第05講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分數(shù)指數(shù)冪為0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a>0，b>0，r，s∈R)aras＝ar＋s；；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)一．指數(shù)冪的運算例1．（1）化簡（其中）的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪化簡即可.【詳解】=,選C.【點睛】本題考查分數(shù)指數(shù)冪運算,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.（2）=_____________.【答案】110【詳解】由冪的運算法則及根式意義可知，，故填.（3）計算：【答案】109【分析】化根式為分數(shù)指數(shù)冪，運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡可求出值.【詳解】原式＝（）6+1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．【點睛】本題考查根式的概念，將根式化為分數(shù)指數(shù)冪和其運算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.（4）計算【答案】-5.【分析】由題意利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，計算求得結(jié)果．【詳解】0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（5）已知am＝4，an＝3，求eq\r(am－2n)的值．【詳解】(1)eq\r(am－2n)＝＝eq\f(2,3).（6）已知＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③a2－a－2；=4\*GB3④【詳解】①∵∴即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.②∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.③設(shè)y＝a2－a－2，兩邊平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2205.所以y＝±21eq\r(5)，即a2－a－2＝±21eq\r(5).=4\*GB3④＝3×(7－1)＝18.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運算的先后順序．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．二．指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2．（1）函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得到的范圍，再根據(jù)函數(shù)圖像平移關(guān)系分析得到的范圍.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，排除AB選項；分析可知：函數(shù)圖像是由向左平移所得，，.故D選項正確.故選：D（2）如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)及時的函數(shù)值即可得解.【詳解】，時，時，.故選：B.（3）函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用函數(shù)是增函數(shù)，排除A，C，然后分別對B，D的圖象分析，假設(shè)函數(shù)的圖象是正確的，從而可得的范圍，進而可得指數(shù)函數(shù)的圖象【詳解】解：對于A，C，由于函數(shù)是增函數(shù)，圖象應(yīng)該呈上升趨勢，所以A，C錯誤；對于B，若函數(shù)的圖象是正確的，則，所以，所以函數(shù)是正確的，所以B正確；對于D，若函數(shù)的圖象是正確的，則，所以，所以函數(shù)是增函數(shù)，所以D錯誤，故選：B（4）如圖是指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖像，則a，b，c，d與0和1的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通過取得到具體的大小關(guān)系．【詳解】當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖可知，大于1，，大于0小于1．又由圖可知，即．，即．，，，與1的大小關(guān)系是．故選：．（5）若函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，則必有（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】對底數(shù)分情況討論即可得答案.【詳解】解：若，則的圖像必過第二象限，而函數(shù)（且）的圖像過第一、三、四象限，所以．當(dāng)時，要使的圖像過第一、三、四象限，則，即．故選：BC【點睛】此題考查了指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(2)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．三．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點1比較指數(shù)式的大小例3．（1）已知，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，且冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.點睛：本題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用；三是借助于中間變量比較大小.（2）下列各式比較大小，正確的是（

）A．1.72.5＞1.73B．C．1.70.3＞0.93.1D．【答案】BC【分析】A、B選項利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；C選項利用中間值1比大小；D選項利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較．【詳解】解：對于選項A：∵函數(shù)y＝1.7x在R上單調(diào)遞增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故選項A錯誤，對于選項B：＝，∵函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，且，∴＝，故選項B正確，對于選項C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故選項C正確，對于選項D：∵函數(shù)y＝在R上單調(diào)遞減，且，∴，又∵函數(shù)y＝在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，∴，∴＜，故選項D錯誤，故選：BC．（3）已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，又，，所以，即（4）設(shè)a＝eq\r(4,24)，b＝eq\r(3,12)，c＝eq\r(6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．b>a>c D．a(chǎn)<b<c【答案】D【詳解】eq\f(a,b)＝eq\f(\r(4,24),\r(3,12))＝eq\f(23×3,22×3)＝＝＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<1，又a>0，b>0，∴a<b，eq\f(b,c)＝eq\f(\r(3,12),\r(6))＝eq\f(22×3,2×3)＝＝＝＝<1，又b>0，c>0，∴b<c，綜上有a<b<c，故選D.（5）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對，，取對數(shù)，探求它們的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)()，借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可作答.【詳解】對，，取對數(shù)得：，，，令()，，令，，即在上單調(diào)遞增，由得，，于是得，又，因此，，即在上單調(diào)遞增，從而得，即，，所以.故選：B【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.(3)比較冪值大小的3種類型及處理方法命題點2解簡單的指數(shù)方程或不等式例4．