關(guān)于勒讓德變換的討論

關(guān)于勒讓德變換的討論

lasso轉(zhuǎn)換通常用于學(xué)生和研究生的物理課程，尤其是應(yīng)用程序、統(tǒng)計(jì)力學(xué)和動(dòng)力學(xué)。許多物理學(xué)生首次接觸到le允許的變化。在那里，le允許的變化展示了拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)之間的關(guān)系。然后，在力學(xué)上，le允許的變化顯示了能量和各種熱耦合效應(yīng)的關(guān)系。le允許的轉(zhuǎn)換經(jīng)常被使用，但它不是像傅里葉變換那樣被用作實(shí)用的數(shù)學(xué)工具，而是一種新的方法。這些應(yīng)用過程中沒有反映le允許的轉(zhuǎn)換的兼容性。前不久有人介紹了單變量函數(shù)的勒讓德變換,從代數(shù)方法、幾何方法兩個(gè)方面討論了勒讓德變換的性質(zhì),解釋了變換的對(duì)稱性和一些結(jié)構(gòu)問題.在這篇文章中,把勒讓德變換推廣到多變量函數(shù)的勒讓德變換,得到變換的對(duì)稱性及偏微商的關(guān)系,并且應(yīng)用到經(jīng)典力學(xué),很清晰的推導(dǎo)出正則方程;應(yīng)用到熱力學(xué)中,得到熱力學(xué)中重要的幾個(gè)熱力學(xué)函數(shù)及其微分方程,幾個(gè)變量用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示及麥?zhǔn)详P(guān)系等.從而進(jìn)一步解釋勒讓德變換的對(duì)稱性.1勒讓德變換生成新函數(shù)多變量函數(shù):Φ=Φ(x1,x2,…,xn),其中xi(i=1,2,…,n)為獨(dú)立變量.為方便,假設(shè)Φ在N維空間都是光滑和可導(dǎo)的.在每一點(diǎn)都有1)如果將函數(shù)Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的某一獨(dú)立變量xj用其對(duì)應(yīng)變量sj代替,通過勒讓德變換構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)Ψ考慮式(2),則2)如果將函數(shù)Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的m(m≤n)個(gè)獨(dú)立變量xj(j=1,2,…,m)用其對(duì)應(yīng)變量sj(j=1,2,…,m)代替,通過勒讓德變換構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)Ψ考慮式(2),則2讓德變換的性質(zhì)2.1體系自變量的生成對(duì)于一個(gè)給定的體系來說,相互等價(jià)的特性函數(shù)的數(shù)目多少是一定的.如上式中,自變量數(shù)目為n,可以參與變換的變量的數(shù)目可以是0,1,2,3,…,n.很明顯,總共相互等價(jià)的特性函數(shù)的數(shù)目為其中,N是體系特性函數(shù)的數(shù)目,n是體系獨(dú)立自變量的數(shù)目.但這些函數(shù)的自變量的數(shù)目是不變的,設(shè)函數(shù)自變量中sj的角標(biāo)j構(gòu)成的集合稱為M,xi的角標(biāo)i構(gòu)成的集合稱為K,M∩K=φ,則M∪K=[0,n],式中φ為空集.勒讓德變換只能改變M和K中的元素,但在變換過程中,上式恒成立.任意給定一組變量就唯一決定一個(gè)函數(shù),所以不同函數(shù)實(shí)質(zhì)上是用它的獨(dú)立變量組來區(qū)分的.因此任一函數(shù)的微分形式可表為2.2勒讓德變換a把式(6)前半部分同式(4)比較可得把式(3)改寫成從上面的表達(dá)式可以看出勒讓德變換具有很明顯的對(duì)稱關(guān)系.變換前后的兩個(gè)函數(shù)是等效的,兩個(gè)變量也是互相關(guān)聯(lián)的.如果做兩次勒讓德變換,會(huì)得到原來的函數(shù).2.3基于兩個(gè)不同函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)把式(6)后半部分同式(4)比較,可得對(duì)無效變量的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系:再考慮式(1),即同時(shí)得到一個(gè)變量可以用兩個(gè)不同函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)出來2.4變量之間的偏差關(guān)系把式(9)兩邊同時(shí)對(duì)xj微分3哈密頓函數(shù)對(duì)無效變量的對(duì)稱化在經(jīng)典力學(xué)中,拉格朗日函數(shù)是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù):.