第05講直線的方程（人教A版2019選擇性）

第05講直線的方程【人教A版2019】·模塊一求直線方程的一般方法·模塊二兩條直線的位置關(guān)系·模塊三直線方程的實際應(yīng)用·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一求直線方程的一般方法1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點常選擇點斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點斜式；

③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；

④已知兩點用兩點式，應(yīng)注意兩點橫、縱坐標相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).【考點1求直線方程】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線l過兩點A(?2,0),B(0,1)，則直線l的一般式方程是（

）A．x?2y+2=0 B．x+2y?2=0C．2x?y+2=0 D．2x+y?2=0【解題思路】根據(jù)已知條件利用直線方程的截距式求解即可【解答過程】因為直線l過兩點A(?2,0),B(0,1)，所以直線l的方程為x?2+y故選：A.【例1.2】（2023秋·甘肅臨夏·高二?？计谀┲本€經(jīng)過點A3,?2，傾斜角為π4，則直線方程為（A．x+y+2=0 B．x+y?3=0C．x?y?5=0 D．x?y?1=0【解題思路】由傾斜角可得直線斜率，利用直線點斜式可整理得到直線方程.【解答過程】∵直線傾斜角為π4，∴直線斜率k=∴直線方程為：y+2=x?3，即x?y?5=0.故選：C.【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)A、B是y軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且PA=PB，若直線PA的方程為x?y+1=0，則直線PB的方程為（A．x+y?5=0 B．2x?y?1=0C．2x+y?7=0 D．x+y?3=0【解題思路】根據(jù)直線PA的方程，確定出PA的傾斜角，利用PA=PB且A、B在y軸上，可得PB的傾斜角，求出P的坐標，然后求出直線【解答過程】解：由于直線PA的方程為x?y+1=0，故其傾斜角為45°，又|PA|=|PB|，且A、B是y軸上兩點，故直線PB的傾斜角為135°，又當x=2時，y=3，即P(2,3)，∴直線PB的方程為y?3=?(x?2)，即x+y?5=0．故選：A．【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知點A5,?2，B7,3，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線A．5x?2y?5=0 B．2x?5y?5=0C．5x?2y+5=0 D．2x?5y+5=0【解題思路】設(shè)C(x,y)，M(0,m)，N(n,0)，先利用中點坐標公式求出相關(guān)點坐標，再求出直線方程即可.【解答過程】設(shè)C(x,y)，M(0,m)，N(n,0)，因為A5,?2，B所以x+52=0y?2解得x=?5，y=?3，m=?52，即C(?5,?3)，M(0,?52)所以MN所在直線方程為y+5即5x?2y?5=0．故選：A．【考點2直線過定點問題】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）不論k為任何實數(shù)，直線(2k?1)x?(k+3)y?(k?11)=0恒過定點，則這個定點的坐標為（

）A．(?2,3) B．(2,3) C．(2,?3) D．(?2,?3)【解題思路】直線方程即k(2x+y?1)+(?x+3y+11)=0，一定經(jīng)過2x?y?1=0和?x?3y+11=0的交點，聯(lián)立方程組可求定點的坐標．【解答過程】直線(2k?1)x?(k+3)y?(k?11)=0即k(2x?y?1)+(?x?3y+11)=0，根據(jù)k的任意性可得2x?y?1=0?x?3y+11=0，解得x=2∴不論k取什么實數(shù)時，直線(2k?1)x+(k+3)y?(k?11)=0都經(jīng)過一個定點(2,3)．故選：B.【例2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）無論m取何實數(shù)時，直線m?1x?m+3y?A．72,52 B．52,【解題思路】將直線方程可化為?x?3y+11+mx?y?1=0，再解方程組【解答過程】直線方程可化為?x?3y+11+mx?y?1解方程組?x?3y+11=0x?y?1=0，得x=即定點的坐標為72故選：A.【變式2.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）當a取不同實數(shù)時，直線a?1x?y+2a+1=0A．2,3 B．?2,3C．1,?12 【解題思路】先化簡直線方程，令a的系數(shù)為0，即可求出定點坐標.【解答過程】將直線方程化為ax+2?x?y+1=0，x+2=0?x?y+1=0，解得x=?2故選：B.【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）以下關(guān)于直線3x?ay+1=0的說法中，不正確的是（

