第七章 對(duì)策與決策模型

第七章對(duì)策與決策模型第1頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第八章對(duì)策與決策模型對(duì)策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會(huì)遇到的擇優(yōu)活動(dòng)。人們?cè)谔幚硪粋€(gè)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)面臨幾種情況，同時(shí)又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動(dòng)目的選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時(shí)，人們面臨的問(wèn)題具有競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)，如商業(yè)上的競(jìng)爭(zhēng)、體育中的比賽和軍事行動(dòng)、政治派別的斗爭(zhēng)等等。這時(shí)競(jìng)爭(zhēng)雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對(duì)手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱為對(duì)策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問(wèn)題當(dāng)作對(duì)策問(wèn)題來(lái)求解。第2頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.1對(duì)策問(wèn)題對(duì)策問(wèn)題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。

例8.1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級(jí)的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無(wú)疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對(duì)齊王的中等馬，中等馬對(duì)齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

第3頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.2

（石頭—剪子—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過(guò)的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見(jiàn)下表。表8.1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10第4頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.3

（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開(kāi)關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒(méi)有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表8.2嫌疑犯B供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯A供認(rèn)不供認(rèn)（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對(duì)數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對(duì)方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。第5頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、對(duì)策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問(wèn)題的局中人，一個(gè)決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭(zhēng)等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競(jìng)爭(zhēng)、政治派別間的斗爭(zhēng)）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例8.3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡(jiǎn)單實(shí)例中可以看出對(duì)策現(xiàn)象中包含的幾個(gè)基本要素。第6頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對(duì)策問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個(gè)策略，否則該局中人可從此對(duì)策問(wèn)題中刪去，因?yàn)閷?duì)他來(lái)講，不存在選擇策略的余地。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個(gè)競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中對(duì)付他方的完整方法，并非指競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個(gè)完整策略的組成部分，而不能看成一個(gè)完整的策略。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個(gè)多階段對(duì)策中的子對(duì)策。策略集合可以是有限集也可以是無(wú)限集。策略集為有限集時(shí)稱為有限對(duì)策，否則稱為無(wú)限對(duì)策。

記局中人i的策略集合為Si。當(dāng)對(duì)策問(wèn)題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個(gè)純局勢(shì)（簡(jiǎn)稱局勢(shì)）。

第7頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，若一對(duì)策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B(niǎo)選策略j，則（i,j）就構(gòu)成此對(duì)策的一個(gè)純局勢(shì)。顯然，SA與SB一共可構(gòu)成m×n個(gè)純局勢(shì)，它們構(gòu)成表8.3。對(duì)策問(wèn)題的全體純局勢(shì)構(gòu)成的集合S稱為此對(duì)策問(wèn)題的局勢(shì)集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略第8頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對(duì)策的結(jié)果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢(shì)集合S上的矢值函數(shù)，對(duì)于S中的每一純局勢(shì)S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對(duì)策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。綜上所述，一個(gè)對(duì)策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對(duì)每一i∈I，有一策略集合Si，當(dāng)I中每一局中人i選定策略后得一個(gè)局勢(shì)s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢(shì)s下局中人i的贏得（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題，即兩人對(duì)策，其結(jié)果可以推廣到一般的對(duì)策模型中去。對(duì)于只有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題，其局勢(shì)集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表8.2就給出了例8.3的局勢(shì)集合和贏得函數(shù)。第9頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、零和對(duì)策存在一類特殊的對(duì)策問(wèn)題。在這類對(duì)策中，當(dāng)純局勢(shì)確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對(duì)策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B(niǎo)選取策略j，則A之所得為aij（當(dāng)aij<0時(shí)為支付）。第10頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在有些兩人對(duì)策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表8.4中，無(wú)論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時(shí)，若將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表8.4中的對(duì)策在轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策后，具有贏得矩陣表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)第11頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月給定一個(gè)兩人對(duì)策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示雙方贏得值的贏得矩陣R。綜上所述，當(dāng)遇到零和對(duì)策或可轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策的問(wèn)題時(shí)，R可用通常意義下的矩陣表示，否則R的元素為一兩維矢量。故兩人對(duì)策G又可稱為矩陣對(duì)策并可簡(jiǎn)記成G={SA,SB,R}第12頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時(shí)若B采取策略4，A非但得不到30，反而會(huì)失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對(duì)方有使自己損失最大的動(dòng)機(jī)，在最壞的可能中爭(zhēng)取最好的結(jié)果。局中人A采取策略1、2、3時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無(wú)論B采取什么策略，A的贏得均不會(huì)少于2.第13頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。當(dāng)B采取策略2時(shí)，其損失不會(huì)超過(guò)2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要對(duì)方不改變策略，任一局中人都不可能通過(guò)變換策略來(lái)增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢(shì)為對(duì)策的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點(diǎn)）定義8.1

