第06講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（解析版）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.(e＝2.71828…)2．對數(shù)的性質與運算性質(1)對數(shù)的性質：=1\*GB3①1的對數(shù)為零：loga1＝0.=2\*GB3②底的對數(shù)為1：logaa＝1.=3\*GB3③零和負數(shù)沒有對數(shù)．=4\*GB3④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運算性質如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③＝eq\f(m,n)logab．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．重要推論：=1\*GB3①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；=2\*GB3②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．一．對數(shù)式的運算例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,則m=____.【答案】10【詳解】因為2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,由換底公式可得=logm2+logm5=logm10=1,則m=10.點睛：(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底或指數(shù)與對數(shù)互化．(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．（2）求值：_________________．【答案】【分析】先利用對數(shù)的運算法則進行計算，第一個式子的值直接利用冪的運算將真數(shù)化成的形式后進行計算，將中間兩個對數(shù)式的和化成一個以為底的對數(shù)的形式即可求得其值為，再結合對數(shù)恒等式：進行計算最后一個式子的值．從而問題解決．【詳解】解：．故答案為．【點睛】本小題主要考查對數(shù)的運算性質、對數(shù)的運算性質的應用、指數(shù)的運算性質等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．對數(shù)的運算性質：；；等．（3）計算：＝________．【答案】1【解析】根據(jù)對數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】原式＝＝＝＝＝＝1．故答案為：1.【點睛】該題考查的是有關對數(shù)的運算，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法則，屬于簡單題目.（4）已知，，用a、b表示__________．．【答案】【分析】先把指數(shù)式變?yōu)閷?shù)式，然后利用換底公式進行求解，而通過來表達是本題的關鍵；【詳解】因為，所以，所以有換底公式得：因為，而，所以，∴故答案為：（5）若log34?log48?log8m＝log416，則m＝___．【答案】9．【分析】把給出的等式左邊利用換底公式化簡后整理即可得到m的值．【詳解】解：由log34?log48?log8m＝log416，得，即，所以m＝9．故答案為：9．（6）若是方程的兩個實根，則的值為______．【答案】12【分析】原方程可化為，設，則原方程可化為，利用換元法令，，再根據(jù)對數(shù)的運算法則，即可得答案；【詳解】原方程可化為，設，則原方程可化為．設方程的兩根為，，則，．由已知a，b是原方程的兩個根．可令，，則，，．故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)方程的求解及對數(shù)運算法則求值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.【復習指導】：解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.二．對數(shù)函數(shù)的圖像及應用例2．（1）函數(shù)，，，的圖象如圖所示，則的大小順序是（）A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b【答案】A【分析】令4個函數(shù)取同樣的函數(shù)值1，得到的自變量的值恰好是，通過函數(shù)的圖象從左到右依次與交于，從而得出.【詳解】令4個函數(shù)取同樣的函數(shù)值1，即，解得，作出的圖象從左到右依次與交于，，故選A.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.（2）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大?。蓤D易得，；取特殊點，，．選A．（3）函數(shù)，且與函數(shù)在同一坐標系內的圖象不可能的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質逐項分析即得.【詳解】對于A，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項A可能；對于B，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項B可能；對于C，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為>1，對應方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項B可能；對于D，由對數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對稱軸為<1，對應方程的兩個根為0，，由圖知，從而，選項D不可能.故選：D.（4）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上（其中），則的最小值等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質可得定點，得到，再把式子化為，利用基本不等式，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質可得，函數(shù)點的圖象恒過定點，又因為點在直線，所以，則，當且僅當，即等號成立，所以的最小值為4，故選D.【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的性質，合理化簡，準確使用基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.（5）若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________________【答案】【分析】將已知不等式化簡，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，列出不等式組，可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】對，可化簡為恒成立，畫出和的圖象如圖所示，要使不等式成立，需滿足，解得，故答案為：．