）A．直線3x?ay+1=0一定不經(jīng)過原點B．直線3x?ay+1=0一定不經(jīng)過第三象限C．直線3x?ay+1=0一定經(jīng)過第二象限D(zhuǎn)．直線3x?ay+1=0可表示經(jīng)過點?1【解題思路】首先求出直線過定點坐標，即可判斷A、D，再分a=0、a>0、a<0三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B、C；【解答過程】對于直線3x?ay+1=0，令y=0，解得x=?13，故直線恒過點一定不經(jīng)過原點，故A正確；當a=0時直線即為x=?1當a≠0時直線即為y=3若a>0，則1a>0，若a<0，則1a<0，所以直線一定過二、三象限，故B錯誤，C正確；因為直線恒過點?13,0，所以直線故選：B.模塊二模塊二兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當時，記為）垂直k1·k2=-1（當時，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當時，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當時，記為）【考點3由兩條直線平行求方程】【例3.1】（2023春·湖北恩施·高二?？计谀┻^點A2,3且平行于直線2x+y?5=0的直線方程為（

A．x?2y+4=0 B．2x+y?7=0 C．x?2y+3=0 D．x?2y+5=0【解題思路】由平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再根據(jù)過點A2,3【解答過程】∵所求直線與直線2x+y?5=0平行，∴可設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0(c≠?5)，又過點A2,3，則4+3+c=0，解得c=?7∴所求直線方程為2x+y?7=0故選：B．【例3.2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點A(2,?3)，且與直線y=x+1平行，則直線l的方程為（

）A．x?y+2=0 B．x+y+1=0C．x?y?2=0 D．x?y?5=0【解題思路】通過平行可設(shè)直線l的方程為x?y+m=0m≠1，再把點A(2,?3)代入即可解得m【解答過程】設(shè)與直線y=x+1即x?y+1=0平行的直線l的方程為x?y+m=0m≠1把點A(2,?3)代入可得2+3+m=0，解得m=?5．因此直線l的方程為x?y?5=0故選：D.【變式3.1】（2023春·福建福州·高二?？计谀┤糁本€l1:2x?3y?3=0與l2互相平行，且l2過點(2,1)，則直線A．3x+2y?7=0 B．3x?2y+4=0C．2x?3y+3=0 D．2x?3y?1=0【解題思路】由題意設(shè)直線l2的方程為2x?3y+m=0，然后將點(2,1)代入直線l1:2x?3y?m=0中，可求出m【解答過程】因為直線l1:2x?3y?3=0與l2互相平行，所以設(shè)直線l因為直線l2過點(2,1)所以4?3+m=0，得m=?1，所以直線l2的方程為2x?3y?1=0故選：D.【變式3.2】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┡c直線y=?2x+3平行，且與直線y=3x+4交于x軸上的同一點的直線方程是（

）A．y=?2x+4 B．y=C．y=?2x?83 【解題思路】先求出直線y=3x+4交于x軸交點P(?43,0)，再設(shè)與直線y=?2x+3【解答過程】設(shè)直線y=3x+4交于x軸于P點，令y=0，則x=?43，所求直線與y=?2x+3平行，設(shè)y=?2x+m，把P(?代入得?2×(?43所求直線方程為：y=?2x?故選：C.【考點4由兩條直線垂直求方程】【例4.1】（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┙?jīng)過點P0,1，且與直線y=2x?1垂直的直線方程是（

A．y=2x+1 B．y=?C．y=?12x+1【解題思路】根據(jù)題意，得到所求直線的斜率k=?1【解答過程】由題意知，直線y=2x?1的斜率為k1因為所求直線與直線y=2x?1垂直，所以所求直線的斜率滿足k?k1=?1又因為所求直線過點P0,1，所以方程為y?1=?12故選：C.【例4.2】（2023·高二課時練習(xí)）在過點2，1的所有直線中，與原點距離最遠的直線方程是（A．x+2y?5=0 B．2x+y?5=0C．2x+3y?7=0 D．3x+2y?8=0【解題思路】根據(jù)與原點距離最遠的直線是與原點與2，【解答過程】在過點2，1的所有直線中，與原點距離最遠的直線是與原點與2，1連線垂直的直線，過2，1和(0,0)的直線斜率為12故選：B.【變式4.1】（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）直線l的方向向量為2,3，直線m過點1,1且與l垂直，則直線m的方程為（