對(duì)于兩人對(duì)策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對(duì)策G的值。若純局勢(shì)（）使得，則稱（）為對(duì)策G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對(duì)應(yīng)的元素稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。對(duì)（8.1）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。給定一個(gè)對(duì)策G，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？為了回答這一問(wèn)題，先引入下面的極大極小原理。第14頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.1

設(shè)G={SA,SB,R}，記，則必有μ+ν≤0證明:，易見(jiàn)μ為A的最小贏得，ν為B的最小贏得，由于G是零和對(duì)策，故μ+ν≤0必成立。定理8.2

零和對(duì)策G具有穩(wěn)定解的充要條件為μ+ν=0。

證明：

（充分性）由μ和ν的定義可知，存在一行（例如p行）μ為p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν為q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，從而得出apq=μ，apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，（p,q）為G的穩(wěn)定解。

第15頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（必要性）若G具有穩(wěn)定解（p,q），則apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)。故有

從而可得μ+ν≥0，但根據(jù)定理8.1，μ+ν≤0必成立，故必有μ+ν=0。上述定理給出了對(duì)策問(wèn)題有穩(wěn)定解（簡(jiǎn)稱為解）的充要條件。當(dāng)對(duì)策問(wèn)題有解時(shí)，其解可以不唯一。例如，若

則易見(jiàn)，（2,2），（2,4），（4,2），（4,4）均為此對(duì)策問(wèn)題的解。一般又可以證明。第16頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.3對(duì)策問(wèn)題的解具有下列性質(zhì)：（1）無(wú)差別性。若（,）與（,）同為對(duì)策G的解，則必有。（2）可交換性。若（,j1）、（,j2）均為對(duì)策G的解，則（,j2）和（,j1）也必為G的解。

定理8.3的證明非常容易，作為習(xí)題留給讀者自己去完成。第17頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月具有穩(wěn)定解的零和對(duì)策問(wèn)題是一類特別簡(jiǎn)單的對(duì)策問(wèn)題，它所對(duì)應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過(guò)自己?jiǎn)畏矫娴呐?lái)改進(jìn)結(jié)果。然而，在實(shí)際遇到的零和對(duì)策中更典型的是μ+ν≠0的情況。由于贏得矩陣中不存在鞍點(diǎn)，至少存在一名局中人，在他單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益。例如，考察（8.1）中的贏得矩陣R。若雙方都采取保守的maxmin原則，將會(huì)出現(xiàn)純局勢(shì)（

4,1）或（4,3）。但如果局中人A適當(dāng)改換策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略1，而A改換策略1，則A可收益3。但此時(shí)若B改換策略

2，又會(huì)使A輸?shù)?，……。此時(shí)，在只使用純策略的范圍內(nèi)，對(duì)策問(wèn)題無(wú)解。這類決策如果只進(jìn)行一次，局中人除了碰運(yùn)氣以外別無(wú)辦法。但如果這類決策要反復(fù)進(jìn)行多次，則局中人固定采用一種策略顯然是不明智的，因?yàn)橐坏?duì)手看出你會(huì)采用什么策略，他將會(huì)選用對(duì)自己最為有利的策略。這時(shí)，局中人均應(yīng)根據(jù)某種概率來(lái)選用各種策略，即采用混合策略的辦法，使自己的期望收益盡可能大。

第18頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)A方用概率xi選用策略i，B方用概率yj選用策略j，，且雙方每次選用什么策略是隨機(jī)的，不能讓對(duì)方看出規(guī)律，記X=(x1,…,xm)T，Y=(y1,…,yn)T，則A的期望贏得為E(X,Y)=XTRY其中，R為A方的贏得矩陣。記SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分別稱SA與SB為A方和B方的混合策略。對(duì)于需要使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題，也有具有穩(wěn)定解的對(duì)策問(wèn)題的類似結(jié)果。第19頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義8.2若存在m維概率向量和n維概率向量，使得對(duì)一切m維概率向量X和n維概率向量y有則稱（,）為混合策略對(duì)策問(wèn)題的鞍點(diǎn)。定理8.4（VonNeumann）任意混合策略對(duì)策問(wèn)題必存在鞍點(diǎn)，即必存在概率向量和，使得：（證明從略）。使用純策略的對(duì)策問(wèn)題（具有穩(wěn)定解的對(duì)策問(wèn)題）可以看成使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題的特殊情況，相當(dāng)于以概率1選取其中某一策略，以概率0選取其余策略。對(duì)于雙方均只有兩種策略的對(duì)策問(wèn)題（即2×2對(duì)策），可按幾何方法求解。第20頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.5A、B為作戰(zhàn)雙方，A方擬派兩架轟炸機(jī)I和II去轟炸B方的指揮部，轟炸機(jī)I在前面飛行，II隨后。兩架轟炸機(jī)中只有一架帶有炸彈，而另一架僅為護(hù)航。轟炸機(jī)飛至B方上空，受到B方戰(zhàn)斗機(jī)的阻擊。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊后面的轟炸機(jī)II，它僅受II的射擊，被擊中的概率為0.3（I來(lái)不及返回?fù)羲?。若?zhàn)斗機(jī)阻擊I，它將同時(shí)受到兩架轟炸機(jī)的射擊，被擊中的概率為0.7。一旦戰(zhàn)斗機(jī)未被擊落，它將以0.6的概率擊毀其選中的轟炸機(jī)。請(qǐng)為A、B雙方各選擇一個(gè)最優(yōu)策略，即：對(duì)于A方應(yīng)選擇哪一架轟炸機(jī)裝載炸彈？對(duì)于B方戰(zhàn)斗機(jī)應(yīng)阻擊哪一架轟炸機(jī)？

