傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型-上課

#微分方程模型［學(xué)習(xí)目的］加深對(duì)微分方程概念的理解，掌握針對(duì)一些問(wèn)題通過(guò)建立微分方程的方法及微分方程的求解過(guò)程；了解微分方程模型解決問(wèn)題思維方法及技巧；領(lǐng)會(huì)建立微分方程模型的逐步改進(jìn)法的核心及優(yōu)點(diǎn)，并掌握該方法;理解微分方程的解的穩(wěn)定性的意義，會(huì)用穩(wěn)定性判定模型的解是否有效；體會(huì)微分方程建摸的藝術(shù)性。在自然學(xué)科（如物理、化學(xué)、生物、天文）以及在工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、社會(huì)等學(xué)科中大量的問(wèn)題可以用微分方程來(lái)描述。正如列寧所說(shuō)：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的‘驚人的類(lèi)似中’．”（列寧選集第二卷，人民出版社1972年版第295頁(yè)）。要建立微分方程模型，讀者必須掌握元素法（有關(guān)元素法，在高等數(shù)學(xué)中已有介紹）。所謂元素法,從某種角度上講，就是分析的方法，它是以自然規(guī)律的普遍性為根據(jù)并且以局部規(guī)律的獨(dú)立的假定為基礎(chǔ)。在解決各種實(shí)際問(wèn)題時(shí)，微分方程用得極其廣泛.讀者通過(guò)下面的幾個(gè)不同領(lǐng)域中的模型介紹便有所體會(huì)，要想掌握好它，在這方面應(yīng)作大量的練習(xí)。、傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型［學(xué)習(xí)目標(biāo)］通過(guò)學(xué)習(xí)建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的思維方法，能歸納出該類(lèi)建模的關(guān)鍵性步驟及思維方法；并能指出求解傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的方法技巧；能用已知的傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型，預(yù)報(bào)某種傳染病的傳播；學(xué)會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的處理問(wèn)題的方法。由于人體的疾病難以控制和變化莫測(cè)，因此醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜。生物醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型分為兩大類(lèi)：傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型和疾病數(shù)學(xué)模型。以下僅討論傳染病的傳播問(wèn)題。人們將傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析,發(fā)現(xiàn)在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí),每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。這一現(xiàn)象如何解釋呢？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度進(jìn)行解釋都得不到令人滿(mǎn)意的解釋。最后由于數(shù)學(xué)工作者的參與，在理論上對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)格的證明。同時(shí)又由于傳染病數(shù)學(xué)模型的建立，分析所得結(jié)果與實(shí)際過(guò)程比較吻合，這個(gè)現(xiàn)象才得到了比較滿(mǎn)意的解釋。傳染病傳播所涉及的因素很多,如傳染病人的多少，易受傳染者的多少,傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。如果還要考慮人員的遷入與遷出，潛伏期的長(zhǎng)短以及預(yù)防疾病的傳播等因素的影響，那么傳染病的傳播就變得非常復(fù)雜。如果一開(kāi)始就把所有的因素考慮在內(nèi),那么將陷入多如亂麻的頭緒中不能自拔，倒不如舍去眾多的次要因素,抓住主要因素，把問(wèn)題簡(jiǎn)化,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問(wèn)題，修改原有假設(shè)，再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的模型。下面由簡(jiǎn)單到復(fù)雜將建模的思考過(guò)程作一示范,讀者可以從中得到很好的啟發(fā)。模型一、考慮最簡(jiǎn)單的情形：假設(shè)(1),每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)K;0假設(shè)(2),一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡.記i(t)表示t時(shí)刻病人數(shù)，K0表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù),i(0)=i0，即最初有i0個(gè)傳染病人.則在At時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為 ° °i(t+At)-i(t)=Ki(t)At0于是得微分方程<~~dt~—K0i(t) (1)， 其解為i(t)=iek0ti(0)=i 00結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這個(gè)結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)。但由方程(1)的解可以推出，當(dāng)tT8時(shí),i(t)T9,這顯然是不符合實(shí)際情況的。問(wèn)題在于兩條假設(shè)均不合理。特別是假設(shè)(1)，每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實(shí)際不符.因?yàn)樵趥鞑コ跗?傳染病人少,未被傳染者多；而在傳染病傳播中期和后期,傳染病人逐漸增多,未被傳染者逐漸減少,因而在不同時(shí)期的傳染情況是不同的.為了與實(shí)際情況吻合,我們?cè)谠谢A(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。模型二、用i(t),S(t)表示t時(shí)刻傳染病人數(shù)和未被傳染人數(shù),i(0)=i0。假設(shè)(1),每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)未被傳染的人數(shù)成正比,即 K=Ks(t)；0假設(shè)(2),一人得病后,經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡；

