2021年全國乙卷文科數(shù)學(xué)真題與答案解析(含一題多解及特殊解法)

2021年全國乙卷文科數(shù)學(xué)真題與答案解析（含一題多解及特殊解法）

時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,2},N={3,4},則加（MuN）=（）

A.B.{1,2}C.{34}D.{1,2,3,4)

2.設(shè)iz=4+3i,則2=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.已知命題"：mxwR,sinx<l;命題，即21,則下列命題中為真命題的是（

A.B.FMC.pdfD.」(pvq)

xx

4.函數(shù)/（x）=sing+cos，的最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和行B.3兀和2C.6兀和加D.6兀和2

x+y>4,

5.若X，）’滿足約束條件，%-曠42,則2=3》+），的最小值為（）

A.18B.10C.6D.4

2兀25兀_

6.cos---cos()

12

B百V2

A.CD.

~232

在區(qū)間（0，11個數(shù)，則取到的數(shù)小于'的概率為（）

7.隨機取

12」3

321

A.—B.一C.-D.

4336

8.下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B>=卜回+"

?4

C.y=2x+22-xD.y=lnx+------

Inx

1—r

，設(shè)函數(shù)小）=苒，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.B./（X-1）+1C./（X+1）-1D./（X+1）+1

10.在正方體ABC。-44GA中，a為4。的中點，則直線P8與所成的角為（）

11.設(shè)8是橢圓C：,+y2=i的上頂點，點尸在。上，則|PB|的最大值為（）

A.-B,V6C.75D.2

2

12.設(shè)a#O,若x=a為函數(shù)/（x）=a（x-a）2（x—o）的極大值點，貝|j（）

A.a<bB,a>bC.ab<a2D.ab>a1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量4=（2,5）石=（2,4）,若a〃〃，貝ij/l=.

r22

14.雙曲線匕一v匕=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為.

45

15.記AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,面積為后，3=60。，a2+c2=3ac,

則力=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視

圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

2-H

圖③

三、解答題.共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一

臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.11029.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為f和J,樣本方差分別記為S：和St

（1）求x,y,S：,Si；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y—5z2

則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PO_L底面ABCD,M為BC的中點，且.

(1)證明：平面平面

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P—ABC。的體積.

19.設(shè)｛。“｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛"｝滿足a=等.已知4,3%,9%成等差數(shù)列.

(1)求｛4｝和也｝的通項公式；

C

⑵記S,,和T?分別為｛a,,｝和也｝的前n項和.證明：(〈寧.

20.已知拋物線C:丁=2Px(p>0)的焦點打到準(zhǔn)線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點，點。在C上，點。滿足而=9。聲，求直線。。斜率的最大值.

21.已知函數(shù)/(%)=1一/+"+1.

(1)討論/(力的單調(diào)性；

(2)求曲線y=“X)過坐標(biāo)原點的切線與曲線>=/(x)的公共點的坐標(biāo).

(-)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做的第一題

計分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系中，(DC的圓心為C(2,l),半徑為1.

(D寫出OC的一個參數(shù)方程；

(2)過點尸(4,1)作OC的兩條切線.以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

［選修4—5:不等式選講］

23.已知函數(shù)/(》)=上一4+,+3|.

(1)當(dāng)4=1時，求不等式“X)之6的解集；

(2)若〃x)>—樂求a的取值范圍.

參考答案

1.答案：A

分析：本題主要考查集合的并集和補集運算。

解析：本題主要考查集合的運算.由題意知MnN={l,2,3,4},所以電(〃UN)={5}.故本題正確

答案為A.

2.答案：C

分析：本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算。

解法1：用復(fù)數(shù)的乘法，有-i2z=Ti-3i?,所以z=3-4i.故本題正確答案為C.

解法2：有復(fù)數(shù)的除法，z=—=^^=3-4/,

1r

3.答案：A

分析：本題主要考查命題和四種復(fù)合命題的真假判斷。

解析：由已知可得命題P為真命題，命題q為真命題，所以0八4為真命題，故選A.

4.答案：C

分析：本題主要考查輔助角公式、最小正周期和最大值，關(guān)鍵是對三角函數(shù)式進行化簡。

解析：本題主要考查三角函數(shù)./(x)=sin-+cos-=V2x(^-sin-+^cos-)

332323

=>/2x(sin^cos^+cos^sin^)=5/2sin(^+^),所以/(x)的最小正周期為f=6兀，值域為

3

[-72,72],所以/(x)的最大值為72.故本題正確答案為C.