解：雙方可選擇的策略集分別為SA={1,2},1：轟炸機(jī)I裝炸彈，II護(hù)航

2：轟炸機(jī)II裝炸彈，I護(hù)航SA={1,2},1：阻擊轟炸機(jī)I2：阻擊轟炸機(jī)II第21頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月贏得矩陣R=（aij）2×2，aij為A方采取策略

i而B(niǎo)方采取策略j時(shí)，轟炸機(jī)轟炸B方指揮部的概率，由題意可計(jì)算出：a11=0.7+0.3(1－0.6)=0.82a12=1,a21=1a22=0.3+0.7(1－0.6)=0.58即易求得，。由于μ+ν≠0，矩陣R不存在鞍點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)求最佳混合策略。第22頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)設(shè)A以概率x1取策略1、概率x2取策略2；B以概率y1取策略1、概率y2取策略2。先從B方來(lái)考慮問(wèn)題。B采用1時(shí)，A方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為E（1）=0。82x1+x2，而B(niǎo)采用2時(shí)，A方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為E（2）=x1+0.58x2。若E（1）≠E（2），不妨設(shè)E（1）<E（2），則B方必采用1以減少指揮部被轟炸的概率。故對(duì)A方選取的最佳概率x1和x2，必滿足：即由此解得x1=0.7，x2=0.3。第23頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同樣，可從A方考慮問(wèn)題，得即并解得y1=0.7，y2=0.3。B方指揮部轟炸的概率的期望值VG=0.874。上述方法也可以用幾何方式表達(dá)。在x軸上取長(zhǎng)度為1的線段，左端點(diǎn)為x=0，右端點(diǎn)為x=1。過(guò)x=0和x=1各作x軸的垂線，稱之為軸I和軸II。在軸I上取B1、B2，它們到x軸的距離分別的a11和a12，表示在A采取策略1

即(x2=0）時(shí)A方在B方分別采取策略1和2下的贏得，如圖8.1所示。第24頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月借助幾何方法也可以解m×2或2×n的使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題。但當(dāng)m>2且n>2時(shí)，采用幾何方法求解就變得相當(dāng)麻煩，此時(shí)通常采用線性規(guī)劃方法求解?，F(xiàn)設(shè)A以概率x2采取策略2，若B采取策略2，則A的期望贏得為a11(1－x2)+a21x2。對(duì)應(yīng)x2的不同取值（0≤x2≤1），a11(1－x2)+a12x2恰好構(gòu)成連接兩個(gè)B1的直線段。類似地，連接兩個(gè)B2的直線段恰好對(duì)應(yīng)當(dāng)B取2而A以概率x2取2時(shí)的贏得a12(1－x2)+a22x2。設(shè)兩直線段相交于N，并設(shè)N對(duì)應(yīng)于。若A以小于的x2取策略2，則B可以采取1使A的期望贏得減?。环粗?，若x2>，則B又可采取2而使A的贏得減小。故A的最佳混合策略為以=1－概率取1，以概率取2（注：B的最佳混合策略可類似用幾何方法求得）。第25頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月A方選擇混合策略的目的是使得其中ej為只有第j個(gè)分量為1而其余分量均為零的向量，Ej

=XTRej。記，由于，在yk=1，yj=0（j≠k）時(shí)達(dá)到最大值u，

第26頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故應(yīng)為線性規(guī)劃問(wèn)題

minu

,j=1,2,…,n(即Ej≤Ek)xi≥0,i=1,2,…,mS.t的解。同理，應(yīng)為線性規(guī)劃maxν

,i=1,2,…,myj≥0,i=1,2,…,nS.t的解。第27頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由線性規(guī)劃知識(shí)，（8.2）與（8.3）互為對(duì)偶線性規(guī)劃，它們具有相同的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。關(guān)于線性規(guī)劃對(duì)偶理論，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)書(shū)籍，例如魯恩伯杰的“線性與非線性規(guī)劃引論”。

