干摩擦的非線性動力學(xué)外文翻譯、中英文翻譯、外文文獻(xiàn)翻譯

干摩擦的非線性動力學(xué)Franz-JosefElmer瑞士巴塞爾，巴塞爾大學(xué)，物理學(xué)院CH-40561996年11月5日收到來稿，1997年5月21日決定發(fā)表摘要研究一個有牽引力的彈簧一木塊系統(tǒng)以一個恒定的速度在一個表面上運(yùn)動所受到的干摩擦動力學(xué)。一個很普遍且符合摩擦學(xué)現(xiàn)象規(guī)律的動力學(xué)推理正在研究中（此規(guī)律為：靜止時受靜摩擦力影響，運(yùn)動速度受動摩擦力影響）。共有三種可能發(fā)生的運(yùn)動：粘一滑運(yùn)動、連續(xù)滑動、以及無粘性的振動?，F(xiàn)在將要闡述地方以及全球的一些令人矚目的人所提出的分歧觀點以及他們的觀點極其相似的不穩(wěn)定觀點。庫侖關(guān)于干摩擦的口］定律被應(yīng)用了200多年。他規(guī)定摩擦力等于由物體本身材料所決定的摩擦系數(shù)與正壓力的乘積。靜摩擦系數(shù)（靜摩擦力是使物體由靜止開始滑動的力）通常等于或大于動摩擦系數(shù)（動摩擦力是使物體以一個恒速度運(yùn)動的力）。一個機(jī)械系統(tǒng)受到的干摩擦力是非線性的，因為庫侖定律把動摩擦力和靜摩擦力區(qū)分開了。如果動摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，在一個滑動并且粘住和滑動轉(zhuǎn)化十分規(guī)則就如［l］所說的表面上，粘一滑運(yùn)動就會發(fā)生。這種急變的運(yùn)動發(fā)生在日常生活中的每一天，例如開關(guān)門和拉小提琴。即使庫侖定律是很簡單并且很容易確定的（工程上一些計算都依據(jù)這些公式），它關(guān)于靜摩擦產(chǎn)生的原因要求并不嚴(yán)格，因為靜摩擦只是一個過程，它的作用不會涉及到平衡。因此不必為庫侖定律經(jīng)常應(yīng)用于實驗這個事實背離而讓我們感到驚訝。典型的背離例子是下面所列出的：（i）靜摩擦力是變化的而且是隨著靜止時間的延續(xù)而逐漸增加的［2,3］，即兩個相接觸的滑行表面而沒有發(fā)生相對運(yùn)動。（ii）動摩擦力決定于滑動速度；對于一個很大的速度，它可以近似地看作是線性地增加，這個速度就像是在粘性摩擦力場那樣。在達(dá)到很大速度之前，摩擦力首先減小，直到減小到最小值，然后再繼續(xù)增大［3,4］。在有潤滑油的臨界條件下（即是在滑動的表面有極少的起潤滑作用的單分子層存在）摩擦力將以一個很小的速度再次減?。ㄒ妶D1）［5,6］。動摩擦系數(shù)作為影響滑動速度的因素，至少有一個極值。動摩擦力可能大于靜摩擦力，但是在物體將要第1頁共10頁

滑動的瞬間，動摩擦力始終是小于或等于靜摩擦力的。本文的目的是針對非線性動力學(xué)中在某一個程度上狹隘的諸如上面提到的干摩擦定律提出一個自由的論點。本文將拋開在著作［1,3,4,6-9］中已提出的明確的定律。關(guān)于摩擦力的現(xiàn)象學(xué)的定律只是在肉眼所見的程度內(nèi)，這就意味著用顯微鏡可見的精微的程度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過肉眼可見的程度。在本文的結(jié)束語中將要給出一個為什么這種假設(shè)總不是有效的簡單論點。要去揭示這種宏觀現(xiàn)象的無根據(jù)性，因此去了解這種時空分離的假設(shè)下的完整的動力學(xué)知識是很重要的。圖1(a)圖為典型的速度影響的動摩擦定律的示意性草圖(b)圖為有潤滑油的臨界條件下的系統(tǒng)圖2干摩擦諧波振蕩器第2頁共10頁對于不同的干摩擦定律有兩個很重要的眾所周知地前提。(i)摩擦系數(shù)只能在儀器內(nèi)部測量(比如表面力測量儀［10］或摩擦力顯微鏡［11］)。下面我們將會發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)主要受摩擦力和儀器影響。例如粘一滑運(yùn)動狀態(tài)就比變化速度作用下的狀態(tài)難于直接得出動摩擦系數(shù)。因此，測量儀器的影響是不能忽略掉的。(ii)在粒狀材料中干摩擦也是一個重要的物理量［12］。一些相互作用的雙尺是否合力作用的展開話題將久遠(yuǎn)地影響庫侖動力學(xué)定律的修改。在兩個滑動表面的機(jī)械環(huán)境下(比如儀器)肉眼可見的自由程度很大。最重要的一個是側(cè)面的。這里僅討論在單一程度范圍內(nèi)描述的具體系統(tǒng)。圖2明確地說明了儀器的構(gòu)成。諧波振蕩器是這樣組成的：一個木塊(質(zhì)量為M)由一個彈簧(倔強(qiáng)系數(shù)為k)與一個固定施力系統(tǒng)連接(見圖2)。木塊與一個以恒定速度v?；瑒拥谋砻娼佑|。木塊和滑動表面之間的交互作用是靜止時的靜摩擦力FS(ttick)和運(yùn)動時的動摩擦力Fjv)的合力。在列寫運(yùn)動狀態(tài)方程時，我們必須區(qū)分木塊是處于粘住狀態(tài)還是滑動狀態(tài)。如果它處于粘住狀態(tài)，它的位移x將隨時間線性地增加，直到彈簧的彈力(kx)大于靜摩擦力FS。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"因此 X=v if\x\<F(t-1)/k (1a)0 Sr當(dāng)t<t時木塊在前一次滑動后再一次回到原狀態(tài)。r如果木塊滑動，運(yùn)動方程為\o"CurrentDocument"MX+kx=sign(v-X)F(|v-X|) (1b)如果X豐vorIxl>F(0)/k，sign(x)表示x的坐標(biāo)。0 S我們的研究將以庫侖定律關(guān)于持續(xù)靜和動摩擦的研究為基礎(chǔ)。當(dāng)X<v時，系統(tǒng)的0狀態(tài)就像一個干燥的諧波振蕩器在平衡位置附近以F/k這么大的位移振蕩。因而，有K很多解決振動的方法。在下面我們將要看到一些在速度影響下的動摩擦情況下依然存在的方法。木塊的平衡位置在x=FK(v0)/k，它被稱為連續(xù)變化狀態(tài)。第3頁共10頁每一個具有能夠使振動的最大速度大于vo的初始狀態(tài)都將導(dǎo)致在一個有限時間內(nèi)實現(xiàn)粘一滑狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。而滑動狀態(tài)是不受初始狀態(tài)影響的，將以X=F/k,元=v開始S 0運(yùn)動。然而，粘一滑系統(tǒng)定義了一個具有說服力的相位周期變化的規(guī)律。這和系統(tǒng)的狀態(tài)像干燥的諧波振蕩器的系統(tǒng)狀態(tài)并不是矛盾的。