假設(shè)(3)，總?cè)藬?shù)為n,即s(t)+i(t)=n.由以上假設(shè)得微分方程di(t)媼二KK(t)i(t)<s(t)+i(t)=n (2)i⑼=i0用分離變量法求得其解為其圖形如圖17。1所示．(3)i(t)=——用分離變量法求得其解為其圖形如圖17。1所示．(3)1+——1e-Knt

\iJ模型二可以用來(lái)預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來(lái)的時(shí)間。0模型二可以用來(lái)預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來(lái)的時(shí)間。圖17。2圖17。1醫(yī)學(xué)上稱(chēng)di/(dt-t)圖17。217。2所示。由(3)式可得didtKn2zy--1e-KntdidtKn2zy--1e-Knty1e-Knt

J(4)d2i(t)

dt2得極大點(diǎn)為ln(―-1)

i 0 Kn(5)由此可見(jiàn)，當(dāng)傳染病強(qiáng)度K或總?cè)藬?shù)n增加時(shí)，［都將變小，即傳染病高峰來(lái)得快，這與實(shí)際情況吻合。同時(shí)，如果知道了傳染強(qiáng)度K(K由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出)，即可預(yù)報(bào)傳染病高峰t1到來(lái)的時(shí)間，這對(duì)于防治傳染病是有益處的.模型二的缺點(diǎn)是：當(dāng)tts時(shí)，由(3)式可知，i(t)一n，即最后人人都要生病，這顯然是不符合實(shí)際情況的.造成該問(wèn)題的原因是假設(shè)(2)中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈。為了與實(shí)際問(wèn)題更加吻合，對(duì)上面的數(shù)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得了病后有的會(huì)死亡；另外不是每個(gè)人被傳染后都會(huì)傳染別人,因?yàn)槠渲幸徊糠謺?huì)被隔離。還要考慮人得了傳染病由于醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)的那樣，人得病后經(jīng)久不愈。為此作出新的假設(shè)，建立新的模型。模型三在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù)雜得多的因素,但仍要把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.設(shè)患過(guò)傳染病而完全痊愈的任何人具有長(zhǎng)期免疫力，不考慮反復(fù)受傳染的情形，并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì),即一個(gè)人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下，把居民分成三類(lèi)：第一類(lèi)是由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的用I(t)表示t時(shí)刻第一類(lèi)人數(shù)；第二類(lèi)是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的用s⑴表示t時(shí)刻第二類(lèi)人數(shù)；第三類(lèi)包括患病死去的人，病愈后具有長(zhǎng)期免疫力的人，以及在病愈并出現(xiàn)長(zhǎng)期免疫力以前被隔離起來(lái)的人，用R(t)表示t時(shí)刻第三類(lèi)人數(shù).假設(shè)疾病傳染服從下列法則：(1)在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入遷出等情況；(2)易受傳染者人數(shù)s(t)的變化率正比于第一類(lèi)的人數(shù)I⑴與第二類(lèi)人數(shù)s(t)的乘積；(3)由第一類(lèi)向第三類(lèi)轉(zhuǎn)變的速率與第一類(lèi)的人數(shù)成正比。由(1)、(2)、(3)條得微分方程組'ds.——=-rsIdtdI\d-=rsI-yI (6)dt其中r、y為兩個(gè)比例常數(shù),r為傳染率，y為排除率。由(6)式的三個(gè)方程相加得d[s(t)+I(t)+R(t)]=0dt則 s(t)+1(t)+R(t)=N(人口總數(shù))故 R(t)=N-s(t)-1(t) (7)由此可知,只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。