為了尋找例8.5中A方的最優(yōu)混合策略，求解線性規(guī)劃minuS.t0.82x1+x2≤u

x1+0.58x2≤u

x1+x2=1

x1,x2≥0可得最優(yōu)混合策略x1=0.7,x2=0.3。類似求解線性規(guī)劃maxυS.t0.82y1+y2≤υ

y1+0.58y2≥υ

y1+y2=1

y1,y2≥0可得B方最優(yōu)混合策略：y1=0.7,y2=0.3。第28頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、非零和對(duì)策除了零和對(duì)策外，還存在著另一類對(duì)策問(wèn)題，局中人獲利之和并非常數(shù)。例8.4現(xiàn)有一對(duì)策問(wèn)題，雙方獲利情況見(jiàn)表8.5。表8.5B方A方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如A、B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法，A發(fā)現(xiàn)如采取策略4，則至少可獲利4，而B(niǎo)發(fā)現(xiàn)如采取策略1，則至少可獲利2。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢(shì)（4，2）。第29頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因?yàn)殡p方的總獲利有可能達(dá)到10。不難看出，依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果?？磥?lái)，對(duì)這一對(duì)策問(wèn)題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按某一雙方均認(rèn)為較為合理的方式來(lái)分享這一已經(jīng)獲得的最大獲利。例8.4說(shuō)明，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對(duì)策問(wèn)題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策的問(wèn)題），是一類存在著合作基礎(chǔ)的對(duì)策問(wèn)題。當(dāng)然，這里還存在著一個(gè)留待解決而又十分關(guān)鍵的問(wèn)題：如何分享總獲利，如果不能達(dá)到一個(gè)雙方（或各方）都能接受的“公平”的分配原則，則合作仍然不能實(shí)現(xiàn)。怎樣建立一個(gè)“公平”的分配原則是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，將在第九章中介紹。

最后，我們來(lái)考察幾個(gè)對(duì)策問(wèn)題的實(shí)例。第30頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.6（戰(zhàn)例分析）1944年8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國(guó)諾曼第不久，立即從海防前線穿過(guò)海峽，向Avranches進(jìn)軍。美軍第一軍和英軍的行動(dòng)直接威脅到德軍第九軍。美軍第三軍也開(kāi)到了Avranches的南部，雙方軍隊(duì)所處的地理位置如圖8.2所示。美軍方面的指揮官是Bradley將軍，德軍指揮官是VonKluge將軍。VonKluge將軍面臨的問(wèn)題是或者向西進(jìn)攻，加強(qiáng)他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。Bradley將軍的問(wèn)題是如何調(diào)動(dòng)他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢(shì)危急時(shí)支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機(jī)會(huì)贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利呢？

第31頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們將用建立矩陣對(duì)策模型的方法，來(lái)試圖求得雙方的最優(yōu)策略。模型假設(shè)：

1、Bradley將軍和VonKluge將軍分別為對(duì)策問(wèn)題的局中人A和B。2、局中人A的策略集合為SA={1,2,3}，其中：1為后備軍增援保衛(wèi)海峽；2為后備軍東征，切斷德軍后路；3為后備軍待命

3、局中人B的策略集合為SB={1,2}，其中：1為德國(guó)向西進(jìn)攻海峽，切斷美軍援助；2為德軍撤退到東部，占領(lǐng)塞納河流域有利地形。4、SA、SB構(gòu)成六種純局勢(shì)，綜合雙方實(shí)力，各種局勢(shì)估計(jì)結(jié)果如下。若B采取策略1，即德軍采取攻勢(shì)，則有（1）（1,1），估計(jì)美軍擊敗德軍并占領(lǐng)海峽的可能性（即概率）為（2）（2,1），估計(jì)美軍取勝的可能為。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。（3）（3,1），估計(jì)美軍可以根據(jù)需要增援。如不需增援，后備軍可東進(jìn)繞行到德軍后方。這樣，美軍將占領(lǐng)海峽并徹底殲滅德軍第九軍。情況（1）、（2）、（3）如圖8.3（1）、（2）、（3）所示。第32頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若B采取策略2，即德軍第九軍東撤，占據(jù)塞納河流域有利地形，則有