）A．2x+3y?5=0 B．2x?3y+1=0C．3x+2y?5=0 D．3x?2y?1=0【解題思路】先由直線l的方向向量求得kl，再利用直線垂直的性質(zhì)求得km，從而利用點斜式即可求得直線【解答過程】因為直線l的方向向量為2,3，所以kl又因為直線m與l垂直，所以klkm所以由直線m過點1,1可得，直線m的方程為y?1=?23x?1故選：A.【變式4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A3,1，B1,?2，C1,1，則過點C且與線段ABA．3x+2y?5=0 B．3x?2y?1=0C．2x?3y+1=0 D．2x+3y?5=0【解題思路】求出直線AB的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點斜式可求出答案【解答過程】解：因為kAB所以與AB垂直的直線的斜率為?2所以過點C且與線段AB垂直的直線方程為y?1=?23(x?1)故選：D.【考點5根據(jù)兩直線平行或垂直求參數(shù)】【例5.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直線l1:x+ay?a=0和直線(1)若l1⊥l(2)若l1∥l【解題思路】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式A1（2）根據(jù)兩直線平行，A1B2【解答過程】（1）若l11×a+a×?2a?3=0（2）若l1∴a2=?2a+3a=?3時，l1:x?3y+3=0,la=1時，l1:x+y?1=0,l2:x+y?1=0所以a=?3.【例5.2】（2023·高三課時練習(xí)）已知兩直線l1:x+m2y+6=0，l2:(1)相交；(2)平行.【解題思路】（1）對m進行分類討論，結(jié)合兩直線相交求得正確答案.（2）根據(jù)兩直線平行列方程，化簡求得m的值.【解答過程】（1）當m=0時，l1:x+6=0,l此時1×3m≠m2×由于m≠0，所以m2解得m≠3且m≠?1，所以當m≠3且m≠?1且m≠0時，l1與l（2）由（1）可知，當m=0時l1與l當m≠0時，要使l1與l則需1×3m=m2×由于m≠0，所以m2解得m=3或m=?1.當m=3時，l1當m=?1時，l1:x+y+6=0,l2:x+y+綜上所述，當m=0或m=?1時，l1與l【變式5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）a為何值時，(1)直線l1:x+2ay?1=0與直線(2)直線l3:2x+ay=2與直線【解題思路】（1）根據(jù)兩直線平行所滿足的公式得到方程和不等式，求出a的值；（2）法一：考慮a=0與a≠0兩種情況，根據(jù)斜率乘積為-1列出方程，進行求解；法二：根據(jù)兩直線垂直所滿足的A1【解答過程】（1）要使兩直線平行，則需2a3a?1+a=0，且解得：a=1所以當a=1（2）法一：①當a＝0時,直線l3的斜率不存在，直線l3:x?1=0，直線l②當a≠0，直線l3:y=?2要使兩直線垂直，必有?2綜上①②可得：當a＝0時,兩直線垂直.法二：要使直線l3:2x+ay=2和直線只需2a+2a=0，解得：a＝0，所以當a＝0時，兩直線垂直.【變式5.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知兩條直線l1:mx+8y+n=0和l2(1)l1與l2相交于一點(2)l1//l2且(3)l1⊥l2且l1在【解題思路】（1）根據(jù)題意得到方程組m2（2）當m=0時，此時不滿足l1//l2；當（3）根據(jù)題意得到方程組2m+8m=0?【解答過程】（1）解：由于l1與l2相交于一點P(m,1)，故把點P(m,1)代入可得m2+n+8=02m+m?1=0（2）解：當m=0時，可得l1:8y+n=0和l2當m≠0時，因為l1//l2且l1解得m=4,n=?4或m=?4,n=20.（3）解：由l1⊥l2且l1在y軸上的截距為?1，可得模塊模塊三直線方程的實際應(yīng)用1．直線方程的實際應(yīng)用利用直線方程解決實際問題，一般先根據(jù)實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現(xiàn)盲目性.【考點6直線方程的實際應(yīng)用】【例6.1】（2022·高二課時練習(xí)）一根鐵棒在40℃時長12.506m，在80℃時長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并根據(jù)這個方程求出這根鐵棒在100℃時的長度．【解題思路】用直線的斜截式方程寫出l與t的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.【解答過程】依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：l=kt+b，k,b是常數(shù)，于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015則l與t的關(guān)系式為l=0.00015t+12.5，當t=100時，l=12.515，所以所求直線的方程為l=0.00015t+12.5，鐵棒在100℃時的長度是12.515m.