中考數(shù)學復(fù)習難題突破專題十講2018中考數(shù)學復(fù)習難題突破專題十數(shù)學文化問題

難題突破專題十一數(shù)學文化數(shù)學文化指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識。在近幾年的中考中，以數(shù)學文化為載體的數(shù)學題越來越多，只要我們平時注意積累和了解這方面的常識，解題時注意審題，實現(xiàn)載體與考點的有效轉(zhuǎn)化，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，問題便可迎刃而解．類型1以科技或數(shù)學時事為題材例題1：貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進行消防演習，如圖所示，消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后，發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯將其救出，已知點A與居民樓的水平距離是15米，且在A點測得第一次施救時云梯與水平線的夾角∠CAD=60°，求第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)（結(jié)果精確到1°）．【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用．【分析】延長AD交BC所在直線于點E．解Rt△ACE，得出CE=AE?tan60°=15米，解Rt△ABE，由tan∠BAE==，得出∠BAE≈71°．【解答】解：延長AD交BC所在直線于點E．由題意，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠AEB=90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=AE?tan60°=15米．在Rt△ABE中，tan∠BAE==，∴∠BAE≈71°．答：第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD約為71°．例題2：（2016·浙江省紹興市·4分）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）A．84B．336C．510D．1326【考點】用數(shù)字表示事件．【分析】類比于現(xiàn)在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數(shù)為：千位上的數(shù)×73+百位上的數(shù)×72+十位上的數(shù)×7+個位上的數(shù)．【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，故選C．類型2以數(shù)學名著為題材例題3：（2017湖北荊州）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2 C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2【考點】KU：勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．故選D．例題4：．(2017湖北宜昌)閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．應(yīng)用：當n=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長．【考點】KT：勾股數(shù)；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根據(jù)直角三角形有一邊長為5，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：當n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一邊長為5，∴Ⅰ、當a=5時，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、當b=5時，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、當c=5時，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長分別為12，13或3，4．類型3以數(shù)學名人為題材例題5：（2017湖南株洲）如圖示，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點．三角形的布洛卡點（Brocardpoint）是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克洛爾（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數(shù)學愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ=（）A．5 B．4 C． D．【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；JB：平行線的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解決問題．【解答】解：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故選D相關(guān)內(nèi)容訓練1.（2017四川眉山）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深為（）【考點】KU：勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意可知△ABF∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求AD，進一步得到井深．【解答】解：依題意有△ABF∽△ADE，∴AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，解得AD=62.5，BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺．故選：B．2.（2017內(nèi)蒙古赤峰）王浩同學用木板制作一個帶有卡槽的三角形手機架，如圖1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手機長度為17cm，寬為8cm，王浩同學能否將手機放入卡槽AB內(nèi)？請說明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，可以求得AD和CD的長，進而可以求得DB的長，然后根據(jù)勾股定理即可得到AB的長，然后與17比較大小，即可解答本題．【解答】解：王浩同學能將手機放入卡槽AB內(nèi)．理由：作AD⊥BC于點D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC?sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC?cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB==，∵17=＜，∴王浩同學能將手機放入卡槽AB內(nèi)．3.（2017湖北隨州）風電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源，風電機組主要由塔桿和葉片組成（如圖1），圖2是從圖1引出的平面圖．假設(shè)你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°，沿HA方向水平前進43米到達山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達最高位置，此時測得葉片的頂端D（D、C、H在同一直線上）的仰角是45°．已知葉片的長度為35米（塔桿與葉片連接處的長度忽略不計），山高BG為10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔桿CH的高．（參考數(shù)據(jù)：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，設(shè)AH=x，則BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°?x知CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10，根據(jù)BE=DE可得關(guān)于x的方程，解之可得．【解答】解：如圖，作BE⊥DH于點E，則GH=BE、BG=EH=10，設(shè)AH=x，則BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°?x，∴CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°?x﹣10+35，解得：x≈45，∴×45=63，答：塔桿CH的高為63米．4.我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是25尺．【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出．【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長20尺，另一條直角邊長5×3=15（尺），因此葛藤長為=25（尺）．故答案為：25．【點評】本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解．5.（2016·江西·8分）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時，以點A為支撐點，鉛筆芯端點B可繞點A旋轉(zhuǎn)作出圓．已知OA=OB=10cm．（1）當∠AOB=18°時，求所作圓的半徑；（結(jié)果精確到）（2）保持∠AOB=18°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科學計算器）【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意作輔助線OC⊥AB于點C，根據(jù)OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度數(shù)，從而可以求得AB的長；（2）由題意可知，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，則AE=AB，然后作出相應(yīng)的輔助線，畫出圖形，從而可以求得BE的長，本題得以解決．【解答】解：（1）作OC⊥AB于點C，如右圖2所示，由題意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB?sin9°≈2×10×0.1564≈，即所作圓的半徑約為；（2）作AD⊥OB于點D，作AE=AB，如下圖3所示，∵保持∠AOB=18°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與（1）中所作圓的大小相等，∴折斷的部分為BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB?sin9°≈2×3.13×0.1564≈，即鉛筆芯折斷部分的長度是．6（2016·陜西）某市為了打造森林城市，樹立城市新地標，實現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園．小亮、小芳等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“望月閣”的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力．他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得，因此經(jīng)過研究需要兩次測量，于是他們首先用平面鏡進行測量．方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線BM上的對應(yīng)位置為點C，鏡子不動，小亮看著鏡面上的標記，他來回走動，走到點D時，看到“望月閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標記重合，這時，測得小亮眼睛與地面的高度ED=，CD=2米，然后，在陽光下，他們用測影長的方法進行了第二次測量，方法如下：如圖，小亮從D點沿DM方向走了16米，到達“望月閣”影子的末端F點處，此時，測得小亮身高FG的影長FH=，F(xiàn)G=．如圖，已知AB⊥BM，