（4）（1,2），美方擴(kuò)大了戰(zhàn)線，德軍雖占據(jù)了有利地形，美軍仍有擊敗德軍的可能性。（5）（2,2），美后備軍東進(jìn)給德軍東撤造成壓力并挫傷德軍，使美軍擊敗德軍的可能性增大到。（6）（3,2），美后備軍待命。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退，為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計(jì)是美軍擊敗德軍的可能性。情況（4）、（5）、（6）見(jiàn)圖8.3（4）、（5）（6）所示。第33頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述分析估計(jì)是由Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出A方贏得矩陣這是一個(gè)3×2對(duì)策矩陣?？梢郧蟮?，，，不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。第34頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義8.3對(duì)于贏得矩陣R，如果對(duì)所有j，aij≥akj均成立，且至少存在一個(gè)使得則稱i行優(yōu)于k行（策略ai優(yōu)于ak）。同樣，如對(duì)一切i有aij≤akl，且至少有一個(gè)i0使得，則稱j列優(yōu)于l例（局中人B的策略j優(yōu)于l）。易見(jiàn)，若一個(gè)對(duì)策矩陣的第i行優(yōu)于第k行，則無(wú)論局中人B選擇哪種策略，局中人A采取策略i的獲利總優(yōu)于（至少不次于）采取策略k的獲利。定理8.5對(duì)于矩陣對(duì)策G={SA,SB,R}，若矩陣R的某行優(yōu)于第i1,……,ik行，則局中人A在選取最優(yōu)策略時(shí)，必取。令，R’為從R中劃去第i1行，…，ik行后剩下的矩陣，則的最優(yōu)策略即原對(duì)策G的最優(yōu)策略，對(duì)于R中列的最優(yōu)關(guān)系也有類似的結(jié)果。第35頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用這一定理，有時(shí)對(duì)策問(wèn)題可先進(jìn)行化簡(jiǎn)，降低矩陣的階數(shù)?，F(xiàn)在回過(guò)來(lái)討論美、德軍隊(duì)對(duì)策問(wèn)題。在Bradleg構(gòu)造的矩陣中容易發(fā)現(xiàn)a1j＜a3j,j=1,2故3優(yōu)于1。根據(jù)上面的定理8.5，可劃去該矩陣的第一行，得到2×2贏得矩陣這仍然是一個(gè)無(wú)鞍點(diǎn)的對(duì)策矩陣。設(shè)Bradley以概率p1取策略2而以概率p2取略3，則應(yīng)有解得第36頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類似地，設(shè)VonKluge以概率q1取策略1而以概率q2取策略2，則應(yīng)有解得。由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進(jìn)行的對(duì)策問(wèn)題，看來(lái)最大的可能是美軍采取策略3而德軍采取策略2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實(shí)行，雙方勝負(fù)還難以料定。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_(kāi)始東撤時(shí)，突然接到了希特勒的命令要他們向西進(jìn)攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。VonKluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開(kāi)始時(shí)德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅，VonKluge本人在失敗后自殺。

第37頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.7（防坦克地雷場(chǎng)的布設(shè)）實(shí)戰(zhàn)中，攻方為了增強(qiáng)攻擊力，大量使用攻擊力強(qiáng)、防御堅(jiān)固的坦克；守方為了抵御對(duì)方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對(duì)策之一是布設(shè)防坦克地雷場(chǎng)。1、分析評(píng)價(jià)防坦克地雷場(chǎng)的重要指標(biāo)是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是基本因素之一。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場(chǎng)對(duì)付敵方進(jìn)攻總是行之有效的。但在實(shí)際戰(zhàn)斗中，地雷不太可能是足夠多的。假設(shè)：（1）防坦克地雷數(shù)量有限；（2）通過(guò)偵察、分析，已知敵方可能采用1、2、…、n種進(jìn)攻策略之一；（3）通過(guò)敵情分析，確定了防御正面的寬度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量，設(shè)計(jì)了1,2,…,m這m種布雷方案。問(wèn)采取哪一方案或什么樣的混合策略能有效擊毀敵方的坦克？第38頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本例在過(guò)去一般是憑指揮員的作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)定性決策的，現(xiàn)用矩陣對(duì)策方法進(jìn)行定量擇優(yōu)。

由于每?jī)奢v坦克之間一般要保持50米的間距，因而進(jìn)攻正面拉得很寬，如一個(gè)梯隊(duì)20輛坦克，進(jìn)攻正面約為一公里寬。因?yàn)橹挥杏邢迋€(gè)防御正面，用有限個(gè)進(jìn)攻策略來(lái)描述敵方的進(jìn)攻狀態(tài)是非常接近實(shí)際情況的。對(duì)守方來(lái)講，布雷密度通?？煞殖?.5,1,1.5,2等有限個(gè)等級(jí)。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術(shù)密度。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個(gè)防御正面劃分成幾段，各段允許采用不同密度。第39頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、對(duì)策決策要用矩陣對(duì)策決策，關(guān)鍵問(wèn)題是如何列出守方的贏得矩陣。由效率評(píng)定試驗(yàn)可得出在各種布雷密度下的殺傷率表，如表8.6所示。表8.6布雷密度0.511.52殺傷率0.640.870.950.98根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度針對(duì)攻方的進(jìn)攻策略計(jì)算出坦克的殺傷率。為便于理解，作為實(shí)例分析下面兩種情況：第40頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月情況1設(shè)守方只有1500個(gè)防坦克地雷，欲布設(shè)在攻方必經(jīng)的2公里攻擊正面上。攻方一個(gè)坦克梯隊(duì)的20輛坦克展開(kāi)成1公里寬的陣面，但既可能從左側(cè)進(jìn)攻（策略1）也可能從右側(cè)進(jìn)攻（策略2）。守方設(shè)計(jì)了三種布雷方案1,2,3,（圖8.4），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。圖8.4第41頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月情況1求解：容易求得守方的贏得矩陣這是一個(gè)有鞍點(diǎn)的矩陣，鞍點(diǎn)為a22。守方只要按2方案布雷，則不管攻方從哪一側(cè)進(jìn)攻，總可毀傷對(duì)方47.5%的坦克。第42頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月情況2攻方一梯隊(duì)20輛坦克可從左側(cè)（1）、中路（2）或右翼（3）進(jìn)攻，展開(kāi)成1公里布陣。守方只有2000個(gè)防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如圖8.5所示，試求守方采用何種布雷方案較好。圖8.5第43頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)情況2，可求得守方的贏得矩陣為此時(shí)，矩陣A中不存在鞍點(diǎn)，對(duì)策無(wú)穩(wěn)定解，應(yīng)采用混合策略。可以求得，此時(shí)守方如按照0.166:0.456:0.378的比例采取策略1,2,3布雷，平均可毀傷對(duì)方83.5%的坦克。由本例可以看出，在決策問(wèn)題中，策略的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，它直接影響到贏得矩陣。策略的設(shè)計(jì)并沒(méi)有包含在決策問(wèn)題的求解中，事實(shí)上，僅當(dāng)策略設(shè)計(jì)完成后，即策略集合給定后，決策問(wèn)題才被給定，從而才能被求解，因而，在用對(duì)策論方法研究實(shí)際課題時(shí)，應(yīng)當(dāng)特別注意策略的設(shè)計(jì)。這一部分工作既具有一定的創(chuàng)造性又在很大程度上影響到結(jié)果，對(duì)它研究也是十分有趣的。第44頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.2決策問(wèn)題人們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)，常常會(huì)面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動(dòng)方案。此時(shí)，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動(dòng)方案，這樣的問(wèn)題稱為決策問(wèn)題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡(jiǎn)稱狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素。可供選擇的行動(dòng)方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。