原因是：如果它在相位空間采樣，相位的變化范圍已被約定在了一條直線上如(la)式所示。粘一滑狀態(tài)要求動摩擦力FK必須小于靜摩擦力。通常粘住狀態(tài)時間[做=2(FS-FK)/(kv0)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于滑動狀態(tài)時間t =2(九—arctan[(F—F)v-1(kM)-1/2])v：M/k。粘一滑狀態(tài)的最大振幅(即maxx(t))slip SK0 t函數(shù)是一個關(guān)于vo的不規(guī)律變化的函數(shù)，其中vo是由FJk決定的，而且初始狀態(tài)v。=0。這個表達(dá)式對于一個速度影響的動摩擦同樣適用。未經(jīng)修改的庫侖定律致使以任何一個滑動速度v0的持續(xù)變化狀態(tài)與粘一滑狀態(tài)是同時存在的。在一個速度影響的動摩擦系統(tǒng)的一般范圍內(nèi)，這種雙穩(wěn)態(tài)都將存在，但是速度v。要有一個嚴(yán)格的限制范圍。特別是當(dāng)在粘-滑運(yùn)動狀態(tài)出現(xiàn)臨界速度v,時。比如日常的一個現(xiàn)象：快速地開關(guān)門就可以消除它的吱吱的聲音。我們?yōu)榱烁康厝ソ鉀Q線性運(yùn)動的FK關(guān)于v的狀態(tài)方程FK(v)=FK0+yv,y>0。方程(lb)將變形為能夠容易解決的不干燥諧波振蕩器的方程。用一個具有權(quán)威性的持續(xù)變化狀態(tài)代替擺動變化的解決辦法。如果軌跡x(0)=F/k,X(0)=v,t>0時不再粘住，S 0粘一滑狀態(tài)將會消失。臨界速度v=v由兩個方程x(t=F/k,X(t)=v得出。這0c slipK0 slip0樣將推出兩個關(guān)于ts^vc非線性數(shù)學(xué)方程。當(dāng)y<<Mkk時，可以近似認(rèn)為F-Fv=，s:k0=+o(為;y) (2)臨界速度vc在粘一滑狀態(tài)的性質(zhì)探討中是很重要的一個物理量，因為從它的測量方法中我們可以間接地知道有關(guān)機(jī)械裝置的干摩擦的知識(見論點[6])。接下來討論變化狀態(tài)的FK(v)，正如圖1的例子一樣。假設(shè)靜摩擦力FS始終是存在第4頁共10頁的。v為任何值時連續(xù)滑動狀態(tài)都是存在的，但它僅僅在F'三dF（v）/dv>0時是穩(wěn)0 KK0 0定的。在Fk（v）達(dá)到一個極值時這種穩(wěn)定狀態(tài)改變并且Hopf分歧出現(xiàn)。在接近極值并與連續(xù)滑動狀態(tài)有很小的背離時，（3）x(t)-FK(v0)=A(t)eik/Mt+c.c.k（3）由振幅決定（標(biāo)準(zhǔn)形式）[13]dA F' kF卅 F" nr,.——二一一k-A-（——k-+i（-k-）2；一）A2A （4）dt 2M 4M2 M \M如果關(guān)于動摩擦的極值的第三種說法是絕對的，而分歧是超臨界的，另外如上面所提到的眾所周知的觀點，另一種觀點產(chǎn)生了。這里稱為擺動滑動狀態(tài)。它是一個最大的速度總是小于V0的這個有限的循環(huán)周期。這樣木塊決不會粘住。它的頻率由左手邊（1b）的諧波振蕩器粗略地給出。動摩擦的第二種說法對于非線性頻率去諧是有效的。值得一提的是粘一滑振蕩器的頻率通常是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于擺動變化狀態(tài)的。這種擺動狀態(tài)與雷利的周期方程H+e（U3-u）+u=0[13]十分相似，事實上，雷利方程是（1b）方程的一個特例。因為動摩擦，幾種穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期循環(huán)可能存在。通過改變V。，產(chǎn)生和消除相互作用來承受分歧點。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)一點由（4）描述的Hopf的分歧觀點和Heslotetal[3]評述的Hopf的分歧觀點是沒有關(guān)系的。后者的評述在一次政體（稱為爬行的政體）上提出，（1a）是不適用的（同下面關(guān)于干摩擦定律有效性一致）。一個擺動變化狀態(tài)只有在它的最大速度小于由粘性狀態(tài)（1a）決定的滑動速度v0時才存在。擺動變化狀態(tài)和粘住狀態(tài)是怎么樣相互作用影響粘一滑運(yùn)動？為了回答這個問題，我們相反地計算點的軌跡lim「0（FK（0）/k,v0T）與（lb）一致。三種具有說服力的不同的軌跡是可能存在的。（1）利用相反軌道法采樣粘住狀態(tài)。他們一起定義了一個有界限的導(dǎo)致非線性軌道的初始狀態(tài)的裝置。這套裝置的界限專門稱為粘一滑狀態(tài)邊界；它是一個第5頁共10頁不可能存在的軌道，但是它把粘一滑振動和非粘一滑狀態(tài)這兩個難以分開的狀態(tài)區(qū)分開了。(2)相反軌道法向內(nèi)部盤旋接近于一個非穩(wěn)定狀態(tài)或非連續(xù)滑動狀態(tài)。此外所有的初始狀態(tài)除這些抵制狀態(tài)外都有一個固定的粘一滑周期。(3)這種相反軌道法向外盤旋趨向于無窮，粘一滑狀態(tài)是不會發(fā)生的。兩種局部分歧是由可能存在的：如果相反軌跡改變了從第一種情況到第三種情況的固定粘一滑循環(huán)，使粘一滑界限消失。從第一種情況到底二種情況的這種粘一滑界限也被非穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)或擺動滑動狀態(tài)或是它以消失變?yōu)榉€(wěn)定連續(xù)狀態(tài)或擺動滑動狀態(tài)。從第二種情況到第三種情況的轉(zhuǎn)變是不可能發(fā)生的。見圖3，對于Fk(v)的一個特殊值，將有兩種分歧觀點產(chǎn)生。第一個是在%'0.059,0.082,0.966。第二個是在v°\0.162,0.785。這個例子說明了不斷增加v0,粘一滑運(yùn)動可能消失也可能再產(chǎn)生。此外著名的雙穩(wěn)態(tài)的粘一滑運(yùn)動和連續(xù)滑動[3],連續(xù)滑動狀態(tài)，幾種擺動滑動狀態(tài)，和粘一滑振蕩器的穩(wěn)定性都是有可能的(見圖3)。最后所有的觀點都認(rèn)為除了連續(xù)滑動狀態(tài)，非常大的滑動速度將會消失因為動摩擦力將要充分地影響這個很大的速度。超強(qiáng)的過阻尼極限(i.e.|/(v)/dv\?而適用于任何v除了在極值里微小的距k離)導(dǎo)致了時間的分離。對于一個相位圖上的任一點((X,無)，并且無<v的狀態(tài)將快速0地向點(x,v)變化，v由kx=F(v-v),F'(v-v)>0。在曲線kx=F(v-X)上的點，當(dāng)k0 k0 k0Ff<0時時不穩(wěn)定的。他們分離了不同的v的求解辦法。駐留系統(tǒng)太久的快速運(yùn)動之后將要沿著曲線kx=F(v-X)變化。方向由X的符號決定。它也將到達(dá)穩(wěn)定連續(xù)滑動狀k0態(tài)，或者是，接近一個極限值fk，它將突然地向曲線分歧轉(zhuǎn)變或者是向粘住狀態(tài)。如圖1(b)所示動摩擦定律在兩個極值之間的v,出現(xiàn)振動滑動狀態(tài)。這是一個不嚴(yán)密的振0動可能難以區(qū)別粘一滑擺動狀態(tài)。如圖1(a)中單一的最小速度為v=v”的摩擦定律的情形下我們可以得到v0<v”[7]的粘一滑狀態(tài)。在超強(qiáng)過阻尼界限任何雙穩(wěn)定狀態(tài)都將消第6頁共10頁