5.答案：C

分析：本題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值。

x+y>4

解法1：本題主要考查線性規(guī)劃.作出約束條件x-y42下的可行域，如下圖陰影部分所示，當(dāng)

,”3

直線z=3x+y經(jīng)過點(1,3)時，z取得最小值，此時=3xl+3=6.

故本題正確答案為C.

x+y>4

解法2：作出約束條件，x-y42下的可行域，求出可行域三角形的三個頂點坐標(biāo)，代入目標(biāo)函

.”3

數(shù)，比較可得，(1,3)時，z取得最小值，此時ZmM=3xl+3=6.

6.答案：D

分析：本題主要考查三角倍角公式公式、誘導(dǎo)公式及其變形和運算。

1+cos(—x2)1+cos(—兀x2)1u、仄伉rz

解法1:原式=------起-----------以——=lx(cos--cos—)=工(由■+包)=史.故本題

222662222

正確答案為D.

222兀走

解法2：原式ucos2-^■-cos(---)=cos—■一sin—=cos(2x—)=cos—

1221212121262

7.答案：B

分析：本題主要考查幾何概型概率計算。

--0°

解析：本題主要考查隨機抽樣.P=^—=±.故本題正確答案為B.

i-03

2

8.答案：C

分析：本題主要考查二次函數(shù)的最值，基本不等式及其使用條件。

解析：本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)和均值不等式.

A項，y=x2+2x+4=(x+l)2+3,則以加=3.故A項不符合題意.

y=|sinx|+—-—,,keZ、所以y22，sinx|--一=4,當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=2時

B項,

|sinx|7|sinx|

等號成立，而|sinx|e(OJ,所以等號不成立，所以y>4.故B項不符合題意.

C項，丫=2*+22-"=2'+之22/2匚之=4,當(dāng)且僅當(dāng)2'=2即x=1時，等號成立，所以為曲=4.

乙V乙

故C項符合題意.

4

D項，當(dāng)x￡(O,l)時，y=lnx+&<0.故D項不符合題意.故本題正確答案為C.

Inx

9.答案：B

分析：本題主要考查函數(shù)解析式的有關(guān)計算及奇函數(shù)定義，分別求出各個選項的函數(shù)解析式，

再利用奇函數(shù)的定義即可.

1-r?

解法1：由題意可得/(x)=--=-1+——，

1+X1+X

2

對于A,y(x-l)-l=――2不是奇函數(shù)；

X

2

對于B,/(X—1)+1=一是奇函數(shù)；

X

對于C,/(x+l)-l=——一2,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；

x+2

對于D,/(X+l)+l=—2—,定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).

x+2

故選：B

解法2：由/*)=上*=_1+二_可知，函數(shù)f(x)關(guān)于(-1,-1)中心對稱，所以函數(shù)f(x)向右平

1+xx+\

移1個單位，再向上平移1個單位后就關(guān)于(0,0)中心對稱，四個選項中只有.v=f(x-1)+1關(guān)于

(0,0)中心對稱，所以y=/(x-1)+1為奇函數(shù).故本題正確答案為B.

10.答案：D

分析：本題考查異面直線所成角的求法，對于文科來說就用一般法，直接平移直線4A至BG,

將直線必與所成的角轉(zhuǎn)化為陽與BQ所成的角，解三角形即可；

解析：如圖，連接妝能交于。點，連接OR,ADt,BP,設(shè)正方體棱長為x,因為AP//OB//B。

且RP=BO=；BD,所以四邊形ORPB為平行四邊形，所以BP//O。，乙4￡)。即為所求角.因

為AD=DQ=x,所以A°=&x,AO=DO=^x,DQ=QDO?+=^X.

在皿。中,由余弦定理可得，…0y"邛,因為/秋。?(。3所

以ZAD,O=~.故本題正確答案為D.

11.答案：A

分析：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、參數(shù)方程及二次函數(shù)求最值。

解法1：.由題意得：8(0,1),設(shè)P(x,y).貝I||P8『=(x-0)2+(y-l)2=f+y2-2y+i

2i2951

=5(1-/)+/-2>'+1=-4y-2y+6^-4(y+-)+^-.因為一14y41,所以當(dāng)y=—上時，

444

Im,此時|/叫最大為|?故本題正確答案為A.