（1）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】把命題化簡為，再考查以，分別為題設(shè)，結(jié)論和結(jié)論，題設(shè)的兩個命題真假即可作答.【詳解】因，又?，而，即“”是“”的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B（2）函數(shù)的定義域是（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)偶次根式下不小于0列出不等式解出即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，即：，因為為增函數(shù)，所以，解得：.故選：B.【點睛】本題主要考查了具體函數(shù)定義域的求法，指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.（3）方程的解為______.【答案】【分析】設(shè)，即求二次方程的正實數(shù)根，即可解決問題.【詳解】設(shè),即轉(zhuǎn)化為求方程的正實數(shù)根由得或(舍)所以，則故答案為：【點睛】本題考查指數(shù)型二次方程，考查換元法，屬于基礎(chǔ)題.（4）若，則函數(shù)的值域為________．【答案】【分析】首先根據(jù)單調(diào)性解指數(shù)不等式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域.【詳解】化為，，解得：為單調(diào)減函數(shù)，，則值域為.故答案為：（5）設(shè)0<a<1，則使不等式成立的x的集合是________．【答案】(－∞，4)【詳解】為減函數(shù)，，，解得，故使條件成立的的集合為，故答案為.（6）已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點P(3,8)，且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范圍．【詳解】設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因為f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因為g(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因此由g(2x－1)<g(3x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x，得2x－1>3x，解得x<－1.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解指數(shù)不等式的基本方法是先化為同底指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來解，注意底數(shù)對不等號方向的影響．命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5．（1）若函數(shù)的值域是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，根據(jù)的值域是，得到的值域是，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a，然后再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令由于的值域是，所以的值域是因此有，解得這時，由于的單調(diào)遞減區(qū)間是，在R上遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是答案：A【點睛】方法點睛：1、復(fù)合函數(shù)的值域的求法：令，則的值域即原函數(shù)的值域；2、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法：令，則，先求定義域，若這兩個函數(shù)的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的增區(qū)間為的增區(qū)間，在定義域內(nèi)的減區(qū)間為的減區(qū)間；若這兩個函數(shù)的單調(diào)性相異，則為減函數(shù)在定義域內(nèi)的增區(qū)間為的減區(qū)間，在定義域內(nèi)的減區(qū)間為的增區(qū)間；（2）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域為R B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【分析】由函數(shù)的表達式可得函數(shù)的定義域可判斷A；令，則，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域，可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷C、D.【詳解】令，則．對于A，的定義域與的定義域相同，為R，故A正確；對于B，，的值域為，所以函數(shù)的值域為，故B正確；對于C、D，因為在上單調(diào)遞增，且，在定義域上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性的處理方法(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．（3）若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于_______．【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，可知，從而可以確定函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，所以，故的最小值等于.考點：函數(shù)圖像的對稱性，函數(shù)的單調(diào)性.【方法點睛】該題根據(jù)題中的條件確定好函數(shù)本身的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)在函數(shù)增區(qū)間的所有子區(qū)間上是增函數(shù)，從而求得參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)條件，得出函數(shù)圖像的對稱性，確定出函數(shù)圖像的對稱軸，從而得到函數(shù)的增區(qū)間，從而根據(jù)集合間的包含關(guān)系，從而確定出參數(shù)的取值范圍.（4）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則實數(shù)a的取值范圍為_____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)式得出為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，把轉(zhuǎn)化為，求解即得到實數(shù)a的取值范圍．【詳解】由且定義域為R，故為偶函數(shù)，當(dāng)上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞減，，故，即，所以或.故答案為：（5）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是．要使物體的溫度變?yōu)椋€要經(jīng)過__________分鐘．【答案】120【分析】先把現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是代入公式，再列出此物體的溫度變?yōu)闀r的關(guān)系式，聯(lián)立二式組成方程組，解之即可求得要使物體的溫度變?yōu)椋€要經(jīng)過的時間.【詳解】∵現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是，∴，即①，要使物體的溫度變?yōu)?，則，即②，聯(lián)立①②，，解得，故還要經(jīng)過分鐘．故答案為：120．（6）求下列函數(shù)的定義域和值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間.=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.【答案】=1\*GB3①定義域：，值域：，減區(qū)間：；=2\*GB3②定義域：，值域：，減區(qū)間：和；=3\*GB3③定義域：R，值域：，增區(qū)間：，減區(qū)間：；=4\*GB3④值域，減區(qū)間：，增區(qū)間：【分析】=1\*GB3①由得定義域，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得值域，單調(diào)區(qū)間；=2\*GB3②由得定義域，然后求出的取值范圍，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得值域，單調(diào)區(qū)間；=3\*GB3③求出的取值范圍，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得值域，單調(diào)區(qū)間；=4\*GB3④設(shè)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，確定的范圍后可得值域，單調(diào)區(qū)間．