失，除了接近FK(v)極值。Yoshizawa和Israelachvili[14]的實驗是一致的，他們假設(shè)系JOLunuJIEJOLunuJIE圖3典型的分歧觀點精確的動摩擦力FJv)見圖1⑹。接下來的作用力由下式?jīng)Q定：Fk(,)=用戶2+(丫2Ti)(v-v…v)2+(—)2]/2，其中丫廣3,Y2=SLv=02Av=0.05。由運(yùn)動Q)的方程積分就可以得到結(jié)果。其他的參數(shù)如Fs=1,M=40,k=1。各段曲線表示了穩(wěn)定和不穩(wěn)定連續(xù)滑動狀態(tài)(CS),擺動滑動狀態(tài)(OS),或者是粘一滑運(yùn)動(SS)。一系列曲線說明了粘一滑分界線。統(tǒng)處于超強(qiáng)過阻尼界限的摩擦定律如圖1(a)[7]所示。為了討論依賴靜止時間的靜摩擦力影響下的粘一滑狀態(tài)，我們建立了粘一滑坐標(biāo)系第7頁共10頁TOC\o"1-5"\h\zxn+1=T(xn)，xn是開始滑動的位置。對于恒定不變的靜摩擦力在圖中規(guī)定為T(x)=F/k。僅僅在滑動狀態(tài)向靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)變的時候位移定義為x，。它是x的函數(shù)，S n n即xs=g(x),函數(shù)g通常是一個單調(diào)遞減的函數(shù)。靜止時間tstick是這個函數(shù)的最小實n n n根F(tstick)—S_n =xs+vtstick (5)k n0n這就定義了一個函數(shù)ts'=h(xs)而且在F〉0時是單調(diào)遞減函數(shù)。這樣粘一滑圖可以n n S這樣定義T(x)=FS(h(g(x)))/k。當(dāng)圖只有一個點時，粘滑運(yùn)動就是存在的。當(dāng)FK二常量=FS(0)時，粘滑運(yùn)動消失v0>vc=supt>02[FS(t)-FS(0)]/(kt)。對于非凸起函數(shù)Fs(t),在粘一滑圖中靜止時間導(dǎo)致鞍狀節(jié)點穩(wěn)定和不穩(wěn)定的固定點在非零值處出現(xiàn)了上確限。與凸起的Fs(t)[8]的情形相比在v°：vc時粘一滑運(yùn)動有一個固定振幅。因為T是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，界限循環(huán)或平均混亂都是沒有可能的。如果滑動一靜止轉(zhuǎn)變不發(fā)生在x變?yōu)榕cv(因為xs>F(0)/k)相等的第一次。在這種情況下將0 ns得到一個由于非單調(diào)變化的g導(dǎo)致的非單調(diào)變化的T。如果FS(^)/FS(0)變得相當(dāng)大這樣過于發(fā)射是可能的。例如，對于一個持續(xù)變化的動摩擦力如果FJ8)/FS(0)>1+FK(0)/F(0)過發(fā)射將要發(fā)生。對于實實在在的系統(tǒng)這種狀況是不可能發(fā)生的。注意混亂的可能性和對于不變的FS的運(yùn)動⑴的方程不可能表現(xiàn)出混亂狀態(tài)的事實是不矛盾的。但是由于FS的延遲使⑴變?yōu)榱艘环N微分延遲方程。利用干摩擦的現(xiàn)象學(xué)意味著我們把干摩擦看作是一個機(jī)械電路的元素并帶有非線性的速度量和力的性質(zhì)，比如，說，在一個電路里的二極管。只要在肉眼可見的時間量程比任何互相作用的固體表面內(nèi)在的自由程度時間量程都大，這種看法就是可行的。但是有一種內(nèi)在的時間量程是分歧的，就是表面的相對速度變?yōu)?：它等于表面特有的側(cè)部長度值和相對速度的比值。這樣，任何動摩擦定律*(v)都會變的殘缺不全如果第8頁共10頁(6)microscopiclengthscalev (6)microscopictimescale這個特有的長度的范圍從幾微米到幾米。這可能是一個粗略的范圍，粗略的接觸范圍，表面粗糙度的相關(guān)長度，或者是彈性相關(guān)長度。任何干摩擦定律的局限性都不會涉及到擺動滑動狀態(tài)和持續(xù)滑動狀態(tài)，只要它們的相對滑動速度始終保持在比臨界速度(6)大的范圍內(nèi)。但是在粘一滑運(yùn)動中，粘住向滑動轉(zhuǎn)變之后的瞬間和在滑動向粘住轉(zhuǎn)變前的瞬間將大大影響粘住和滑動的轉(zhuǎn)變，界面的動力學(xué)行為細(xì)節(jié)會變得很重要。當(dāng)最大相對滑動速度減少的時候這些細(xì)節(jié)資料的重要性將增加。例如，Heslotetal[3]用實驗方法創(chuàng)立了十分完整的不同的行為在一個滑動過程中當(dāng)最大相對速度比臨界速度值(6)小。本文在干摩擦能描述為速度依賴的動摩擦和靜止時間依賴的靜摩擦的假設(shè)下討論了諧波振蕩器在一個固體平面上滑動的非線性動力學(xué)。除眾所周知的持續(xù)滑動狀態(tài)和粘一滑振蕩器之外，建立了一種沒有粘住的擺動滑動狀態(tài)。所有這些分歧點都在圖3中表示了出來。致謝我充滿感激地致謝托馬斯以及他的原稿讀物。本作品由瑞士國家自然科學(xué)基金會支持。