解法2：設(shè)P(6cos仇sin9),

貝IJ|PB|2=(>/5COS0-O)2+(sin0-l)2=^sin20-2sin0+6=^(sin0+-)2+—,所以當(dāng)

44

sin"—1時，|P3|；=F，此時|陽最大為土

12.答案:D

分析：本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分類討論思想，

結(jié)合圖象對a進行分類討論，畫出/(X)圖象，或者直接用導(dǎo)數(shù)和極值點進行討論，由此確定正

確選項.

解法1:顯然根據(jù)備選答案，有。￥江

因為x=a為函數(shù)/(x)=a(x—a)2(x—。)的極大值點，也即為函數(shù)的一個零點

若a>0,其圖像如圖①，此時，0<a<b;若a<0,其圖像如圖②，此時，b<a<0.

bh

圖①圖②

綜上，ab>cr.

故選：D

解法2：因為/,(X)=a(x-a)(3x-a-2b),

令/'(x)=a(x-a)(3x-a-2b)=0,得函數(shù)f(x)的兩個極值點為a,y一

要使a為極大值點，當(dāng)a>0時，a<"Z,即a-b<0,有a(a-b)8,即ab>a?;

a?2b

當(dāng)a<0時，a>-------,即a-b>0,有a(a-b)<0,即ab>a2;故答案為D

3

解法3.利用二階導(dǎo)數(shù)求解。

因為/'(X)=a(x-a)(3x-a-2b),所以因為/(x)=a(3x-a-2b)+3a(x-a)=6ax-4a2-lab.

因為x=a為函數(shù)的極大值點，所以/"(a)=0(導(dǎo)函數(shù)左增右減)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知

/"(a)<0,

即4a2—2ab<0,所以

13.答熟|

分析：本題主要考查兩向量平行的條件。

Q

解析：由已知，a//b,貝IJ2x4=5幾，故幾=1

14.答案：6

分析：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和點到直線的距離公式。

解析：由題意得，/=4,層=5,所以°2=片+從=4+5=9,因為c>0,所以。=3,所以雙

曲線的右焦點為(3,0),所以點(3,0)到直線x+2y-8=0的距離為：d=邑裁宇=專=逐.

故本題正確答案為逃.

15.答案：2及

分析：本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用和三角形面積公式.

解析：根據(jù)題意得，=6，所以gacsin8=6，因為8=60。，所以sin8=卓，cos8=g,

所以ac=4.因為cosB=1，所以根據(jù)余弦定理得cosB==_L.又因為/+c?=3ac,

22ac2

所以3ac-〃=1,即3x4*解得〃=2夜.故本題正確答案為2g.

2ac22x42

16.答案：③④或②⑤

分析：本題是一道開放題，主要考查學(xué)生的空間想象能力，其關(guān)鍵是由三視圖抽象出空間幾何

體的直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

解析：當(dāng)俯視圖為圖④時，右側(cè)棱在左側(cè)不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側(cè)視圖.

當(dāng)俯視圖為圖⑤時，頂部棱在左側(cè)可觀測到，所以為實線，故選擇②為側(cè)視圖.

故本題正確答案為③④或②⑤.

17.答案:(1)1=10,5=10.3,S：=0.036段=0.04；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均

值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

分析：本題主要考查平均數(shù)和方差的計算方法，以及根據(jù)條件對結(jié)論的判斷。

mu，*、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7,八

解析：(1)x=-------------------------------------------------=10,

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

y=---------------------------------------=10.3,

10

。20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

3=----------------------------------------------------=0.036,

110

0.22+0.12+0.22+O.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

=0.04.

10

20036004

（2）依題意，^-x=0.3=2x0.15=2V0.15=270.0025.2J--^'=270.038,

顯然，，-?。?,住應(yīng)■,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備沒有顯著提高.

V10

18.答案：解析：(1)略

(2)所以四棱錐P-ABCZ)的體積為：V=-xlx>/2xl=—.