（6）函數(shù)的零點個數(shù)為_______________.【答案】【分析】函數(shù)的零點個數(shù)，令，，轉化函數(shù)與的交點個數(shù)，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象即可解答.【詳解】解：函數(shù)的零點，即方程的解，令，也就是函數(shù)與的交點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示，由圖可知與有個交點，即有個零點.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的零點，體現(xiàn)了轉化思想，數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題.【復習指導】：對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解．三．對數(shù)函數(shù)的性質及應用命題點1比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小例3．（1）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將,改寫為，，再利用單調性比較即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.（2）（多選）已知實數(shù)，，滿足，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的性質，即可比較各選項中函數(shù)值的大小.【詳解】A選項：為單調減函數(shù)，所以；B選項：與，當時，當時，所以；C選項：在時，而在時，所以；D選項：在上單調遞增，所以；故選：BC.【點睛】本題考查了利用指對冪函數(shù)的性質比較數(shù)、式的大小，應用了函數(shù)思想，屬于基礎題.（3）設，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考查冪函數(shù)得到，又運用中間變量得解【詳解】，為增函數(shù)，故，即.故.故選C.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調性判斷函數(shù)值大小，同一題中有指對數(shù)式通常利用中間變量得解,屬于基礎題.（4）設x、y、z為正數(shù)，且，則（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【詳解】令，則，，∴，則，，則，故選D.點睛:對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應的，通過作差或作商進行比較大小.對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及0與1的對數(shù)表示.（5）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先證明，再證明，即得解.【詳解】，，因為，所以.故選：D【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于熟練掌握指數(shù)對數(shù)函數(shù)的運算和性質，從而達到比較大小的目的.【復習指導】：(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調性，引入中間量；有時也可用數(shù)形結合的方法．(2)解題時要根據(jù)實際情況來構造相應的函數(shù)，利用函數(shù)單調性進行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.(3)比較對數(shù)值大小時常用的四種方法:=1\*GB3①同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調性．=2\*GB3②同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉化．=3\*GB3③底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．=4\*GB3④若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調性的影響，對底數(shù)進行分類討論．命題點2解對數(shù)方程或不等式例4．（1）已知集合,，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)單調性解集合，利用換元法和均值不等式求集合，然后利用集合間的交運算求解即可.【詳解】由或，故或；不妨令，則，當且僅當時，即時，不等式取等號，故，從而.故選：C.（2）設函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【詳解】由題意得或解得a>1或－1<a<0，故選C.（3）已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調性將不等式等價為，進而可求得結果.【詳解】依題意，不等式，又在上是增函數(shù)，所以，即或，解得或.故選：C.（4）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，若對于任意，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是偶函數(shù)，所以不等式可化為，又在上單調遞增，所以，而的最小值為1，所以，，解得．（5）方程的解是________.【答案】【分析】因為,故考慮看成的二次方程進行求解即可.【詳解】,因式分解得,又,故故答案為【點睛】本題主要考查關于二次函數(shù)的復合函數(shù)求解問題,也可進行換元求解.（6）已知，且=1\*GB3①當時，解不等式；=2\*GB3②在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①當時，可得，即為，由對數(shù)函數(shù)的單調性，可得不不等式的解集；=2\*GB3②由在上恒成立，得在上恒成立，討論，根據(jù)的范圍，由恒成立思想，可得的范圍.【詳解】=1\*GB3①當時，解不等式，得，即，故不等式的解集為.=2\*GB3②由在恒成立，得在恒成立，當時，有，得，當時，有，得，故實數(shù)的取值范圍.【復習指導】：對數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論．(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．命題點3對數(shù)函數(shù)性質的綜合應用例5．（1）設函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調遞減C．