參考文獻(xiàn)BowdenFPandTaborD1954FrictionandLubrication(Oxford:OxfordUniversityPress)RabinowiczE1965FrictionandWearofMaterials(NewYork:Wiley)HeslotF,BaumbergerT,PerrinB,CaroliBandCaroliC1994Phys.Rev.E494973BurridgeRandKnopoffL1967Bull.Seismol.Soc.Am.57341BhushanB,IsraelachviliJNandLandmanU1995Nature374607BermanAD,DuckerWAandIsraelachviliJN1996ThePhysicsofSlidingFrictionedBNJPerssonand第9頁共10頁ETosatti(Dordrecht:KluwerAcademic)PerssonBNJ1994Phys.Rev.B504771PerssonBNJ1995Phys.Rev.B5113568VetyukovMM,DobroslavskiiSVandNagaevRF1990Izv.ANSSSR.MekhanikaTverdogoTela2523(Engl.transl.1990Mech.Solids2522)IsraelachviliJN1985IntermolecularandSurfaceForces(London:Academic)MateCM,McClellandGM,ErlandssonRandChiangS1987Phys.Rev.Lett.591942ForanoverviewandmorereferencesonthephysicsofgranularmaterialsseeJaegerHM,NagelSRandBehringerRP1996PhysicsToday4932KevorkianJandColeJD1981PerturbationMethodsinAppliedMathematics(NewYork:Springer)YoshizawaHandIsraelachviliJ1993J.Phys.Chem.9711300第10頁共10頁NonlineardynamicsofdryfrictionFranz-JosefElmerInstitutfurPhysik,Universit"atBasel,CH-4056Basel,SwitzerlandReceived5November1996,infinalform21May1997Abstract：Thedynamicalbehaviourcausedbydryfrictionisstudiedforaspring-blocksystempulledwithconstantvelocityoverasurface.Thedynamicalconsequencesofageneraltypeofphenomenologicalfrictionlaw(stick-time-dependentstaticfriction,velocity-dependentkineticfriction)areinvestigated.Threetypesofmotionarepossible:stick-slipmotion,continuoussliding,andoscillationswithoutstickingevents.Arathercompletediscussionoflocalandglobalbifurcationscenariosoftheseattractorsandtheirunstablecounterpartsispresent.Coulomb,slaws[1]ofdryfrictionhavebeenwellknownforover200years.Theystatethatthefrictionforceisgivenbyamaterialparameter(frictioncoefficient)timesthenormalforce.Thecoefficientofstaticfriction(i.e.theforcenecessarytostartsliding)isalwaysequaltoorlargerthanthecoefficientofkineticfriction(i.e.theforcenecessarytokeepslidingataconstantvelocity).ThedynamicalbehaviourofamechanicalsystemwithdryfrictionisnonlinearbecauseCoulomb,slawsdistinguishbetweenstaticfrictionandkineticfriction.Ifthekineticfrictioncoefficientislessthanthestaticone,stick-slipmotionoccurswheretheslidingsurfacesalternatelyswitchbetweenstickingandslippinginamoreorlessregularfashion[1].Thisjerkymotionleadstotheeverydayexperienceofsqueakingdoorsandsingingviolins.EventhoughCoulomb,slawsaresimpleandwellestablished(manycalculationsinengineeringrelyontheselaws),theycannotbederivedinarigorouswaybecausedryfrictionisaprocesswhichoperatesmostlyfarfromequilibrium.ItisthereforenosurprisethatdeviationsfromCoulomb,slawshaveoftenbeenfoundinexperiments.第11頁共10頁

Typicaldeviationsareasfollows.(i)Staticfrictionisnotconstantbutincreaseswiththestickingtime[2,3],i.e.thetimesincethetwoslidingsurfaceshavebeenincontactwithoutanyrelativemotion.(ii)Kineticfrictiondependsontheslidingvelocity;forverylargevelocities,itincreasesroughlylinearlywiththeslidingvelocitylikeinviscousfriction.Comingfromlargevelocities,thefrictionfirstdecreases,goesthroughaminimum,andthenincreases[3,4].Inthecaseofboundarylubrication(i.e.afewmonolayersofsomelubricantarebetweentheslidingsurfaces)itdecreasesagainforverylowvelocities(seefigure1)[5,6].Thecoefficientofkineticfrictionasafunctionoftheslidingvelocitythereforehasatleastoneextremum.Thekineticfrictioncanexceedthestaticfriction,butinthelimitofzeroslidingvelocityitisstilllessthanorequaltothestaticfriction.Theaimofthispaperistogivearathercompletediscussionofthenonlineardynamicsofasingledegreeoffreedomforanarbitraryphenomenologicaldryfrictionlawinthesensementionedabove.Thisgoesbeyondthediscussionofspecificlawsfoundintheliterature[1,3,4,6 