第45頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.8在開(kāi)采石油時(shí)，會(huì)遇到是否在某處鉆井的問(wèn)題。盡管勘探隊(duì)已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)開(kāi)采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表8.7。表8.7000不鉆井（2）

4020－30鉆井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（億元）高產(chǎn)油井（3）

一般（2）

無(wú)油（1）

自然狀態(tài)概率

收益方案問(wèn)：決策者應(yīng)如何作出決策？第46頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：由題意可以看出，決策問(wèn)題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果決策者選取策略i而出現(xiàn)的狀態(tài)為j，則決策者的收益值為aij（當(dāng)aij為負(fù)值時(shí)表示損失值）。決策問(wèn)題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險(xiǎn)型（或隨機(jī)型）和不確定型。確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問(wèn)題。這種決策問(wèn)題的結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。值得一提的是策略集也可以是無(wú)限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問(wèn)題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。確定型決策的求解并非全是簡(jiǎn)單的，但由于這些問(wèn)題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險(xiǎn)型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。第47頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題在風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。決策者不知道究竟會(huì)出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大。例如，例8.8就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來(lái)評(píng)估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。如對(duì)例1，分別求出方案1（鉆井）和2（不鉆井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（萬(wàn)元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），選取1作為最佳策略。風(fēng)險(xiǎn)型決策也可采用期望后悔值法求解。首先，求出采取方案i而出現(xiàn)狀態(tài)j時(shí)的后悔值。第48頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，如果不鉆井，但事實(shí)上該處可開(kāi)出一口高產(chǎn)井，則后悔值為40。因?yàn)殂@井可收益40萬(wàn)元，但決策者作了不鉆井的決策，未獲得本來(lái)可以獲得的40萬(wàn)元收益。然后，比較各方案的期望后悔值，選取期望后悔最小的方案作為最佳策略。在例8.8中，如采用期望后悔值法，則E（1）=6，E（2）=22，取1為最佳策略。在選取策略i而出現(xiàn)狀態(tài)j時(shí)后悔值為的理由是在出現(xiàn)狀態(tài)j情況下的最大可能收益為。定理8.6最大期望收益法與最小期望后悔值法等價(jià)，即兩者選出的最佳策略相同。證明：由得故

等式（8.4）的右端項(xiàng)為一常數(shù)，其左端項(xiàng)為采取策略i時(shí)期后悔值與期望收益值之和，從而，若某策略使期望收益最大，則該策略必使期望后悔值最小，定理得證。第49頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于較為復(fù)雜的決策問(wèn)題，尤其是需要作多階段決策的問(wèn)題，常采用較直觀的決策樹(shù)方法，但從本質(zhì)上講，決策樹(shù)方法仍然是一種期望值法。

例8.9某工程按正常速度施工時(shí)，若無(wú)壞天氣影響可確保在30天內(nèi)按期完工。但根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞。有40%的可能會(huì)出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在50%的可能會(huì)遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會(huì)遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對(duì)于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開(kāi)支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費(fèi)用。如遇到小風(fēng)暴，有兩個(gè)備選方案：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)20000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有50%可能減少誤工期1天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共24000元；有30%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共18000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共12000元。第50頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如遇大風(fēng)暴，也有兩個(gè)方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)50000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有70%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共54000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共46000元；有10%可能減少誤工期4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共38000元。根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費(fèi)用最少。解：由于未來(lái)的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。