是偶函數(shù)，且在單調遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調性的性質可判斷出單調遞增，排除B；當時，利用復合函數(shù)單調性可判斷出單調遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調性的性質和復合函數(shù)“同增異減”性得到結論.（2）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】A【詳解】令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．【復習指導】：利用對數(shù)函數(shù)的性質，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域和復合函數(shù)的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的．另外，解題時要注意數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用．（3）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函數(shù)的最大值，結合已知條件可得出，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，當時，；當時，.所以，.若對任意的，不等式恒成立，則，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【復習指導】：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.（4）已知函數(shù)，，若存在，對任意，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．（1，4）【答案】A【分析】將問題化為在對應定義域內，結合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質求它們的最值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．當時，，由對勾函數(shù)的性質得：在[3,4]上單調遞增，故．當時，單調遞增，則，所以，可得．故選：A【復習指導】：雙變量存在與恒成立問題：若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則的值域是的子集．（5）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)的零點個數(shù)即為的方程根個數(shù)，由寫出的解析式，解出方程根，可得函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)即為的方程根個數(shù)，，則當時，令，解得或(舍)當時，令，解得或即函數(shù)的零點個數(shù)為個故選：C【點睛】本題考查函數(shù)零點的應用，考查分段函數(shù)，考查對數(shù)函數(shù)的性質，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．（6）若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為______．【答案】【分析】關于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，進而轉化為函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由題意，關于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，設，，因為在上恒成立，所以當時，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，由圖象可知，當時，函數(shù)的圖象在圖象的上方,不符合題意，舍去；當時，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則，即，解得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用，以及不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式恒成立轉化為兩個函數(shù)的關系，借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.1．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過函數(shù)在處函數(shù)有意義，在處函數(shù)無意義，可排除A、D；通過判斷當時，函數(shù)的單調性可排除C，即可得結果.【詳解】當時，，函數(shù)有意義，可排除A；當時，，函數(shù)無意義，可排除D；又∵當時，函數(shù)單調遞增，結合對數(shù)函數(shù)的單調性可得函數(shù)單調遞增，可排除C；故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，考查同學們對函數(shù)基礎知識的把握程度以及數(shù)形結合與分類討論的思維能力，屬于中檔題.2．在同一直角坐標系中，函數(shù)，的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象與性質，再結合對數(shù)函數(shù)圖象的平移即可得到結論.【詳解】對于A來說：冪函數(shù)中，而對數(shù)函數(shù)平移后的圖象應該還在軸右側（定義域為），所以A是不可能的；對于B來說：冪函數(shù)中，而對數(shù)函數(shù)平移后的圖象應該還在直線右側（定義域為），所以B是可能的；對于C來說：冪函數(shù)中，選擇，而對數(shù)函數(shù)平移后的圖象應該還在直線右側（定義域為），所以C是可能的；對于D來說：冪函數(shù)中，選擇，而對數(shù)函數(shù)平移后的圖象應該還在直線右側（定義域為），所以D是可能的.故選：A.【點睛】本題考查冪函數(shù)的圖象與性質，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質以及平移問題，屬于基礎題.3．若函數(shù)（且）在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式中參數(shù)的值和的取值范圍，再去判斷其圖像形狀.【詳解】因為函數(shù)在R上是奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)檢驗，滿足題意，又因為為減函數(shù)，所以，則（）由可知的圖象關于直線軸對稱，排除選項CD；又，可知選項A錯誤.所以的大致圖象為B．故選：B4．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除AB，再由特殊值排除C，即可得解.【詳解】因為，，所以，故函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除AB，當時，，排除選項C，故選：D5．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指對冪函數(shù)的圖像性質判斷的范圍即可.