9].Aphenomenologicallawforthefrictionforcedependsonlyonthemacroscopicdegreesoffreedom.ThisimpliesthatallmicroscopicdegreesoffreedomaremuchfasterthanFigure1Schematicalsketchesoftypicalvelocity-dependentkineticfrictionFigure1Schematicalsketchesoftypicalvelocity-dependentkineticfriction第12頁共10頁themacroscopicones.Attheendofthispaperasimpleargumentwillbegivenonwhythisassumptionwillnotalwaysbevalid.Torevealthisinvalidityonthemacroscopiclevel,itisthereforeimportanttohaveacompleteknowledgeofthedynamicalbehaviourundertheassumptionthatthistimescaleseparationworks.Figure2Aharmonicoscillatorwithdryfriction.Therearetwootherimportantreasonsforknowingtheconsequencesofthedifferentdryfrictionlaws.(i)Frictioncoefficientscanonlybemeasuredwithinanapparatus(forexamplethesurfaceforceapparatus[10]orthefrictionforcemicroscope[11]).Belowwewillseethatthedynamicalbehaviourofthewholesystemisstronglydeterminedbythefrictionforceandthepropertiesoftheapparatus.Forexample,stick-slipmotionmakesitdifficulttodirectlyobtainthecoefficientofkineticfrictionasafunctionoftheslidingvelocity.Thus,theinfluenceofthemeasuringapparatuscannotbeeliminated.(ii)Dryfrictionalsoplaysanimportantroleingranularmaterials[12].AnopenquestionthereiswhetherornotthecooperativebehaviourofmanyinteractinggrainsissignificantlyinfluencedbythedynamicalbehaviourduetomodificationsofCoulomb,slaws.Themechanicalenvironment(e.g.theapparatus)oftwoslidingsurfacesmayhavemanymacroscopicdegreesoffreedom.Themostimportantoneisthelateralone.Hereonlysystemsarediscussedwhichcanbewelldescribedbythissingledegreeoffreedom.Figure2schematicallyshowstheapparatus.Itisdescribedbyaharmonic第13頁共10頁oscillatorwhereablock(massM)isconnectedviaaspring(stiffnessk)toafixedsupport(seefigure2).Theblockisincontactwithasurfacewhichslideswithconstantvelocityv0.Theinteractionbetweentheblockandtheslidingsurfaceisdescribedbyasticking-time-dependentstaticfrictionforceFQ)andavelocity-dependentkineticfrictionforceF(v).Fortheequationofmotionwehavetodistinguishwhethertheblocksticksorslips.Ifitsticks,itspositionxgrowslinearlyintimeuntiltheforceinthespring(i.e.kx)exceedsthestaticfrictionF,Thus X=v if\x\<F(t-1)/k0 Sr(1a)wheret<tisthetimeatwhichtheblockhasstuckagainafterapreviousslidingstate.Iftheblockslips,theequationofmotionreadsMX+kx=sign(v-X)F(|v-x|)0 K0(1b)ifX豐vorIxl>F(0)/kwheresign(x)denotesthesignofx.0 