)上的普遍富裕．請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)加以分析，下列關(guān)于個(gè)人收入的統(tǒng)計(jì)量中，最能體現(xiàn)共同富裕要求的是（

）A．平均數(shù)小，方差大 B．平均數(shù)小，方差小C．平均數(shù)大，方差大 D．平均數(shù)大，方差小【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的含義即可求解.【詳解】方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，方差越大說(shuō)明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，平均數(shù)是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫(huà)，所以最能體現(xiàn)共同富裕要求的是平均數(shù)大，方差小.故選：D2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 B．斜棱柱的側(cè)面中沒(méi)有矩形C．圓柱的母線(xiàn)平行于軸 D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的性質(zhì)判斷即可.【詳解】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯(cuò)誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.故選：B3．已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率．先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標(biāo)，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：169

966

151

525

271

937

592

408

569

683471

257

333

027

554

488

730

863

537

039據(jù)此估計(jì)的值為（

）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75【答案】B【分析】由20組隨機(jī)數(shù)中找出至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，即可求概率的值.【詳解】20組隨機(jī)數(shù)中至少2次擊中目標(biāo)的包含的隨機(jī)數(shù)為：151

525

271

592

408

471

257

333

027

554

730

537

039一個(gè)有組，所以其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率，故選：B.4．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球” D．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概念，結(jié)合試驗(yàn)條件逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)從口袋中取出兩個(gè)黑球時(shí)，事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”同時(shí)發(fā)生，所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對(duì)于B中，從口袋中取出兩個(gè)球，事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”對(duì)立事件，所以B不符合題意；對(duì)于C中，當(dāng)從口袋中取值一紅一黑時(shí)，事件“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”同時(shí)發(fā)生，所以事件“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對(duì)于D中，事件“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，當(dāng)取出兩個(gè)紅球時(shí)，事件都沒(méi)有發(fā)生，所以事件“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥事件但不是對(duì)立事件，符合題意.故選：D.5．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5，7，9的概率分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，擲兩枚骰子，一共有36種等可能的結(jié)果，分析出點(diǎn)數(shù)之和分別為5，7，9的情況種數(shù)，接下來(lái)利用概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，再比較三個(gè)概率的大小即可.【詳解】擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，，共有36種結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有，共4種，，點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有，共6種，，點(diǎn)數(shù)之和為9的情況有，共4種，，則.故選：B.6．某校開(kāi)展“正心立德，勞動(dòng)樹(shù)人”主題教育活動(dòng)，對(duì)參賽的100名學(xué)生的勞動(dòng)作品的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計(jì)值為（

）

A．70 B．77 C．80 D．82【答案】B【分析】由頻率之和為1求出值，由中位數(shù)公式計(jì)算中位數(shù)的估計(jì)值．【詳解】由頻率之和為1得：，解得，的頻率為，的頻率為，則中位數(shù)在內(nèi)，所以這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計(jì)值為，故選：B．7．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡(jiǎn)后，再開(kāi)方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選：C8．我們可以用24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度．其中小雨(小于10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器(如圖)接了24小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得積水厚度，即可得解.【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿(mǎn)一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于大雨.故選：C.二、多選題9．如圖所示，在正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論為（

）A．直線(xiàn)AM與是異面直線(xiàn)B．A，M，B，N四點(diǎn)共面C．直線(xiàn)BN與是異面直線(xiàn)D．直線(xiàn)MN與AC是相交直線(xiàn)【答案】AC【分析】根據(jù)圖形及異面直線(xiàn)的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線(xiàn)，故A正確；連接，因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線(xiàn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線(xiàn)，故C正確；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，因?yàn)槊?，面，面，，所以與是異面直線(xiàn)，即與是異面直線(xiàn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間及事件A和事件B，其中，，，，則（

）A． B．C．事件A與B互斥 D．事件A與B相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】計(jì)算出事件A和事件B，以及，的概率，即可判斷A,B；由于，可判斷C;分別計(jì)算的值，看二者的關(guān)系，判斷D.【詳解】，，，故正確，正確；與不互斥，故C錯(cuò)誤；，事件A與相互獨(dú)立，故D正確.故選：ABD.11．已知為不同的直線(xiàn)，為不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線(xiàn)垂直D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)空間直線(xiàn)與平面間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷A，由線(xiàn)面、面面垂直的判定寫(xiě)性質(zhì)判斷BCD．【詳解】若，可能平行也可能異面，A錯(cuò)；，則，又，則，B正確；若，假設(shè)與不垂直，過(guò)直線(xiàn)任一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)，因?yàn)?，所以，又，則，又，是平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)，因此，而，所以，即直線(xiàn)中如果有一條不與垂直，則另一條必定與直線(xiàn)垂直，C正確；若，如圖，設(shè)，，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)，則，同理過(guò)在平面內(nèi)作直線(xiàn)，則，因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，所以重合，即重合為平面和的交線(xiàn)，所以，D正確．故選：BCD．12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（