【詳解】由圖,當時,,當時,又冪函數(shù)為增函數(shù)且上凸,故.故.故選：A【點睛】本題主要考查了指對冪函數(shù)的圖像分析,屬于基礎題型.6．若函數(shù)的大致圖象如圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象可推得，，且，可得函數(shù)的圖象遞減，且，從而可判斷答案.【詳解】由函數(shù)的圖象為減函數(shù)可知，，再由圖象的平移變換知，的圖象由向左平移不超過一個單位，可知，故函數(shù)的圖象遞減，且，則符合題意的只有B中圖象故選：B.7．已知，若關于x的方程有四個不相等的實根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)的圖象，可看作與有四個不同的交點，結合兩段函數(shù)圖象分別與有2個交點可得交點的范圍，再利用基本不等式可得答案.【詳解】，，由函數(shù)的圖象可知方程有四個不同的實根時，設與的交點的橫坐標為，設，則，且，，設與交點的橫坐標為，則，由得，，，.故選：D.【點睛】本題考查了方程實根問題，關鍵點是轉化為函數(shù)圖象交點問題，利用數(shù)形結合得到的范圍，考查了學生分析問題、解決問題的能力及數(shù)形結合的思想.8．如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：如下圖所示，畫出的函數(shù)圖象，從而可知交點，∴不等式的解集為，故選C．考點：1．對數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．數(shù)形結合的數(shù)學思想．9．已知函數(shù)，若，，均不相等，且==，則的取值范圍是（

）A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)，不妨設，結合圖象可求出范圍【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，不妨設，則，所以，，所以，，所以，故選：C10．已知，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以構造函數(shù)，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再利用單調性比較大小即可【詳解】，，，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，，因為，所以，所以故選：C11．已知，則與的大小關系是（

）A． B．C． D．不確定【答案】C【分析】令，結合題意可知，進而有，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性和運算性質即可求解【詳解】令，則當時，，當時，；由，得考慮到得，由，得，即故選：C12．設,,則

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調性比較數(shù)值大小.【詳解】因為，，，所以，故選A.【點睛】本題考查利用指、對數(shù)函數(shù)的單調性比較數(shù)值大小，難度一般.利用指、對數(shù)函數(shù)單調性比較大小時，注意利用中間量比較大小，常用的中間量有：.13．若，，則x，y，z的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得和，根據(jù)（）為增函數(shù)，即可比較三者大小.【詳解】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關系和（）為增函數(shù)：，由，即故可得，即綜上：故選：D.14．若a＝log54，b＝log43，c，則（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【答案】C【分析】利用，得，可比較b、c，通過作商，結合基本不等式可比較a、b．【詳解】因為，所以，所以，即，又，所以因為所以即所以故選：C．15．設是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調遞增，若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的奇偶性化簡，結合的單調性確定的大小關系.【詳解】依題意是定義域為R的偶函數(shù)，，，，，，，，由于在上單調遞增，所以.故選：D16．已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知條件，由對數(shù)函數(shù)的單調性可得，然后利用反比例函數(shù)的單調性可以否定A；利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，將不等式兩邊的數(shù)與中間量比較大小，可以證明B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，當時可以否定C；由指數(shù)函數(shù)的性質可以否定D.【詳解】為定義在上的單調減函數(shù)，故由已知可得，∵反比例函數(shù)在上的單調減函數(shù)，∴,故A錯誤；,∴冪函數(shù)在上的單調遞增，又∵,∴；∵，∴指數(shù)函數(shù)在上的單調遞減，又∴.∴，故B正確；由已知只能得到,當時,故C錯誤；由可得,故D錯誤.故選：B.【點睛】本題考查冪指對函數(shù)的性質，屬基礎題.綜合利用冪指對函數(shù)的單調性比較大小，應當熟練掌握冪指對函數(shù)的單調性，對于冪函數(shù)，在指數(shù)大于0時，在第一象限內單調遞增，當指數(shù)小于0時，在第一象限內單調遞減；對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，當?shù)讛?shù)大于1時在定義域內單調遞增，當?shù)讛?shù)大于0小于1時在定義域內單調遞減.17．若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的要求，及對數(shù)的單調性特征，分段討論a的取值情況，分別解不等式即可求得a的范圍．【詳解】因為所以當時，對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以，可得當時，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，可得綜上所述，的取值范圍為所以選D【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)大小的判斷，注意對數(shù)的底數(shù)對單調性的影響，屬于中檔題．18．已知是偶函數(shù)，它在上是增函數(shù).若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的性質將不等式變形為，再由函數(shù)在上的單調性得出，利用絕對值不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調性即可求出結果.