【例6.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）為了綠化城市，準備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，經(jīng)測量BC=70m，CD=80m，（1）如圖建立直角坐標系，求線段AB所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到1m2【解題思路】（1）根據(jù)題意可得OA=20,OB=30，根據(jù)直線的截距式方程即可求解.（2）設(shè)Qx,20?2x3【解答過程】（1）由題意得OA=20,OB=30，所以線段AB所在直線的方程為x30+y（2）設(shè)Qx,20?S=(100?x)=?故當x=5,y=503時，Smax【變式6.1】（2023秋·上海浦東新·高二校考期中）足球比賽中，攻方隊員在守方隊員的逼搶下，其行進路線可看作一條直線l，已如球門兩根立柱的坐標分別為A?3，0，B3，0，直線l過兩點?20，?20，現(xiàn)攻方隊員在行進過程中尋求機會射門，其位置用點P表示，（1）若以攻方隊員與球門中心O（O為坐標原點）的距離最近為標準，求點P的坐標；（2）若以攻方隊員對球門范圍的視角最大（即∠APB最大）為標準，求點P的坐標．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【解題思路】建立平面直角坐標系，求得直線l的方程.（1）設(shè)出P點坐標，根據(jù)OP⊥l列方程，解方程求得P點的坐標.（2）設(shè)出P點坐標，通過計算tan∠APB的最大值，求得此時對應(yīng)的點P【解答過程】建立平面直角坐標系如下圖所示，由于直線l過兩點?20，?20，?10，?25，故直線l的方程為y+20=?20+25?20+10x+20（1）當直線OP⊥l時，攻防隊員與球門中心O的距離最近，直線OP的方程為y=2x.由y=2xx+2y+60=0解得P（1）設(shè)P?2a?60,a?45≤a<0，則①當57+2a=0，a=?572時，PA⊥x軸，②當63+2a=0，a=?632時，PB⊥x軸，③當a≠?572且a≠?632時，kPA=a?2a?57,kPB=a?2a?63，【變式6.2】（2023秋·江蘇揚州·高二校考階段練習(xí)）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=?2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、5km.現(xiàn)要過點P修建一條直線型公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC（1）記∠CBM=θ，并設(shè)tanθ=k，試確定k（2）設(shè)三角形區(qū)域工業(yè)園的占地面積為S，試將S表示成k的函數(shù)S=fk（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點B的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．【解題思路】（1）由傾斜角的范圍得出斜率范圍；（2）以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，得到直線AN的方程是y=?2x，設(shè)點Px0，3，根據(jù)點P到直線的距離公式得到P設(shè)直線BC的方程為y?3=kx?1，求出B點坐標，由直線y?3=kx?1y=?2x聯(lián)立，得到C點坐標，表示出△ABC的面積為S（3）由（2）得1+Sk2+2S?6k+9=0.【解答過程】（1）由題意得90°<α<θ<180°，所以tanα<即?2<k<0．（2）以點A為原點，AM所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則由已知得AN所在直線的方程為y=?2x，即2x+y=0．根據(jù)已知設(shè)P點坐標為x0，3，由點P到公路AN的距離為5km解得x0=1或x0=?4.當x0所以公路BC所在直線的方程為y?3=kx?1令y=0，得x=1?3k，即將y=?2x代入y?3=kx?1得x=k?3k+2即C所以S=fk（3）由（2）得1+Sk有Δ=(2S?6)2?361+S≥0.解得S≤0(當S=15時，k=?3故面積的最小值為15，此時B5，0綜上所述，當點B距離點A5km時，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15k模塊模塊四課后作業(yè)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平面直角坐標系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說法中，正確的有幾個（

