建筑力學(xué)第八章-彎曲變形課件

建筑力學(xué)第八章彎曲變形建筑力學(xué)第八章彎曲變形1重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)軸線縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）(2)載荷作用在對(duì)稱平面內(nèi)

所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)(受力特點(diǎn))。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)軸線縱向?qū)ΨQ面FqM2重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、凡是以彎曲為主要3重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3、靜定梁的種類：（a）簡(jiǎn)支梁（b）懸臂梁（c）外伸梁（d）靜定組合梁中間鉸重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3、靜定梁的種類：（4重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.2梁的內(nèi)力計(jì)算x解：(1)、根據(jù)平衡條件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不產(chǎn)生移動(dòng)彎矩M——使截面不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)得到：oALBFabmm1、梁的內(nèi)力—剪力與彎矩得到：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.2梁的內(nèi)力計(jì)算x5重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、剪力、彎矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定：Q（＋）QMM（－）左上右下，剪力為正左順右逆，彎矩為正重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、剪力、彎矩的正、6重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和彎矩重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)解：1、根據(jù)平衡條件7重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力qAaC得到：（剪力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，為負(fù)剪力）得到：（彎矩M的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，為正彎矩）重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2、求C截面（跨中截8重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)如以右側(cè)梁作為研究對(duì)象，則：qBaC重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)如以右側(cè)梁作為研究對(duì)9重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)qAB4aaaC取左段梁為研究對(duì)象:取右段梁為研究對(duì)象:截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矢。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)qAB4aaaC取左10重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁為研究對(duì)象:取右段梁為研究對(duì)象:重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)截面左側(cè)（或右側(cè)）梁11重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矢。截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡(jiǎn)化所得到的主矩。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)截面左側(cè)（或右側(cè)）梁12重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4計(jì)算剪力和彎矩的基本規(guī)律（1）梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的剪力，而所有向下的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的剪力。（2）梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對(duì)于這個(gè)截面形心的力矩的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有向下的力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩;在此段梁上所有順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩。

重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4計(jì)算剪力和彎矩的13重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)計(jì)算實(shí)例重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)計(jì)算實(shí)例14重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.3內(nèi)力方程和內(nèi)力圖1剪力方程與彎矩方程在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即稱為剪力方程和彎矩方程重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.3內(nèi)力方程和內(nèi)力15重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖——用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2剪力圖和彎矩圖剪16重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)1、列出梁的剪力方程和彎矩方程

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，2、剪力圖3、彎矩圖

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，對(duì)于拋物線頂點(diǎn)，令重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)1、列出梁的剪力方程17重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)18重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.4微分關(guān)系法作內(nèi)力圖1彎矩、剪力和分布荷載之間的關(guān)系重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.4微分關(guān)系法作內(nèi)19重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2剪力圖、彎矩圖的規(guī)律1）當(dāng)梁上某段q=0時(shí)，該段剪力為常數(shù)，故剪力圖為水平直線。相應(yīng)的彎矩為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。當(dāng)FQ＞0時(shí)，彎矩圖為上升斜直線；FQ＜0時(shí)，彎矩圖為下降斜直線。2）當(dāng)梁上某段q=常數(shù)時(shí)，該段剪力為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線。相應(yīng)的彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。若q＞0，則剪力圖為上升斜直線，彎矩圖為凹口向上的曲線（凹孤）；若q＜0，則剪力圖為下降斜直線，彎矩圖為凹口向下的曲線（凸孤）。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2剪力圖、彎矩20重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3）在集中力作用處（包括支承處），剪力圖將發(fā)生突變，其突變值等于該處集中力之大小。當(dāng)集中力向上時(shí)，剪力圖向上突變（沿x正向），反之，向下突變；而彎矩圖將因該處兩側(cè)斜率不等出現(xiàn)拐點(diǎn)。4）在集中力偶作用處，彎矩圖將發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。當(dāng)集中力偶為順時(shí)針方向作用時(shí)，彎矩圖向上突變（沿x正向），反之則向下突變，但剪力圖在該處無(wú)變化。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3）在集中力作用處（21AB2m2m2mCDP=20KNq=4KN/m重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3利用荷載和內(nèi)力關(guān)系作內(nèi)力圖AB2m2m2mCDP=20KNq=4KN/m22重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)23重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.5疊加法作內(nèi)力圖1疊加原理的基本思想

疊加原理成立的應(yīng)用條件為：

是

的一次函數(shù)關(guān)系。在梁的內(nèi)力問題上，無(wú)論是剪力還是彎矩、都是外力的一次函數(shù)關(guān)系。梁受均布荷載時(shí)，彎矩圖是拋物線，但這只是表明了彎矩是截面位置的二次函數(shù)關(guān)系，而彎矩與外力的關(guān)系仍然是一次函數(shù)關(guān)系。

應(yīng)用疊加法作梁的內(nèi)力圖時(shí)，還應(yīng)特別注意考慮一個(gè)實(shí)際因素，那就是：基本內(nèi)力圖應(yīng)該是已知的。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.5疊加法作內(nèi)力圖24重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)

2疊加法作內(nèi)力圖重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2疊加法作內(nèi)力25重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.6常用截面的慣性矩