【詳解】=1\*GB3①由得，所以定義域為，又，所以，，所以值域中，在上是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是；=2\*GB3②由得，所以定義域是，又，所以值域是，在和上都是增函數(shù)，所以的減區(qū)間是和；=3\*GB3③定義域是，又，所以值域中，在上遞增，在上遞減，所以的增區(qū)間，減區(qū)間是；=4\*GB3④定義域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上遞減，在上遞增，而是減函數(shù)，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域的求法(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝eq\r(fax)型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)．(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，在運用前面介紹的求函數(shù)值域的方法的前提下，要注意指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，切記準確運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．1．化簡(a>0，b>0)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化及其化簡運算，求解即可.【詳解】故選：B2．函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0,1）點，所以排除A，當(dāng)時，∴，所以排除B，當(dāng)時，∴，所以排除C，故選D.考點：函數(shù)圖象的平移.3．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點P，則點P的坐標(biāo)是（

）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【分析】令，即可求出定點坐標(biāo)；【詳解】當(dāng)，即時，，為常數(shù)，此時，即點P的坐標(biāo)為(－1，5).故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)過定點，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)的圖像的大致形狀是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】根據(jù)，是減函數(shù)，是增函數(shù).在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故選：D.【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)表達式求函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性求解.【詳解】由題意得，的定義域為，排除C,D；當(dāng)時，，∵，∴在上單調(diào)遞減，排除A，故選B.【點睛】本題考查了已知函數(shù)表達式，識別函數(shù)圖象，涉及了函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；從函數(shù)的定義域可以判斷函數(shù)圖象的“左右”位置，以及是否有斷點；單調(diào)性可以判斷函數(shù)的變化趨勢.6．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（

）.A． B．9 C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時取得最小值.故選A【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【整體點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．8．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，，根據(jù)在上是增函數(shù)，所以，即.故選：D.9．若集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，再利用交集的定義可求得集合.【詳解】由題意得集合，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，同時也考查了指數(shù)不等式與絕對值不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，然后根據(jù)，得到求解.【詳解】因為f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，解得，所以a的取值范圍是，故選：C11．若函數(shù)的值域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用換元思想轉(zhuǎn)化為的值域問題，再利用二次函數(shù)的圖象、指數(shù)不等式進行求解.【詳解】設(shè)，則，且，由題意，得的值域為，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：當(dāng)時，，顯然，即選項A錯誤；對于B：當(dāng)時，，顯然，即選項B錯誤；對于C：當(dāng)時，，顯然，即選項C錯誤；對于D：當(dāng)時，，則由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當(dāng)或，，當(dāng)時，，即選項D正確.故選：D.12．若函數(shù)的最大值是2，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有最大值及指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在定義域上先減后增，再由二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)即可.【詳解】由在定義域上遞減，要使有最大值，則在定義域上先減后增，當(dāng)，則的最小值為，所以，可得.故選：A13．已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．14．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡得，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)逐步求出函數(shù)的值域.【詳解】，因為，所以函數(shù)的值域為.故選：C15．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根式化簡及零指數(shù)意義.【詳解】對于A，，當(dāng)為負數(shù)時等式不成立，故A不正確；對于B，，當(dāng)時無意義，故B不正確；對于C，，左邊為正，右邊為負，故C不正確；對于D，，故D正確.故選：D.【點睛】根式化簡注意根指數(shù)的奇偶性.16．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過判斷函數(shù)的奇偶性排除CD,通過取特殊點排除B，由此可得正確答案.【詳解】∵∴

函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，∴

排除CD選項；又時，，∴，排除B，故選.17．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】研究函數(shù)的定義域和奇偶性，用排除法求解．【詳解】函數(shù)的定義域是，排除BD，又，即函數(shù)為奇函數(shù)．排除A．故選：C.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選取函數(shù)圖象．這類問題可研究函數(shù)的性質(zhì)，求定義域，值域，研究奇偶性，單調(diào)性，對稱性等，研究特殊值，特殊點（如頂點，與坐標(biāo)軸交點），函數(shù)值的正負，變化趨勢等，采取排除法．18．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】先利用解析式計算，再計算和式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，.故.故選：B.【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過指數(shù)式運算計算，再配對求和即解決問題.19．若函數(shù)的定義域為R，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】∵函數(shù)的定義域為R,∴恒成立20．