SWestartourinvestigationwithCoulomb,slawsofconstantstaticandkineticfriction.Aslongasx<vthesystembehaveslikeanundampedharmonicoscillator0withtheequilibriumpositionshiftedbytheamountofF/k.Thus,thereareinfinitelymanyoscillatorysolutions.Belowwewillseethatsomeofthemmaysurviveinthecaseofvelocity-dependentkineticfriction.Theequilibriumpositionoftheblockisx=F(v)/k.Itiscalledthecontinuouslyslidingstate.Everyinitialstatewhichwouldleadtoanoscillationwithavelocityamplitudeexceedingv0leadsinafinitetimetostick-slipmotion.Independentoftheinitialcondition,theslipsalwaysstartwithx=F/k,x=v.Thus,thestick-slipmotionS 0definesanattractivelimitcycleinphasespace.Thisisnotincontradictionwiththe第14頁共10頁factthatthesystembehavesotherwiselikeanundampedharmonicoscillator.Thereasonforthatisthatafiniteboundedvolumeinphasespaceiscontractedontoalineifithitsthatpartinphasespacewhichisdefinedby(1a).Stick-slipmotionrequiresakineticfrictionFKwhichisstrictlylessthanthestaticone.Usuallythestickingtimets.=2(F-F)/(kv)ismuchlargerthantheslippingtimetl.二2(九一arctan[(F—F)v-1(kM)t/2])%M/k.Themaximumamplitudeofthestick-sliposcillation(i.e.maxx(t))isamonotonicallyincreasingfunctionofv0twhichstartsatF/kforv0二0.Thisisalsotrueforavelocity-dependentkineticfrictionforce.TheunmodifiedCoulomb,slawleadstoacoexistenceofthecontinuouslyslidingstateandstick-slipmotionforanyvalueoftheslidingvelocityv.Inthemoregeneralcaseofavelocity-dependentkineticfrictionthisbistabilitystilloccursbutinarestrictedrangeofv0.Especially,therewillalwaysbeacriticalvelocityvabovewhichstick-slipmotiondisappears.Thisisaneverydayexperience:squeakingofdoorscanbeavoidedbymovingthemfaster.Inordertobemorequantitativewesolvetheequationofmotionforalineardependenceoffkonv,i.e.F(v)=F+yv,withy>0.Equation(1b)becomestheequationofadampedharmonicoscillatorwhichcanbeeasilysolved.Insteadofacontinuousfamilyofoscillatorysolutionswehaveanattractivecontinuouslyslidingstate.Stick-slipmotiondisappearsifthetrajectorywithx(0)=F/k,X(0)=vS 0neversticksfort>0.Thecriticalvelocityv=visdefinedbyx(t=F/k,X(t)=v.Itleadstotwononlinearalgebraicequationsslip K0 slip0fort[andv.Fory<<《Mkthesolutioncanbegivenapproximately:FszFkoy'2兀yjkM第15頁共10頁Thecriticalvelocityvplaysanimportantroleinthediscussionofthenatureofstick-slipmotion,becauseitsmeasurementtellsusindirectlysomethingaboutthemechanismsofdryfriction(seethediscussionin[6]).Nextwediscussageneralnon-monotonicF liketheexamplesshowninfigureThestaticfrictionFisstillassumedtobeconstant.ThecontinuouslyslidingstateexistsforallvaluesofvbutitisonlystableifF'三dF(v)/dv>0.Atan0 KK0 0extremumof晨(v)thestabilitychangesandaHopfbifurcationoccurs.Neartheextremumandforsmalldeviationsfromthecontinuouslyslidingstatethedynamicsofisgovernedbytheamplitudeequation(normalform)[13]dAF'a,kF"‘，〃、'T.4.4——=--A-(——K-+l(-K-)21一)A2Adt 2M 4M2 M\M⑷Ifthethirdderivativeofthekineticfrictionatanextremumispositive,theHopfbifurcationissupercritical,andinadditiontothewellknownattractorsmentionedabove,anothertypeofattractorappears.Hereitiscalledtheoscillatoryslidingstate.Itisalimitcyclewherethemaximumvelocityalwaysremainslessthanv0.Thustheblockneversticks.Itsfrequencyisroughlygivenbytheharmonicoscillatoroftheleft-handsideof(1b).Thesecondderivativeofthekineticfrictionisresponsiblefornonlinearfrequencydetuning.Notethatthefrequencyofthestick-sliposcillatorisusuallymuchsmallerthanthefrequencyoftheoscillatoryslidingstate.ThisoscillatorystateissimilartothelimitcycleofRayleigh,sequation第16頁共10頁u+s(U3—U)+u=0[13],infact,Rayleigh,sequationisaspecialcaseof(1b).Dependingonthekineticfriction,severalstableandunstablelimitcyclesmayexist.Byvaryingv0theyarecreatedordestroyedinpairsduetosaddle-nodebifurcations.ItshouldbenotedthattheHopfbifurcationdescribedby(4)isnotrelatedtotheHopfbifurcationobservedbyHeslotetal[3]whichoccursinaregime(calledthecreepingregime)where(1a)isnotapplicable(seealsothediscussionbelowaboutthevalidityofdryfrictionlaws).Anoscillatoryslidingstateexistsonlyifitsmaximumvelocityissmallerthantheslidingvelocityv0becauseofthestickingcondition(1a).Howdoestheinterplayoftheoscillatoryslidingstatesandthestickingconditionleadtostick-slipmotion?Inordertoanswerthisquestionwecalculatethebackwardtrajectoryofthepointlim(F(0)/k,v-s)inaccordancewith(1b).Threequalitativelydifferentbackwardtrajectoriesarepossible.Thebackwardtrajectoryhitsthestickingcondition.Togethertheydefineaboundedsetofinitialconditionsleadingtonon-stickingtrajectories.Theboundaryofthissetiscalledthespecialstick-slipboundary;itisnotapossibletrajectorybutitseparatesbetweenthebasinsofattractionofthestick-sliposcillatorandthenon-stick-slipattractors.Thebackwardtrajectoryspiralsinwardstowardsanunstableoscillatoryorcontinuouslyslidingstate.Againallinitialstatesoutsidetheserepellingstatesareattractedbyastick-sliplimitcycle.Thebackwardtrajectoryspiralsoutwardtowardsinfinity,andstick-slipmotionisimpossible.Twotypesoflocalbifurcationsarepossible:ifthebackwardtrajectorychangesfromcase1tocase3thestick-sliplimitcycleannihilateswiththespecialstick-slipboundary.Forchangesfromcase1tocase2thespecialstick-slipboundaryiseitherreplacedbyanunstablecontinuousoroscillatoryslidingstateoritannihilateswitha第17頁共10頁

stablecontinuousoroscillatoryslidingstate.Achangefromcase2tocase3isnotpossible.Figure3shows,foraparticularchoiceofF^(v),bothtypesofbifurcations.Herethefirstbifurcationtypeoccursatv0^0.059,0.082,and0.966.Thesecondtypeoccursatv020.162,and0.785Thisexampleshowsthatforincreasingv0stick-slipmotioncandisappearandreappearagain.Besidesthewellknownbistabilitybetweenstick-slipmotionandcontinuoussliding[3],multistabilitybetweenonecontinuouslyslidingstate,severaloscillatoryslidingstates,andonestick-sliposcillatorarepossible(seefigure3).Eventuallyforlargeslidingvelocitiesallattractorsexceptthatofthecontinuouslyslidingstatewilldisappearbecausethekineticfrictionhastobeanincreasingfunctionforsufficientlylargeslidingvelocities.Thestronglyoverdampedlimit(i.e.|^F(v)/dv| <kMforanyvexceptinktiny共10頁18頁V共10頁18頁V0EnExDEintervalsaroundtheextrema)leadstoaseparationoftimescales.Fromanarbitrarypoint(x,X)inphasespacewithX<vthesystemmovesveryquicklyintothe0point.