為什么要研究平面圖形的慣性矩材料力學(xué)的研究對(duì)象為桿件,桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。桿件的承載能力,不僅與截面大小有關(guān),而且與截面的幾何形狀有關(guān)。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.6常用截面的慣性26重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)1截面圖形的慣性矩圖形對(duì)y軸的慣性矩圖形對(duì)z軸的慣性矩zyOdAyzA定義：圖形對(duì)z軸的慣性半徑圖形對(duì)y軸的慣性半徑重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)1截面圖形的慣性27重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2簡(jiǎn)單截面的慣性矩矩形截面慣性矩hozybydy同理：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2簡(jiǎn)單截面的慣性28重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)圓截面慣性矩ddACyz重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)圓截面慣性矩ddAC29重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3組合截面的慣性矩移軸定理是指圖形對(duì)于互相平行軸的慣性矩之間的關(guān)系。即通過已知圖形對(duì)于一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩，求圖形對(duì)另一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩。zcycyzOadA是截面圖形的形心軸重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)3組合截面30重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)軸過截面圖形的形心，所以同理重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)軸過截面圖形的形心，31重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)求組合截面圖形的慣性矩圖示T形截面由上翼板1與腹板組2合而成。形心坐標(biāo)：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)求組合截面圖形的慣性32重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)上翼板1對(duì)其本部分形心軸

軸的慣性矩：腹板2對(duì)其本部分形心軸

軸的慣性矩：上翼板1對(duì)整體形心軸

軸的慣性矩：腹板2對(duì)整體形心軸

軸的慣性矩：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)上翼板1對(duì)其本部分形33重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)T形截面對(duì)整體形心軸軸的慣性矩：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)T形截面對(duì)整體形心軸34重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.7梁的正應(yīng)力計(jì)算1純彎曲與橫力彎曲純彎曲：橫截面上彎矩為常量，而剪力為零。橫力彎曲：橫截面上既有彎矩，又有剪力。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.7梁的正應(yīng)力計(jì)算35重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)

梁彎曲變形后，其橫截面仍保持為一平面，并仍與變形后梁的軸線垂直，只是轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。

平面假設(shè)

單向受拉、壓假設(shè)

設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓，每一根縱向纖維均處于單向拉伸、或壓縮。2平面假設(shè)與單向受拉、壓假設(shè)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)梁彎36重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)

中性層與橫截面的交線稱為中性軸。梁彎曲時(shí)，梁橫截面繞各自中性軸旋轉(zhuǎn)。3中性層、中性軸

由連續(xù)性假設(shè)，存在著一層既不伸長(zhǎng)，也不縮短的縱向纖維層，稱為中性層。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)中性層與橫截37重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4

純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4純彎曲時(shí)梁的正38重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)MZ:橫截面上的彎矩y:到中性軸的距離IZ:截面對(duì)中性軸的慣性矩重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)MZ:橫截面上的彎矩39重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)

例題計(jì)算梁中間C截面上

、

、

點(diǎn)的正應(yīng)力。梁中間

截面上的彎矩為：橫截面的慣性矩：各點(diǎn)的正應(yīng)力：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)例題計(jì)算梁中40重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)5梁內(nèi)的最大正應(yīng)力令：抗彎截面模量重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)5梁內(nèi)的最41重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)

反映截面形狀和尺寸對(duì)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的影響。對(duì)矩形截面對(duì)圓形截面對(duì)各類型鋼截面，

可通過查型鋼表得到。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)反42重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.8梁的切應(yīng)力假設(shè)：1）橫截面上的τ方向與FQ平行

2）τ沿截面寬度是均勻分布的1切應(yīng)力的計(jì)算公式切應(yīng)力的計(jì)算公式FQ–橫截面上的剪力；IZ–截面對(duì)中性軸的慣性矩；b–截面的寬度；

SZ＊–寬度線一側(cè)的面積對(duì)中性軸的靜矩.

重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.8梁的切應(yīng)力假設(shè)43重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)對(duì)于矩形截面的

2矩形截面梁的切應(yīng)力最大切應(yīng)力在中性軸上重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)對(duì)于矩形截面的44重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)例：矩形截面簡(jiǎn)支梁，加載于梁中點(diǎn)C，如圖示。求σmax,τmax。重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)例：矩形截面簡(jiǎn)支梁，45重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)zydDdA為圓環(huán)形截面面積3圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)zydDdA為圓環(huán)形46重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4工字形截面梁的切應(yīng)力t對(duì)于圖中陰影部分面積對(duì)中性軸的靜矩近似計(jì)算公式:重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4工字形47重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.9梁的變形撓曲線1彎曲變形的基本概念撓曲線重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)8.9梁的變形撓曲線48重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：向下的撓度為正

順時(shí)針的角為正撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：向下49重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2梁的撓曲線近似微分方程式

曲線的曲率為重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)2梁的撓50重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)51重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)52重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4利用積分法求梁變形（1）建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段的原則:①凡載荷有突變處（包括中間支座），應(yīng)作為分段點(diǎn)；②凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；③中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)4利用積分法求梁變53重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)(2)分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對(duì)其積分兩次對(duì)撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)(2)分段列出梁的撓54重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)(3)利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)

①積分常數(shù)的數(shù)目——取決于的分段數(shù)

M(x)——n段積分常數(shù)——2n個(gè)舉例：分2段，則積分常數(shù)2x2=4個(gè)重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)(3)利用邊界條件、55重慶大學(xué)出版社建筑力學(xué)②積分常數(shù)的確定——邊界條件和連續(xù)條件：邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。

連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個(gè)不