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】可將看成的平方，等式兩邊同時除以，可得均值不等式的基本形式，再根據(jù)不等式的最值求解即可【詳解】由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），解得故選D【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的值域代換問題，方程有解問題，基本不等式最值求解，同時考查了方程與不等式的轉(zhuǎn)化思想21．某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)，為原污染物總量）.若前個小時廢氣中的污染物被過濾掉了，那么要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過濾小時，則正整數(shù)的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的最小值.【詳解】由題意，前個小時消除了的污染物，因為，所以，所以，即，所以，則由，得，所以，故正整數(shù)的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及指數(shù)不等式的求解，考查運算求解能力，屬于中等題.22．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析可得與的圖像都關(guān)于直線對稱，做出兩個函數(shù)的圖像，分析其交點情況，即可得答案.【詳解】由題意，函數(shù)滿足可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，由函數(shù)可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，畫出函數(shù)與的圖像如圖所示：設(shè)圖中四個交點的橫坐標(biāo)為，由圖可知，，所以函數(shù)與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)奇偶性和對稱性做出函數(shù)圖像，綜合性較強，屬中檔題.23．由于鹽堿化嚴重，某地的耕地面積在最近年內(nèi)減少了．如果按此規(guī)律，設(shè)2012年的耕地面積為，則2017年后的耕地面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)每年耕地減少的百分率為，則有，所以，則從2012年起，過年后耕地面積與的函數(shù)關(guān)系是.當(dāng)x=5時，選B．24．有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在年約為萬噸，年的年增長率為，有專家預(yù)測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從（

）年開始，快遞業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，解出滿足該不等式的最小正整數(shù)的值，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為萬噸，表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，由于第年快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，即，，兩邊取對數(shù)得，即，因此，從年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型在實際生活中的應(yīng)用，列出不等式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．25．（多選）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由題意可知，，，由此可得，；又，可得，由此即可求出結(jié)果．【詳解】，則，，，又，，．故選：AC.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪大小比較，屬于中檔題.26．_____________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與運算法則計算.【詳解】【點睛】本題考查指數(shù)冪的乘除混合運算，考查指數(shù)冪的運算性質(zhì)和乘除運算法則，考查了推理能力與計算能力.27．不等式的解集是___________.【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，求解即可.【詳解】，，即，解得，故不等式的解集為.故答案為：.28．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【詳解】∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>eq\f(1,2).∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).29．如果函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為__________．【答案】【分析】由得出，然后解不等式，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，即，得.對于函數(shù)，則有，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為.【點睛】本題考查抽象函數(shù)定義域的求解，需要注意以下兩個問題：（1）函數(shù)的定義域為自變量的取值范圍；（2）求解抽象函數(shù)的定義域要注意中間變量的取值范圍要一致.由此列不等式進行求解，考查計算能力，屬于中等題.30．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，若，則的取值范圍為________．【答案】【分析】先求得a的值，再利用函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為，解之即可求得的取值范圍.【詳解】定義在R上函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則，解之得，經(jīng)檢驗符合題意均為R上增函數(shù)，則為R上增函數(shù)，又，則不等式等價于，解之得故答案為：31．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．若，則______．【答案】6【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式，利用恒等變換求出相應(yīng)的a值．【詳解】函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為6【點睛】本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，代數(shù)式的變換問題的應(yīng)用．32．方程的解為______.【答案】或.【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)化對數(shù)方程為關(guān)于的一元二次方程，求得的值，進一步求得值得答案.【詳解】由，得，即，化為，解得：或，或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查的是對數(shù)方程的求解，將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題.33．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，，計算＝________．【答案】1【分析】利用奇函數(shù)及其對稱軸求的周期，并由奇函數(shù)求上的解析式，進而求得，應(yīng)用周期性求值即可.【詳解】由題意，且，∴，即，∴是周期為4的函數(shù).令，則，而時，∴，∴，即，而.故答案為：134．函數(shù)的定義域為______________．【答案】【分析】換元，得出，求出的范圍，由此可得出的取值范圍，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】換元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為，故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，解題的關(guān)鍵利用換元法將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.35．已知對一切上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，通過換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值．【詳解】可化為，令，由，得，則，在上遞減，當(dāng)時取得最大值為，所以．