而(6)式的第一和第二個(gè)方程與R⑴無(wú)關(guān)。因此，由dsdti也、dsdti也、dt=-rsIrsI-YI(8)TOC\o"1-5"\h\zdI rsI-YI Y Y= =—1+—, I(s)=—s+—Ins+c。ds-rsI rs r當(dāng)t=t時(shí)，I(t)=I,s(t)=s，記p=—,有0 0 00 0 rsI(s)=I+s-s+pIn— (9)00 s0下面討論積分曲線(xiàn)(9)的性質(zhì)。由(8)式知'<0,s>p一P八I1(s)=-1+—\=0,s=ps>0,s<p所以當(dāng)s<p時(shí)，I(s)是s的增函數(shù)，s>p時(shí)，I(s)是s的減函數(shù)。I(0)=-8,I(s)=I>000由連續(xù)函數(shù)中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn)s，0<s<s使得8 8 0I(s)=0.而當(dāng)s<s<s時(shí)，I(s)〉0。8 80由(7)知I=0時(shí)，ds/dt=0,dI/dt=0。所以(s,0)為方程組⑺的平衡點(diǎn).8當(dāng)t>10時(shí)，方程(9)的圖形如圖17.3當(dāng)t由t0變化到8時(shí)，點(diǎn)(s(t),I(t))沿曲線(xiàn)(9)移動(dòng)，并沿s減少方向移動(dòng)，因?yàn)閟(t)隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此，如果s0小于p，則I(t)單調(diào)減小到零，s(t)單調(diào)減小到s8。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者10分散在居民s0中，且s0<p，則這種疾病會(huì)很快被消滅。由上分析可以得出如下結(jié)論：圖17。3如果s>p，則隨著s(t)減小到p時(shí)，I(t)增加，且當(dāng)s=p時(shí)，I(t)達(dá)到0最大值。當(dāng)s(t)<p時(shí),I(t)才開(kāi)始減小。由以上分析可以得出如下結(jié)論：只是

當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過(guò)閾值p=L時(shí)傳染病才會(huì)蔓延.用一般的常r識(shí)來(lái)檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠、密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延;反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的公共衛(wèi)生設(shè)施和較好的管理而排除率高時(shí)，則疾病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)卻很快被消滅。如果起初易受傳染者的人數(shù)5。大于但接近于閾值P，即如果（s°-P）與P相比是小量，則最終患病的人數(shù)近似于2（50-P）.這就是著名的傳染病學(xué)中的閾值定理。生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個(gè)定理。定理（傳染病學(xué)中的閾值定理）：設(shè)5=p+r,且假設(shè)r/p同1相比是小量。0并設(shè)最初傳染者人數(shù)10很小,則最終患病的人數(shù)為2丫.即易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那最終就會(huì)比閾值低多少。證明略。根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來(lái)估計(jì)最終患病的人數(shù)。這個(gè)定理解釋了研究人員長(zhǎng)期以來(lái)難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所波及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生過(guò)程中，不可能準(zhǔn)確的調(diào)查每一天或每一星期得病的人數(shù).因?yàn)橹挥心切﹣?lái)醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來(lái)防止傳染.因此，統(tǒng)計(jì)的記錄是每一天或每一星期新排除者的人數(shù),而不是新得病的人數(shù)。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較,必須解出（6）式中的第三個(gè)方程：因?yàn)閐R