）①直線l：x+y?3=0過點P②直線y=kx?2在y軸的截距是2③直線x?y+4=0的圖像不經(jīng)過第四象限④直線x?3y+1=0A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】①代入驗證即可；②當x=0時可得在y軸的截距；③由k>0,b>0可判斷；④先求斜率可得傾斜角.【解答過程】①將P1,2代入x+y?3=0得1+2?3=0②當x=0時，y=?2，故在y③由x?y+4=0得y=x+4，故k=1>0，b=4>0故其圖像不經(jīng)過第四象限，故正確；④x?3y+1=0的斜率為33故選：C.2．（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）直線l1:mx?y+1=0,l2:3m?2x+my?2=0A．0 B．1 C．0或1 D．13【解題思路】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【解答過程】l1⊥l2?m3m?2?m=0故選：C.3l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率k及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.【解答過程】由題意知：蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過(6,17.4),(21,8.4)兩點，故其斜率k=8.4?17.4∴直線方程為l?8.4=?3∴當蠟燭燃盡時，有t?21=14，即t=35，故選：B.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線x+ky?2?3k=0恒過定點Q,Q點在直線l上，則l的方程可以是（

）A．x+y?4=0 B．2x?y?1=0 C．3x+y?8=0 D．x+2y?7=0【解題思路】求出直線x+ky?2?3k=0恒過的定點Q,再代入選項一一驗證即可得出答案.【解答過程】由題意知x+ky?2?3k=0可化為k(y?3)=?(x?2)，則直線恒過定點Q(2,3)，驗證選項得直線l的方程可以為2x?y?1=0.故選：B.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．直線y=ax?3a+2a∈R必過定點B．直線y=3x?2在y軸上的截距為?2C．直線3x+y+1=0的傾斜角為D．過點?1,2且垂直于直線x?2y+3=0的直線方程為2x+y=0【解題思路】求出直線y=ax?3a+2a∈R所過定點的坐標，可判斷A選項；根據(jù)直線截距的定義可判斷B選項；求出直線3【解答過程】對于A選項，直線方程可化為ax?3+2?y=0，由x?3=02?y=0故直線y=ax?3a+2a∈R必過定點3,2對于B選項，直線y=3x?2在y軸上的截距為?2，B對；對于C選項，直線3x+y+1=0的斜率為?3，故該直線的傾斜角為對于D選項，直線x?2y+3=0的斜率為12故過點?1,2且垂直于直線x?2y+3=0的直線方程為y?2=?2x+1，即2x+y=0故選：C.6．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線m:xcosα?y=0和n:3x+y?c=0，則（A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．m和n可能平行D．在m上存在一點P，使得n以P為中心旋轉(zhuǎn)后與m重合【解題思路】根據(jù)km=cosα>?3=kn可得A，C錯誤；當cosα=13時，B錯誤；當點P是直線m【解答過程】由題意得：km=cosα>?3=k又當cosα=13時，直線m當點P是直線m和n的交點時，n以P為中心旋轉(zhuǎn)后可以與m重合，故D正確．故選：D.7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若△ABC的三個頂點為A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，則BC邊上的高所在直線的方程為（

）．A．3x+2y?3=0 B．2x?y?2=0C．2x?y+1=0 D．2x+y?2=0【解題思路】根據(jù)B,C所在直線的斜率求得高線的斜率，結(jié)合點斜式即可求得結(jié)果.【解答過程】因為B(2,1)，C(0,2)，故可得B,C所在直線的斜率為2?10?2則BC邊上的高所在直線的斜率k=2，又其過點A(1,0故其方程為y=2(x?1)，整理得：2x?y?2=0.故選：B.8．（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2x?y+1=0,l2:3x+ay+7=0,l3:bx+2y?1=0，若A．?5 B．5 C．?7 D．7【解題思路】利用直線一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為l1所以由l1⊥l2，得由l2//l3，得所以a?b=5．故選：B．9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my+1=0和過定點B的動直線mx?y?2m+3=0交于點Px,y，則PA+PBA．25 B．32 C．3【解題思路】根據(jù)動直線方程求出定點A,B的坐標，并判斷兩動直線互相垂直，進而可得|PA|2+|PB【解答過程】解：由題意，動直線x+my+1=0過定點A(?1,0)，直線mx?y?2m+3=0可化為(x?2)m+3?y=0，令x?2=03?y=0，可得B(2,3)又1×m+m×(?1)=0，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以|PA|因為|PA|所以PA+PB≤故選：D.10．（2022秋·貴州貴陽·高三校考階段練習(xí)）已知m∈R，若過定點A的動直線l1：x?my+m?2=0和過定點B的動直線l2：mx+y+2m?4=0交于點P（P與A，B不重合），則以下說法錯誤的是（A．A點的坐標為2,1 B．PA⊥PBC．PA2+PB2【解題思路】根據(jù)定點判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【解答過程】因為l1:x?my+m?2=0可以轉(zhuǎn)化為故直線恒過定點A2,1，故A選項正確；又因為l2：mx+y+2m?4=0即y?4=?mx+2恒過定點B由l1:x?my+m?2=0和l2所以l1⊥l所以PA2因為PA⊥PB,設(shè)∠PAB=θ,θ為銳角,則PA=5所以2PA+PB=52cosθ+sinθ故選：D.11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是3，且經(jīng)過點A5,3(2)經(jīng)過點A?1,5(3)在x軸，y軸上的截距分別為?3,?1；(4)經(jīng)過點B4,2，且平行于x(5)求過點A1,3(6)求經(jīng)過點A?5,2，且在y【解題思路】（1）（5）：根據(jù)直線點斜式方程運算求解；（2）根據(jù)直線的兩點式方程運算求解；（3）根據(jù)直線的截距式方程運算求解；（4）根據(jù)平行關(guān)系可得直線的斜率，進而可得方程；（6）根據(jù)題意結(jié)合直線的斜截式方程運算求解.【解答過程】（1）由點斜式得直線方程為y?3=3(x?5)，即（2）由兩點式得直線方程為y?5?1?5=x?（3）由截距式得直線方程為x?3+y（4）因為平行于x軸，所以直線的斜率為0，又因為直線過點B4,2，所以直線方程為：（5）由點斜式得直線方程為y?3=3(x?1)，即3x?y=0.（6）由題意可知該直線斜率存在，又因為直線在y軸上截距為2，所以可設(shè)直線方程為y=kx+2，又因為該直線過點A?5,2，則2=?5k+2，解得k=0所以直線方程為y=2.12．（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l1:ax?by+4=0，l2:(a?1)x+y+b=0，求滿足下列條件的（1）l1⊥l2，且（2）l1//l2，且l1，【解題思路】（1）由l1過點M(?4,?1)，可得：?4a+b+4=0；利用l1⊥（2）由題意可得：兩條直線不可能都經(jīng)過原點，當b=0時，可知：兩條直線不平行；當b≠0時兩條直線分別化為：y=abx+4b，y=(1?a)x?b，利用題意可得ab=1?a【解答過程】解：（1）∵l1過點M(?4,?1)，可得：∵l1⊥解得：a=1b=0或a=4（2）由題意可得：兩條直線不可能都經(jīng)過原點，當b=0時，兩條直線分別化為：ax+4=0，(a?1)x+y=0，可知兩條直線不平行．當b≠0時，兩條直線分別化為：y=abx+由于l1//l2，且l1∴ab=1?a，解得：b=2a=2313．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l的方程為3x+4y?12=0，求直線l′的方程，使l(1)過點?1,3，且與l平行；(2)過點?1,3，且與l垂直；(3)l′與l垂直，且l【解題思路】（1）根據(jù)直線平行斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解，（2）根據(jù)直線垂直斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過的點即可求解，（3）根據(jù)直線垂直關(guān)系，可設(shè)直線的方程，根據(jù)面積即可求解.【解答過程】（1）方法一l的方程可化為y=?34x+3，∴l(xiāng)∵l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為又l′過點?1,3，∴由點斜式得直線l′的方程為y?3=?3方法二由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x+4y+m=0（將?1,3代入得m=?9.∴所求直線方程為3x+4y?9=0.方法三由l′與l平行，且過點?1,3，則l′的方程為3x+1（2）方法一l的方程可化為y=?34x+3，∴l(xiāng)由l′與l垂直，得l′的斜率為又l′過點?1,3，∴由點斜式得直線l′的方程為y?3=4方法二由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為將?1,3代入得n=13.∴所求直線方程為4x?3y+13=0.（3）方法一l的方程可化為y=?34x+3，∴l(xiāng)∵l′⊥l，∴設(shè)l′在y軸上的截距為b，則直線l