(x,v)wherevisasolutionofXx-F(v-v),F'(v-v)>0.PointsonthecurveXx-F(v-X)withF'<0areunstable.TheyseparatebasinsofattractionofX0 Xdifferentsolutionsv.AfterthefastmotionhasdecayedthesystemmovesslowlyonthecurveXx-F(vthecurveXx-F(vX0reachesastablecontinuouslyslidingstate,or,nearanextremumofF,itjumpssuddenlytoanotherbranchofthecurveortothestickingcondition.Forkineticfrictionlawsoftheformshowninfigure1(b)withvQbetweenthetwoextrema,wegetanoscillatoryslidingstate.Itisarelaxationoscillationwhichmaybedifficulttodistinguishfromastick-sliposcillation.Inthecaseofafrictionlawwithasingleminimumatv-vasshowninfigure1(a)wegetstick-slipmotionforv<v[7].InthestronglyoverdampedlimitanymultistabilitydisappearsexceptneartheextremaofF^(v).TheexperimentsofYoshizawaandIsraelachvili[14]areconsistentwiththeassumptionthatthesystemisinastronglyoverdampedlimitwithafrictionlawasshowninfigure1(a)[7].Inordertodiscusstheinfluenceofastick-time-dependentstaticfrictiononthe第19頁共10頁stick-slipbehaviorwedefineastick-slipmapx=T(x),wherexisthepositionoftheblockjustbeforeslipping.ForconstantstaticfrictionthemapreadsT(x)=F/k.Thepositionjustatthetimeoftheslip-to-sticktransitionisdefinedbyx$.Itisafunctionofx,i.e.x5=g(x),wheregisusuallyan n n nmonotonicallydecreasingfunction.ThestickingtimetstickisthesmallestpositivensolutionofF(tstick)—S n =xs+Vt5仇樂k n0n⑸Thisdefinesafunctiontstick=h(x5n)whichisamonotonicallydecreasingfunctionduetoF'>0.Thusthestick-slipmapisgivenbyT(x)=F(h(g(x)))/k.Ifthemaphasonefixedpoint,thenstick-slipmotionexists.ForF=constant=F, stick-slip motiondisappearsifv>v=sup 2[F(t)-F(0)]/(kt).Foranon-convexF(t),thesupremumoccursatanon-zerovalueofthestickingtimeleadingtoasaddle-nodebifurcationofastableandanunstablefixedpointofthestick-slipmap.Atv=vthestick-slipmotionhasafiniteamplitude,incontrasttothecaseofaconvexF(t)[8].BecauseTisamonotonicallyincreasingfunction,limitcyclesorevenchaosarenotpossible.Iftheslip-to-sticktransitiondoesnothappenatthefirsttimewhenxbecomesequaltov0(becauseofx$n>F(0)/k)chaoticmotionmayoccur[9].Inthiscasewegetanon-monotonicTduetoanon-monotonicg.Suchover-shootingisonlypossibleifF(r)/F(0)becomesrelativelylarge.Forexample,foraconstantkineticfrictionover-shootingoccursifF(r)/F(0)>1+F(0)/F(0).Formostrealisticsystems第20頁共10頁thisconditionisnotsatisfied.Notethatthepossibilityofchaosisnotincontradictiontothefactthattheequationofmotion(1)withconstantFScannotshowchaoticmotion.ButtheretardationofFSturns(1)intoakindofdifferential-delayequation.Usingphenomenologicaldryfrictionmeansthatwetreatdryfrictionasanelementinamechanicalcircuitwithsomenonlinearvelocity-forcecharacteristicsuchas,say,adiodeinanelectricalcircuit.Thistreatmentisjustifiedaslongasthemacroscopictimescalesaremuchlargerthananytimescaleoftheinternaldegreesoffreedomoftheinteractingsolidsurfaces.Butthereisoneinternaltimescalewhichdivergesiftherelativevelocitybetweenthesurfacesgoestozero:itisgivenbytheratioofacharacteristiclaterallengthscaleofthesurfaceandtherelativeslidingvelocity.Thus,anykineticfrictionlawF^(v)becomesinvalidifmicroscopiclengthscale

v microscopictimescale(6)Thecharacteristiclengthscalerangesfromsevera