33

分析：本題主要考查(1)面面垂直的判定的求線段長度，一般采用面面垂直的判定定理來證明;

(2)棱錐的體積計算。

解析：(1)證明：因為P。_L底面ABCD,AMu底面ABCD,

所以

又因為而外、PBu平面P8。，且「Dr|P3=P,

所以AM，平面PBD,

又因為AMu平面PAM,

所以平面K4M_L平面PBD.

(2)因為BD=Z)C=1,所以AB=1,

l§.BC=AD=2a,則=

由(1)得AWJL平面在8D,則

所以NZWW+NADB=90。，

又因為四邊形48co為矩形,

所以ND4M+ZBAM=ZBAD=90°,

所以,

又因為NZ14B=ZAfiM=90。，

所以AD48s,

所以攔=也，即％=’,所以。=也，

ABBM1a2

則8c=">=2a=應(yīng)，

所以四棱錐P-ABC。的體積為：V=-xlx>/2xl=^.

33

19.答案：(1)4=」，b?=—.(2)略

〃3"T〃3〃

分析：本題主要考查(1)等差、等比數(shù)列的通項公式及等差中項；

(2)錯位相減法及不等式的證明。

解析：(1)設(shè)％=攵"\(人工0)而2x3%=4+9%,所以6%=1+9攵2,

解得％=g,所以4=熱?，bn=^.

(2)因為%=擊1，所以邑=23-公1:

因為所以(,=;+|+…+嬴①

g、/1—r/B12n—\n內(nèi)

?x-01^-7；,=—+—+②

①-②得I+上」(1」)-二，

313323"3223”3,,+|

所以「一31"_3"+6

所以1一々一干一心一Z一而'

所以7；,—2=3-*—乙3一一^)=±2,

"242x3"222x3,"14x3"

所以當(dāng)〃*1時，7；,-q^<0,所以q

20.答案：(1)V=4x；(2)

分析：本題主要考查(1)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；

(2)利用向量求斜率的最值。

解析：(1)因為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點尸到準(zhǔn)線的距離為2,

所以'-(-4=2,

22

解得p=2,

所以。的方程為丁=4-

(2)根據(jù)題意可得尸(1,0),設(shè)P(4戶,旬，。(為,%).

所以=a)―/,%-4。，。尸=(1-改),-%).

因為用=90?,

所以%—4廠=9(1—/)，%—4f=—9%,

2

所以/="4/薩+9，%=?2/，

,%It1041,4/f,1

所KC1以Mk?o=—=—,—5---=—5M—/:=----4—,

如與54r+94產(chǎn)+93舊3

當(dāng)4產(chǎn)=9且r>0,即f=3時取得等號，

2

所以直線。。的斜率的最大值為L

3

21.答案:(1)見解析；(2)(1,a+1),(-1,-a-1).

分析：本題主要考查(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及分類討論;

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算。

解析：(1)S^Jf(x)=x3-X2+0X4-1,

所以/'（x）=3f-2x+〃，

所以A=4-12a.

①當(dāng)△=4一1加40,即”2：時，r（x）W0在R上恒成立，

所以函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增.

②當(dāng)A=4-l勿>0,即時，

3

解了'（x）=3x2-2x+a=0得至ljX]=-_3"一,%=]3。,

并且當(dāng)xe（-00,----1%）時，/，（X）>o；

當(dāng)xe（上嚀亙，匕亭至）時，rW<0;

當(dāng)xe，+8）時,f'（x）>0,

所以函數(shù)/（%）在（-.匕手至）、（匕牛魚,+/）上單調(diào)遞增，

在匕正豆，也巨）上單調(diào)遞減.

33

綜上所述：當(dāng)。€耳,+8）時，函數(shù)/*）在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)。€（-雙；）時，函數(shù)/（X）在（_雙匕與豆），（匕牛豆,+8）上單調(diào)遞增,

在上兇三豆匕把三支上單調(diào)遞減.

33

（2）設(shè)曲線y=/（x）過坐標(biāo)原點的切線與曲線的切線為（/J*。）），

所以3片-2%+。=幺比，

%

整理可得2-一片-1=0,

所以（4-1）（2工：+/+1）=0,

所以%=1,

所以該切線與曲線的切點坐標(biāo)為（1M+1）,且/"。）=八1）=〃+1,

所以該切線方程為y=（a+l）x,

令/（x）=（。+V）x,得到x3-x2+ax+l=（a+V）x,

所以X3-X2-X+1=O,

所以(1)