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，由得，又函數(shù)在上是增函數(shù)，則，即，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性解不等式，同時也涉及了對數(shù)函數(shù)單調性的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19．已知集合，，若，則的可能取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式確定集合，然后由交集的結果確定參數(shù)的取值范圍．【詳解】，，因為，所以，．又，∴．故選：D．【點睛】本題考查由集合交集的結果求參數(shù)范圍，解題時可先確定兩個集合中的元素，然后分析交集的結果得出結論．20．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對命題進行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進行判斷即可.【詳解】因為命題是真命題，當時，，若恒成立，則，結合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B．21．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先化簡集合，再求得解.【詳解】，則.故選：A【點睛】易錯點睛：解不等式容易漏掉函數(shù)的定義域，從而得到，導致出錯.解答函數(shù)的問題，要注意“定義域優(yōu)先”的原則.22．定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的性質將不等式進行等價轉化，結合對數(shù)不等式的解法進行求解即可.【詳解】∵偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且，∴在上是增函數(shù)，且，即，得或，得或，即不等式的解集為，故選：D.【點睛】本題主要考查了通過函數(shù)的奇偶性和單調性解抽象函數(shù)的不等式，屬于中檔題.23．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得函數(shù)的奇偶性以及單調性，據(jù)此原不等式轉化為，求解可得x的取值范圍，即可得出結論．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則有，解可得，即函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又由，即函數(shù)為奇函數(shù)，設，則，，在上為減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，故在區(qū)間上為減函數(shù)，，解可得：，即不等式的解集為；故選:D．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，解題時不要忽略函數(shù)的定義域，屬于中檔題．24．定義在上的奇函數(shù)，當時，，則關于的函數(shù)的所有零點之和為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)各區(qū)間的函數(shù)性質畫出的圖象，將問題轉化為與直線的交點問題，結合已知條件判斷交點橫坐標間的對稱關系，進而求零點的和.【詳解】由題設，畫出上的大致圖象，又為奇函數(shù)，可得的圖象如下：的零點，即為方程的根，即圖像與直線的交點.由圖象知：與有5個交點：若從左到右交點橫坐標分別為，1、關于對稱，；2、且滿足方程即，解得：；3、關于軸對稱，則；故選：B25．已知函數(shù)的周期為2，當時，，那么函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點共有（

）A．10個 B．9個 C．8個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及函數(shù)表達式，畫出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象進行判斷即可.【詳解】由題可知，如圖所示：當時，，根據(jù)圖像可知，交點個數(shù)為10故選：A【點睛】本題考查兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)型結合，形象直觀，屬基礎題.26．已知函數(shù)，若互不相等的實數(shù)、、滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，設，設，可得出直線與函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標分別為、、，利用對稱性得出的值，并結合圖象得出實數(shù)的取值范圍，從而可得出的取值范圍，由此得出的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象，設，設，由圖象可知，當時，直線與函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標分別為、、，二次函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，由于，即，得，解得，.因此，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查函數(shù)零點和的取值范圍，解題時要充分利用函數(shù)的對稱性來求解，也可以轉化為以參數(shù)為自變量的函數(shù)，轉化為函數(shù)的值域問題求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.27．（多選）已知函數(shù)f(x)＝，關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值是（

）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】CD【解析】先將問題等價于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，作出圖象，進行數(shù)形結合即得結果.【詳解】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，等價于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，結合函數(shù)圖象可知，當時有兩個交點，當a>1時有且只有一個交點.故選：CD.【點睛】方法點睛：已知方程的根的情況，求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.28．（多選）已知函數(shù)，下列四個命題正確的是（