本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問(wèn)題。為便于分析和決策，采用決策樹(shù)方法。根據(jù)題意，作決策樹(shù)如圖8.6第51頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖8.6中，□表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù)?！鸨硎緳C(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對(duì)應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率?！鞣Q為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。第52頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在決策樹(shù)上由右向左計(jì)算各機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計(jì)算步驟如下：（1）在機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)E、F處計(jì)算它們的效益期望值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800（2）在第一級(jí)決策點(diǎn)C、D處進(jìn)行比較，在C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。

（3）計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)B處的效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并將－14900標(biāo)在B點(diǎn)旁。第53頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）在第二級(jí)決策點(diǎn)A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－14900標(biāo)在A點(diǎn)旁。

結(jié)論最佳決策為前15天按正常速度施工，15天后按實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個(gè)方案總損失的期望值為－14900元。

根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問(wèn)題最常用的辦法之一。實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。第54頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、不確定型決策問(wèn)題只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問(wèn)題稱為不確定型決策問(wèn)題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問(wèn)題。下面結(jié)合一個(gè)例子，介紹幾種處理這類問(wèn)題的方法。例8.10設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。有四種可供選擇的行動(dòng)方案，相應(yīng)的收益值見(jiàn)表8.7表8.866653415964387543266544154321自然狀態(tài)方案第55頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）樂(lè)觀法（maxmax原則）

采用樂(lè)觀法時(shí)，決策者意在追求最大可能收益。他先計(jì)算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲觀法（maxmin原則）采用悲觀法時(shí)，決策者意在安全保險(xiǎn)。他先求每一方案的最小收益,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。對(duì)于例8.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因?yàn)閙ax{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）樂(lè)觀系數(shù)法（Hurwicz決策準(zhǔn)則）樂(lè)觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個(gè)參數(shù)t，0≤t≤1，稱t為樂(lè)觀系數(shù)。作決策時(shí)，決策者先適當(dāng)選取一個(gè)t的值；再對(duì)各方案1求出；最后再作比較，找出使最大的方案。在例8.10中，若取t=0.5，采用樂(lè)觀系數(shù)法決策，將選取方案2。易見(jiàn)，t=1對(duì)應(yīng)樂(lè)觀法，而t=0則對(duì)應(yīng)于悲觀法。第56頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）等可能法（Laplace準(zhǔn)則）由于不能估計(jì)各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認(rèn)為它們相差不會(huì)過(guò)大。此時(shí)，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)型，并借用風(fēng)險(xiǎn)型問(wèn)題的期望值法來(lái)決策。對(duì)于例8.10，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為0.2，用期望值法決策，將選取策略2。不難看出，對(duì)于不確定型決策問(wèn)題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。事實(shí)上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。而且，即使對(duì)同一決策者，在處理不同決策問(wèn)題時(shí)也可能采取不同的方法。例如，在決定購(gòu)買幾元錢一張的對(duì)獎(jiǎng)券時(shí)，決策者也許會(huì)采用樂(lè)觀法。因?yàn)閹自X的損失對(duì)他來(lái)講是無(wú)所謂的事，小額獎(jiǎng)金他也許看不上眼，要中就來(lái)個(gè)大獎(jiǎng)。但是，在決策購(gòu)買何種股票時(shí)，因?yàn)殛P(guān)系重大，也許他為了保險(xiǎn)又會(huì)采取悲觀法。同而，不確定型問(wèn)題的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀態(tài)下的選優(yōu)。要作出較符合實(shí)際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對(duì)未來(lái)自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實(shí)際的預(yù)測(cè)，才能收到較好的效果。第57頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.11（離散報(bào)童模型）設(shè)某商品的需求量θ為離散變量，其取值范圍為Q={1,…,n}，取值i的概率為P(i)，=1。記該商品的進(jìn)貨量為（決策變量），若>，進(jìn)貨過(guò)量，每單位進(jìn)貨過(guò)剩將造成k0元過(guò)量損失；反之，若<，進(jìn)貨不足，每單位進(jìn)貨不足將造成ku元的不足損失。試確定該商品的最佳進(jìn)貨量。解：當(dāng)≥時(shí)，將有過(guò)量損失k0（－）；當(dāng)<時(shí)，將有不足損失ku（－）。故總期望損失為若*為最優(yōu)進(jìn)貨量，則必有且

由此經(jīng)平凡的計(jì)算可以得出：最佳進(jìn)貨量*應(yīng)使成立（推導(dǎo)過(guò)程從略）。第58頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.12