故答案為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力．屬中檔題.36．已知函數(shù)，給出下列命題：①若，則；②對于任意的，，，則必有；③若，則；④若對于任意的，，，則，其中所有正確命題的序號是_____．【答案】②④【詳解】分析：，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.詳解：，對于①，當(dāng)時，，故①錯誤．對于②，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，即：，故②正確．對于③表示圖像上的點與原點連線的斜率，由的圖像可知，當(dāng)時，，即：，故③錯誤．對于④，由得圖像可知，，故④正確．綜上所述，正確命題的序號是②④．點睛：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，準確掌握時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.屬中檔題.37．計算下列各式：（1）.（2）.（3）.【答案】（1）；（2）100；（3）.【分析】（1）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.（2）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.（3）利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【點睛】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，需熟記指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.38．已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．【詳解】①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x<y，∴x－y＝－6eq\r(3).③將②③代入①，得39．指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)，（且），將點代入計算可得；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出不等式的解集．【詳解】(1)解：指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，設(shè)，（且），，解得，；(2)解：由于函數(shù)為上增函數(shù)，且，∴，解得，則不等式的解集為．40．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值為14，求a的值．【詳解】函數(shù)y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a>1，則x＝1時，函數(shù)取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0<a<1，則x＝－1時，函數(shù)取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝eq\f(1,3).綜上所述，a＝3或eq\f(1,3).41．（1）已知函數(shù)的圖像恒過定點A，且點A又在函數(shù)的圖像上，求不等式的解集；（2）已知，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)首先求的值，再解指數(shù)不等式；（2）通過換元，設(shè)，并且求變量的取值范圍，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值.【詳解】（1）由題意知定點A的坐標(biāo)為，∴解得.∴.∴由得，.∴.∴.∴.∴不等式的解集為.（2）由得令，則，.∴當(dāng)，即，時，，當(dāng)，即，時，.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查求對數(shù)型函數(shù)的值域，求值域的方法是用換元法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后求解．42．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；；（2）1；（3）0.【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得的最小值是，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得；（3）同樣根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，的值域一定是，二次函數(shù)一定不合題意．從而可得結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時，，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即當(dāng)有最大值3時，實數(shù)a的值為1；在（2）基礎(chǔ)上，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域為，應(yīng)使的值域為R，因為二次函數(shù)的值域不可能為R，所以．【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增增增增減減減增減減減增43．已知函數(shù)，且，的定義域為[－1，1].（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）若方程＝有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減.（3）【詳解】試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)可得，再代入即可得的解析式；（2）令，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可.試題解析：（1），所以，所以.（2），令，所以在上單調(diào)遞減，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以上單調(diào)遞減.（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，所以，即.44．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，（1）求k，b的值；（2）求解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義列出方程，求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；【詳解】解：（1）∵函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，∴，∴；（2）由（1）得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，解得，即不等式解集為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參數(shù)的值以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.45．已知函數(shù)（且）．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）若在其定義域上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；（3）.【分析】（1）根據(jù)分式分母不為零求解出的范圍即為定義域；（2）先判斷定義域是關(guān)于原點對稱的，然后通過計算找到與的關(guān)系即可判斷奇偶性；（3）判斷函數(shù)的奇偶性，將問題轉(zhuǎn)化為：在恒成立，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）由，解得，∴函數(shù)的定義域為；（2）定義域為關(guān)于原點對稱，且，∴函數(shù)為奇函數(shù)；（3）∵為奇函數(shù)，∴為偶函數(shù)．∴在其定義域上恒成立等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成∴在上恒成立，∴，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度一般.（1）判斷指數(shù)型函數(shù)的奇偶性，首先要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；（2）解具有奇偶性的函數(shù)的相關(guān)不等式，首先可通過奇偶性將不等式簡化，然后再考慮利用單調(diào)性或者直接求不等式解集.46．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域及其值域；（2）求方程的解；（3）若函數(shù)有兩個不同零點，求m的取值范圍．【