dt二"=y(N-R-5因?yàn)閐R

dt二"=y(N-R-5)ds ds ddR -rsI r 5 二—— = =——5———dR dt dtyI y pd5dR所以 5(R)—5e-R/p0dR(10)有——y(N—R—5e-R/p(10)dt 0方程（10）雖是可分離變量的，但是不能用顯式求解。如果傳染病不嚴(yán)重，則RP是小量，取泰勒級(jí)數(shù)R1(P22e-r/p—1—R+1R+…的前三項(xiàng)，取近似值得P2IpJ空—y]N-R-dt1R1(R丫1—+p2(pJ-o(R)22IpJ其解為其中 a=P2R(t)=—S0S—0-其解為其中 a=P2R(t)=—S0S—0--1+atgP(1 )]"yt-①I(mǎi)V2 力SVP、2-1J2s\N-s)2+—o 0P13二arctg一aVPJ因此方程dR

dtya2p22-0(1 )sec2—ayt-3V2 J(11)(11)在t-dR4平面上定義了一條對(duì)稱(chēng)鐘形曲線(xiàn)，稱(chēng)為疾病傳染曲線(xiàn).疾病傳染曲線(xiàn)很好的說(shuō)明了實(shí)際發(fā)生的傳染病。每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又800600400800600400200)00死亡人數(shù)ar510152030星期數(shù)圖17.5圖圖17.5Kermack和Mekendrick把(11)得到的dR；dt的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在孟買(mǎi)發(fā)生的瘟疫資料進(jìn)行比較，他們?cè)O(shè)dR=890sech2(0.21-3.4)dt其中t按星期計(jì)，在圖17。5中，dR/dt的實(shí)際數(shù)字(圖上用”.”表示)同理論曲線(xiàn)非常一致。這就表明了模型三是在固定的居民中傳染病傳播的準(zhǔn)確而可靠的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于同一事物，可用不同的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述它。下面介紹一般隨機(jī)傳染病模型。模型四、一般隨機(jī)傳染病的數(shù)學(xué)模型：以上建立的常微分方程描述的傳染病的傳播是確定性的模型.但人生病是隨機(jī)的，因而建立隨機(jī)的傳染病的數(shù)學(xué)模型才能更實(shí)際的反映傳染病的傳播.設(shè)X(t)表示t時(shí)刻易受傳染者人數(shù)，Y(t)表示t時(shí)刻已受傳染者人數(shù),n表示易受傳染者總數(shù)，又設(shè)t時(shí)刻有》6>0)個(gè)易受傳染者移入已受傳染者中來(lái).這種傳染病傳播的機(jī)制如下:(1)在群體中個(gè)體均勻的混和；(2)在區(qū)間(t,t+At)內(nèi)，一個(gè)新傳染病例出現(xiàn)的概率為九盯At+o(At)，其中九(九>0)是傳染率；(3)在區(qū)間(t,t+At)內(nèi)，排除一個(gè)個(gè)體的概率為^yAt+o(At)，其中WR>0)是排除率；(4)在區(qū)間(t,t+At)內(nèi)，有多次轉(zhuǎn)移(即多個(gè)傳染或排除)發(fā)生的概率為o(At);(5)在區(qū)間(t,t+At)內(nèi)，無(wú)變化的概率為1-(九x+QyAt+o(At)，令P(t)=^{X(t)=x,Y(t)=y}，x>0,y>0，t>0。xy從(2)和(3)知有兩種可能的轉(zhuǎn)移(xfx-1,y-y+1)及(y-y-1)。因此，表征隨機(jī)傳染病流行過(guò)程的差分方程為：fdP(t)=(x+1)(y-1)P (t)-y(x+p)P(t)+p(y+1)P (t)(12)dt x+1,y-1 xy x,y+(12)dP(t)-2=-i(n+p)P(t)、 dt ni其中0<x