某燒雞店每賣出一只燒雞可賺5元，如出現(xiàn)過(guò)剩將于下午5點(diǎn)另作處理，每剩一只將損失2.5元。該店根據(jù)平時(shí)銷售情況列出下表，試根據(jù)表8.9中提供的信息確定制作燒雞的最佳數(shù)量并求該店銷售燒雞的最佳平均利潤(rùn)。表8.90.10.180.20.220.20.1概率P()

302928272625需求量

解：根據(jù)題意，單位過(guò)剩損失k0=2.5，單位不足損失ku=5，。

因?yàn)椋?/p>

但。故燒雞的最佳制作量為28只。

最佳平均利潤(rùn)為

（元）

第59頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.3層次分析法建模層次分析法是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問(wèn)題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問(wèn)題。社會(huì)的發(fā)展導(dǎo)致了社會(huì)結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過(guò)理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對(duì)消費(fèi)者的各種喜好或競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對(duì)琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價(jià)格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長(zhǎng)、社會(huì)的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項(xiàng)目的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值的大小、項(xiàng)目的可行性、項(xiàng)目的資助情況及周期長(zhǎng)短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對(duì)這類決策問(wèn)題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問(wèn)題時(shí)，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？第60頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問(wèn)題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡(jiǎn)稱AHP）。層次分析法將人們的思維過(guò)程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說(shuō)服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問(wèn)題提供了一種實(shí)用的決策方法，而且也提供了一個(gè)在處理機(jī)理比較模糊的問(wèn)題時(shí)，如何通過(guò)科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。

一、層次分析的基本步驟層次分析過(guò)程可分為四個(gè)基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明各步驟中所做的工作。第61頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎(jiǎng)金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來(lái)使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個(gè)層次。較簡(jiǎn)單的問(wèn)題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問(wèn)題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對(duì)于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會(huì)詢問(wèn)為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來(lái)自于對(duì)決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過(guò)雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤(rùn)，而利潤(rùn)的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動(dòng)企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。第62頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問(wèn)題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤(rùn)調(diào)動(dòng)職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎(jiǎng)金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。第63頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問(wèn)題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購(gòu)電冰箱時(shí)，如以質(zhì)量、外觀、價(jià)格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量?jī)?yōu)劣時(shí)又可分出若干個(gè)不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過(guò)程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖10.7中目標(biāo)層利潤(rùn)利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來(lái)。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。第64頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動(dòng)職工積極性在判斷利潤(rùn)利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問(wèn)題，不僅會(huì)讓人感到難以精確回答，而且還會(huì)使人感到你書(shū)生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下設(shè)想：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的質(zhì)量，設(shè)為w1,…,wn。現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

第65頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X(jué)={x1,…,xn}對(duì)某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對(duì)Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡(jiǎn)稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對(duì)Z的影響之比為aij，則xj和xi對(duì)Z的影響之比應(yīng)為。定義8.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見(jiàn)aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們?cè)诔蓪?duì)比較差別時(shí)，用5種判斷級(jí)較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對(duì)事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值2、4、6、8。第66頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從心理學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

第67頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義8.5滿足（8.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對(duì)比較判斷矩陣應(yīng)當(dāng)是一個(gè)一致矩陣。但構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣A共計(jì)要作次比較（設(shè)有n個(gè)因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說(shuō)是無(wú)法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來(lái)的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。第68頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來(lái)考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來(lái)的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：第69頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.8若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）若A的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）I，則aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩陣定義得出，（3）—（5）均容易由線性代數(shù)知識(shí)得到，證明從略）。第70頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.9

n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax=n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時(shí)，必有λmax>n。證明：設(shè)正互反矩陣A的最大特征根為λmax，對(duì)應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）T。

由定理，λmax>0且wi>0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性質(zhì)知，AW=λmax

W,

故

,i=1,…,n(8.7)（8.7）式兩邊同除wi且關(guān)于i從1到n相加，得到即（8.8）式的括號(hào)內(nèi)共有項(xiàng)。

（8.8）

第71頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（5），有，故由（8.8）式，得λmax=n。再證明充分性。由于(8.9)

當(dāng)且僅當(dāng)=1（即）時(shí)（8.9）式中的等號(hào)成立，故由（8.8）式λmax=n。因而當(dāng)λmax=n時(shí)必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A為一致矩陣。當(dāng)A非一致矩陣時(shí)，（8.9）式中的等號(hào)不能對(duì)一切i，j成立，從而必有λmax>n。

第72頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理8.9，我們可以由λmax是否等于n來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X={x1,…,xn}在對(duì)因素Z的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識(shí)可以證明，A的n個(gè)特征根之和等于其對(duì)角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除λmax以外其余n－1個(gè)特征根的平均值的絕對(duì)值。若A是一致矩陣，其余n－1個(gè)特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對(duì)應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。第73頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對(duì)n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表8.10所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第74頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對(duì)應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對(duì)A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算，查表得到對(duì)應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時(shí)，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。第75頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)對(duì)本節(jié)例8.13（即合理利用利潤(rùn)問(wèn)題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對(duì)比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對(duì)比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對(duì)應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。第76頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.83