）A．三點(diǎn)共線(xiàn) B．異面直線(xiàn)BD與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】由題意可證得三點(diǎn)都在平面與平面的交線(xiàn)上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，求解可判斷C；取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榈酌鍭BCD的中心，所以為BD和AC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線(xiàn)上，即三點(diǎn)共線(xiàn)，故A正確；因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線(xiàn)BD與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正三角形的邊長(zhǎng)為，所以，又，所以,即點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，如圖：因?yàn)?，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．從我校高三某班抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?nèi)缦拢?16，117，122，125，127，131，135，139，143，150(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第70百分位數(shù)是．【答案】137【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義可求.【詳解】因?yàn)椋赃@10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第70百分位數(shù)是，故答案為：137.14．在正方體中，二面角的余弦值為．【答案】/【分析】連接和交于點(diǎn)，可證得平面，則，又，所以為二面角的平面角，在直角中，解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接和交于點(diǎn)，連接．∵平面，平面，∴，又平面，∴平面，又平面，∴，又，∴為二面角的平面角，在直角中，設(shè)，則，故．故答案為：.15．如圖，圓柱的底面直徑AB與母線(xiàn)AD相等，E是弧AB的中點(diǎn)，則AE與BD所成的角為．

【答案】【分析】過(guò)作，交圓柱底面圓于，則即異面直線(xiàn)AE與BD所成的角，求解即可.【詳解】如圖，過(guò)作，交圓柱底面圓于，連接AF，DF，則即異面直線(xiàn)AE與BD所成的角．

不妨設(shè)，則，由題意可得是等腰直角三角形，所以．在直角中，，所以，所以是直角三角形，又，所以，故答案為：．16．如圖，在長(zhǎng)方體中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，E為棱CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值是．【答案】/【分析】取AE的中點(diǎn)，過(guò)作平面ABCD的垂線(xiàn)，與平面交于點(diǎn)M，過(guò)M作的垂線(xiàn)，垂足為N，設(shè)，，則．設(shè)球O的半徑為R，求出，得到的取值范圍，即得解.【詳解】解：如圖，取AE的中點(diǎn)，過(guò)作平面ABCD的垂線(xiàn)，與平面交于點(diǎn)M，過(guò)M作的垂線(xiàn)，垂足為N，則三棱錐外接球的球心O在上．設(shè)，，則．設(shè)球O的半徑為R，則，即，所以．因?yàn)椋?，則.故三棱錐外接球的表面積．故答案為：四、解答題17．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求B；（2）設(shè)，，求c.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)，根據(jù)正弦定理得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，即可求B；（2）由余弦定理，結(jié)合已知條件列方程，即可求c.【詳解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即.（2）由余弦定理，即，∴，解得.18．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，因?yàn)槠矫?，得到，結(jié)合直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）連接，得到為與平面所成的角，在直角中，即可求得與平面所成的角.【詳解】（1）解：因?yàn)槭钦叫危?，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平?（2）解：連接，因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成的角，因?yàn)?，所以，在直角中，，所以，即與平面所成的角為.

19．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，判斷ABC的形狀；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：是否存在ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且，______？，注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】若選①，由結(jié)合可得，則，后由基本不等式結(jié)合可判斷三角形是否存在；若選②，由題可得.由余弦定理結(jié)合可得，可解得，可得.即可判斷三角形是否存在.【詳解】解：若選①，這樣的ABC不存在.理由如下：則則.得，與正弦函數(shù)的有界性矛盾.故這樣的ABC不存在；若選②，這樣的ABC存在..由余弦定理：.得.又.則.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，b不是最大邊，所以，所以，即.則，則此時(shí)ABC為等邊三角形.20．立德中學(xué)在端午節(jié)到來(lái)之際準(zhǔn)備舉辦端午知識(shí)趣味競(jìng)賽，甲、乙兩位同學(xué)組成“星隊(duì)”參賽，每輪活動(dòng)由甲、乙各回答一道題，已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，其中．(1)若在一輪比賽中“甲答對(duì)題目且乙答錯(cuò)題目”的概率為，求;(2)在（1）的條件下，求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式列式求解；（2）設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，設(shè)“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)為事件，則，根據(jù)獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，，所以；（2）設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，根據(jù)題意得，．設(shè)“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)為事件，則，且與互斥，與與相互獨(dú)立，所以，因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為．21．4月23日是世界讀書(shū)日，樹(shù)人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的頻率分布直方圖．(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值)男生一周課外閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表小時(shí)頻數(shù)92533女生一周課外閱讀時(shí)間頻率分布直方圖

(1)從一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再?gòu)倪@6名學(xué)生中選出2名同學(xué)調(diào)查他們閱讀書(shū)目．求這兩人都是女生的概率；(2)分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)；(3)估計(jì)總樣本的平均數(shù)和方差．參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時(shí)間方差的估計(jì)值分別為和，，和分別表示男生和女生一周閱讀時(shí)間的樣本，其中．【答案】(1)(2)，；(3)，.【分析】（1）首先求出中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計(jì)算抽取的男生與女生的人數(shù)，利用古典概型公式求出概率；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得；（3）首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.【詳解】（1）一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有3人，女生有人，若從中按比例分配抽取6人，則男生有人，女生有人，用表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，則樣本空間為，設(shè)事件“選出兩人都是女生”，則，由于抽中中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型，所以.（2）估計(jì)男生一周課外閱讀時(shí)間平均數(shù)；估計(jì)女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)，∵，∴，，∴，所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)，方差．22．如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)的大小為，若，求