設(shè)變量變換為:,函數(shù)由拉格朗日函數(shù)變換到哈密頓函數(shù)H(qα,pα,t),由式(3)得哈密頓函數(shù)變量由式(8)得可以看出具有明顯的對(duì)稱關(guān)系.由式(9)可得對(duì)無效變量的偏導(dǎo)的關(guān)系把式(12)的第一式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并利用拉格朗日方程及式(13)的第二式得把上式和式(12)的第二式放到一起即哈密頓正則方程這樣就利用勒讓德變換很清晰地從拉格朗日函數(shù)變換到哈密頓函數(shù),并推導(dǎo)出形式簡單而對(duì)稱的正則方程,并且很好的體現(xiàn)了勒讓德變換的對(duì)稱性.4勒讓德變換的應(yīng)用在熱力學(xué)中,常見的是兩個(gè)變量的熱力學(xué)函數(shù),以簡單系統(tǒng)為例,內(nèi)能是熵和體積的函數(shù).即:U(S,V).4.1吉爾斯函數(shù)設(shè)變量變換為S→T,由式(3)得Ψ1=ST-U.令F=-Ψ1則F=-(ST-U)=U-ST,為熱力學(xué)中的自由能,即設(shè)變量變換為V→-p,由式(3)得Ψ2=V(-p)-U,令H=-Ψ2則H=-(-pV-U)=U+pV,為熱力學(xué)中的焓,即設(shè)變量變換為S→T,V→-p,由式(3)得Ψ3=ST+V(-p)-U,令G=-Ψ3則G=-(ST-pV-U)=U-ST+pV,為熱力學(xué)中的吉爾斯函數(shù),即有從上面這些表達(dá)式看等效的這些函數(shù)具有完全對(duì)稱的結(jié)構(gòu)形式.4.2不同函數(shù)的微分方程4.3用偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)相關(guān)變量設(shè)變量變換為S→T,函數(shù)U(S,V)→-F(T,V),由式(8)可得變量的表達(dá)式具有很好的對(duì)稱性,在上面的變換中體積是不變量,和體積對(duì)應(yīng)的變量是-p,從式(9)可以得到同理,其他變量都可以用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)出來.4.4勒讓德變換在其他的系統(tǒng)上的應(yīng)用由式(10)得這一組表達(dá)式即熱力學(xué)中應(yīng)用非常多的麥?zhǔn)详P(guān)系,可以很方便的從前面勒讓德變換的性質(zhì)中得到.這樣,以簡單系統(tǒng)為例,兩個(gè)變量的熱力學(xué)中常用的幾組關(guān)系式都從勒讓德變換的性質(zhì)中得到,它的應(yīng)用可以推廣到其他的系統(tǒng)當(dāng)中,例如磁介質(zhì)等.同樣,勒讓德變換的應(yīng)用也可以推廣到含有兩個(gè)變量以上的系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)中,比如開系,吉布斯函數(shù)是溫度、壓強(qiáng)、摩爾數(shù)3個(gè)變量的函數(shù),G(T,p,n),從吉布斯函數(shù)出發(fā)應(yīng)用勒讓德變換,可以得到其他幾個(gè)熱力學(xué)函數(shù):H(S,p,n),F(T,V,n),U(S,V,n),以及這幾個(gè)函數(shù)的微分方程等.5勒讓德變換在力學(xué)中的應(yīng)用通過介紹多變量函數(shù)的勒讓德變換,得到變換的對(duì)稱性及偏微商的關(guān)系,并且應(yīng)用到經(jīng)典力學(xué),很簡潔表述了勒讓德函數(shù)和哈密頓函數(shù)的關(guān)系,并得到正則方程;應(yīng)用到熱力學(xué)中,得到熱力學(xué)中重要的幾個(gè)熱力學(xué)函數(shù)(兩個(gè)變量)及其微分方程,用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示變量及麥?zhǔn)详P(guān)系等.勒讓德變換在熱力學(xué)中的應(yīng)用可以擴(kuò)展到3個(gè)及3個(gè)以上變量的體系中去,同時(shí)可進(jìn)一步應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)物理及其他課程中.如果能在學(xué)這些課程之前了解勒讓德變換,會(huì)對(duì)學(xué)物理的學(xué)生有很大幫助.則由式(1)和式(7)可得考慮式(4),有得到變量之間偏微分的關(guān)系由式(5)可得由式可以得到各個(gè)函數(shù)的微分方程.設(shè)變量都不變,