求通項的方法講義 高三數(shù)學一輪復習

求通項的八法三經(jīng)驗一個注意事項【八法】公式法：適用于an+1=an+B（B為常數(shù)），an+1=Aan（A為非零常數(shù)）疊加法：適用于an+1=an+f（n）解：∵an+1-an=f（n）∴an-an-1=f（n-1）a3-a2=f（2）A2-a1=f（1）而a1=...以上各式疊加可得an=...+f（1）+f（2）+...+f（n-1）（n≥2）=...而當n=1時，...=或≠a1∴an=（或分或合）練習：已知{an}中，a1=2，an+1=an+2n+3，求{an}通項3、疊乘法：適用于an+1=f（n）·an解：∵=f（n）∴=f（n-1）=f（2）=f（1）而a1=...以上各式疊乘可得an=...·f（1）·f（2）·...·f（n-1）（n≥2）=...而當n=1時，...=或≠a1∴an=（或分或合）練習：已知{an}中，a1=2，an+1=3n·an，求{an}通項4、待定系數(shù)法（適用于an+1=Aan+B）（A、B為常數(shù)且A≠0,1，B≠0）解：設an+1-x=A（an-x）（構造）∴x=令bn=an-x，則bn+1=an+1-x（換元）故bn+1=Abn∴{bn}是首項為b1，公比為A的等比數(shù)列∴bn=b1·An-1即an-x=（還原）∴an=練習：已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an+3，求{an}通項裂項法（適用于an+2=Aan+1+Ban）（A、B為常數(shù)且A，B≠0）解：設an+2-xan+1=y（an+1+xan）取x=y=令bn=an+1+xan，則bn+1=an+2-xan+1（換元）故bn+1=ybn∴{bn}是首項為b1，公比為y的等比數(shù)列∴bn=b1·yn-1即an-xan=（還原）到了這里，原來三項之間的關系變?yōu)榱藘身椫g的關系式，往下怎么走，由型定法。練習：已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=2，an+2=an+1+an，求{an}通項倒數(shù)法（適用于an+1=）或Aan+1·an+Ban+1+Can=0解：∵=（倒過來）∴=+（構造）∴令bn=，則bn+1=（換元）故bn+1=bn+（由型定法）∴bn=...即=...（還原）∴an=...練習：1、已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，求{an}通項2、已知數(shù)列{an}中，a1=1，3an+1·an+an+1-an=0，求{an}通項觀察歸納法前n項和法：適用于由Sn通項，求an通項例：已知{an}的前n項和是Sn，若Sn=n2+2n，求{an}通項解：∵Sn=n2+2n∴當n>1時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，（n≥2）而a1=s1=3當n=1時，2n+1=3=a1∴an=2n+1，（n≥1）練習：已知{an}的前n項和是Sn，若Sn=n2+2n+1，求{an}通項【三經(jīng)驗】異名同名化：有s有a的，s化a或a化s例1：設數(shù)列{an}的前n項和是Sn=an-×2n+1+，求首項a1和通項an例2：a1=3，2an=Sn·Sn-1（n≥2），求an高次低次化：①開方②因式分解③對數(shù)落冪例1：正項數(shù)列{an}中，an=2-1，求an例2：a1=1，an+1=an++，求an例3：正項數(shù)列{an}中，10Sn=an2+5an+6，且a1，a3，a5成等比，求an例4：an+1=an2且a1=3，求an多元單元化①加減消元②代入消元例：已知數(shù)列{an}中，a1=1，數(shù)列{bn}中，b1=0，當n≥2時，an=（2an-1+bn-1）bn=（an-1+2bn-1），求an與bn【一個注意事