）.A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷A；由，，，可得，再根據(jù)對數(shù)的運算即可判斷B；求出函數(shù)的定義域即可判斷C；由，可得，則，再利用作差法即可判斷D.【詳解】解：函數(shù)對于A，，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于B，若，其中，，，所以，，即，得到，故B正確；對于C，函數(shù)，由，解得，所以函數(shù)的定義域為，因此在上不具有單調性，故C錯誤；對于D，因為，，，故，故D正確.故選：ABD.29．【答案】2【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質化簡計算，即可求解得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)對數(shù)的運算性質，可得．故答案為：2.30．________．【答案】【分析】結合指數(shù)冪、對數(shù)運算法則化簡求值【詳解】原式31．設實數(shù)x滿足，且，則______.【答案】【分析】利用換底公式和對數(shù)運算法則可將方程轉化為，解方程求得或，進而結合的范圍求得結果.【詳解】

即，解得：或

或

故答案為：【點睛】本題考查對數(shù)方程的求解問題，涉及到對數(shù)運算法則和換底公式的應用；考查基礎公式的應用能力.32．已知，且，則A的值是___________.【答案】或1【分析】利用對數(shù)知識可求出的值，進而求出A的值.【詳解】由,得.當時,,滿足條件.當時,由,得,從而,即,得.故答案為：或1.33．方程的解為___________.【答案】2【詳解】依題意，所以，令，所以，解得或，當時，，所以，而，所以不合題意，舍去；當時，，所以，，，所以滿足條件，所以是原方程的解.考點：對數(shù)方程.34．若，則．【答案】【詳解】∵，∴，∴.考點：對數(shù)的計算35．函數(shù)的零點是_______.【答案】【解析】把化為關于的二次方程，求出的值，再取對數(shù)即可.【詳解】解：，即，，因為，所以，對兩邊取以3為底的對數(shù)得，，故答案為：【點睛】思路點睛：含有指數(shù)函數(shù)的二次函數(shù)型的函數(shù)的零點的求法一般是化為關于某個指數(shù)函數(shù)的二次方程，解二次方程求出指數(shù)函數(shù)的值，再取對數(shù)即可.36．法國數(shù)學家費馬于1640年提出了猜想：是質數(shù).這種具有美妙形式的數(shù)被稱為費馬數(shù)，因為隨著n的增大，迅速增大，所以要判斷費馬的猜想是否正確非常不容易，一直到1732年才被數(shù)學家歐拉算出，才證明費馬的猜想是錯誤的.若數(shù)列滿足，則滿足的最小正整數(shù)_________.【答案】11【分析】將代入得到通項公式，然后解不等式即可.【詳解】又故答案為：1137．已知，且，則的最小值為___________.【答案】3【分析】由條件得.后利用基本不等式可得答案.【詳解】由題，則，得.又.則.當且僅當時取等號.故答案為:38．已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出，利用雙勾函數(shù)的單調性可求得的取值范圍.【詳解】畫出的圖象如圖：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由圖象得在上為減函數(shù)，∴，∴的取值范圍是.故答案為：.39．已知函數(shù)經(jīng)過定點A,定點A也在函數(shù)的圖象上，_________．【答案】5【分析】由題意函數(shù)經(jīng)過定點A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像的性質，可求出點A的坐標，再將點A的坐標代入，解得b的值，再將代入，即可求解出結果．【詳解】函數(shù)經(jīng)過定點A又定點A也在函數(shù)的圖象上，解得．，故答案為5.【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖像和性質，以及換底公式的應用．40．函數(shù)的所有零點之和為__________．【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，，作出這兩個函數(shù)的部分圖象，確定兩個圖象的交點個數(shù)，再結合性質計算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關于直線對稱，在同一坐標系內作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點之和為9.故答案為：941．已知當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】作出函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象，由圖象得出為增函數(shù)且，由此可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】如下圖所示：由上圖所示，當時，不等式恒成立，則函數(shù)為增函數(shù)，且有，所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題考查對數(shù)不等式的求解，在利用數(shù)形結合思想求解時，要充分分析出函數(shù)的單調性，并抓住一些關鍵點進行分析，列出不等式組進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.42．關于函數(shù)，有以下四個命題：①函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關于直線對稱；③函數(shù)的定義域為；④函數(shù)的值域為.其中所有正確命題的序號是________.【答案】①②④【分析】利用函數(shù)的單調性判斷①的正誤；利用函數(shù)的對稱性判斷②的正誤；求出函數(shù)的定義域判斷③的正誤；由函數(shù)的值域判斷④的正誤.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以①正確；函數(shù)，函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以②正確；函數(shù)的定義域是，所以③不正確；函數(shù)，函數(shù)的值域是實數(shù)集，所以④正確.故答案為：①②④.【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的定義域、值域與最值和單調區(qū)間，考查對基礎知識、基本技能的理解和掌握，屬于?？碱}.43．,的最大值為___________【答案】【分析】利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可求函數(shù)的最值．【詳解】==，令，則函數(shù)可化為，，當時，．【點睛】本題主要考查函數(shù)的最值的求法，利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)的解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．44．時，恒成立，則的取值范圍是_________________________【答案】【分析】對于任意，總有恒成立，則在時的圖象恒在的上方．在同一坐標系中分別畫出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象，據(jù)此可求得a的取值范圍．【詳解】當時，函數(shù)的圖象如下圖所示：因為對于任意，總有恒成