高職應(yīng)用數(shù)學(xué) 8

應(yīng)第8章無窮級數(shù)用數(shù)學(xué)高職本章內(nèi)容3冪級數(shù)4函數(shù)展開成冪級數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)2常數(shù)項級數(shù)的斂散性8.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)01常數(shù)項級數(shù)的概念02常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)8.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念舉一個具體例子，在計算半徑為R的圓面積S時，可先作圓的內(nèi)接正六邊形ABCDEF，其面積記為u1，則u1就是圓面積S的一個粗略的近似值，如圖8-1所示。圖8-1如此繼續(xù)進行n次，這個圓的面積就十分地近似等于圓內(nèi)接正邊形的面積：n越大，則近似程度越好。當(dāng)時，和的極限，就是這個圓的面積，也就是說，圓面積S是無窮多個數(shù)累加的和，即定義1給定一個數(shù)列，則由這個數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為，即

其中第n項un稱為級數(shù)的一般項或通項。各項都是常數(shù)的級數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)。作級數(shù)的前n項和，稱為級數(shù)的部分和。定義2若級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s，即，則稱無窮級數(shù)

收斂，這時極限稱為該級數(shù)的和，并寫成

若數(shù)列沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和是級數(shù)的和s的近似值，它們之間的差值稱為級數(shù)的余項。若，則部分和例1討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）的斂散性，其中，q稱為級數(shù)的公比解

當(dāng)時，因為，所以此時級數(shù)收斂，其和為。當(dāng)時，因為，所以此時級數(shù)發(fā)散。若，當(dāng)時，，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)

成為，sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零，所以sn的極限不存在，級數(shù)也發(fā)散。綜上所述，如果，則級數(shù)收斂，其和為；如果，則級數(shù)發(fā)散。例2有A，B，C三人按以下方法分一個蘋果：先將蘋果分成4份，每人各取一份；然后將剩下的一份又分成4份，每人又取一份；以此類推，直至無窮。驗證：最終每人分得蘋果的。解

據(jù)題意，每人分得的蘋果為上式是的等比級數(shù)，因此其和為即最終每人分得蘋果的。例3判別級數(shù)斂散性。解

此級數(shù)的部分和為顯然，，因此該級數(shù)是發(fā)散的。例4判別級數(shù)斂散性。解

由于所以該級數(shù)收斂，其和是1。因此從而解

例5討論調(diào)和級數(shù)的斂散性。但另一方面，故，矛盾。這說明級數(shù)必定發(fā)散。假若級數(shù)收斂且其和為s，sn是它的部分和。顯然有及。于是。8.1.2常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1

如果級數(shù)收斂于和s，則級數(shù)也收斂，且其和為ks。性質(zhì)2若級數(shù)分別收斂于s，σ，則級數(shù)也收斂于。解

例6判斷級數(shù)的斂散性。由幾何級數(shù)的斂散性可知，級數(shù)與均收斂，根據(jù)性質(zhì)2可知級數(shù)收斂。性質(zhì)3在級數(shù)中添加、去掉或改變有限項，不會改變級數(shù)的斂散性。但對于收斂級數(shù)，其和一般要改變。性質(zhì)4（級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)收斂，則。因為是級數(shù)收斂的必要條件，所以有以下推論。推論若級數(shù)的通項un不趨于零，即，則級數(shù)一定發(fā)散。解

例7判斷級數(shù)的斂散性。因為故發(fā)散8.2常數(shù)項級數(shù)的斂散性01正項級數(shù)及其審斂法02交錯級數(shù)及其審斂法03絕對收斂與條件收斂8.2.1正項級數(shù)及其審斂法定義1若級數(shù)的每一項均非負(fù)，即，則稱級數(shù)為正項級數(shù)。定理1正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界。定理2（比較審斂法）設(shè)和都是正項級數(shù)，且，則（1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。（2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。解

當(dāng)時，按順序把該級數(shù)的1項、2項、4項、8項……括在一起：例1求討論級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)。當(dāng)時，。由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知，當(dāng)時，該級數(shù)是發(fā)散的。即它的各項顯然小于下列級數(shù)的各項：而此級數(shù)是等比級數(shù)，其公比，所以該級數(shù)收斂。從而根據(jù)正項級數(shù)比較審斂法可知，級數(shù)當(dāng)時收斂。綜上所述，對于級數(shù)，當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散。解

例2判別級數(shù)的斂散性。因為，而級數(shù)是發(fā)散的，根據(jù)比較審斂法可知級數(shù)也是發(fā)散的。定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)給定正項級數(shù)和，則（1）若，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（2）若或，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。解

例3判別級數(shù)的斂散性。因為，而級數(shù)發(fā)散，由定理3可知級數(shù)發(fā)散。解

例4判別級數(shù)的斂散性。因為，而級數(shù)發(fā)散，由定理3可知級數(shù)收斂。8.2.2交錯級數(shù)及其審斂法定義2若級數(shù)的各項符號正負(fù)相間，即

則稱該級數(shù)為交錯級數(shù)。交錯級數(shù)的一般形式為，其中。定理4（萊布尼茨定理）若交錯級數(shù)滿足條件：（1）；（2），則級數(shù)收斂，且其和。證明例5證明級數(shù)收斂。（1）此級數(shù)是交錯級數(shù)，且滿足（2）由萊布尼茨定理知，級數(shù)是收斂的，且其和。8.2.3絕對收斂與條件收斂定義3若級數(shù)各項的絕對值所組成的級數(shù)

收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂。定義4若級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂。定理5若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必收斂。解

例6判別級數(shù)的斂散性。因為，而級數(shù)是收斂的，所以級數(shù)也收斂，從而級數(shù)絕對收斂。例7判斷下列級數(shù)是否收斂，若收斂，是否為絕對收斂：（1）；（2）；（3）。解

（1）為交錯級數(shù)，，故且。由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂。但由于發(fā)散，故原級數(shù)為條件收斂。（2）由于，而為收斂級數(shù)，故原級數(shù)收斂，并且為絕對收斂。（3）的通項為。故。根據(jù)萊布尼茲判別法，知原級數(shù)收斂。因，且又因為，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)為條件收斂。01函數(shù)項級數(shù)的概念02冪級數(shù)及其收斂性8.3冪級數(shù)03冪級數(shù)的運算8.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念定義1給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列，由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)，記為。對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0，若常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱點x0是級數(shù)的收斂點。若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則稱點x0是級數(shù)的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域。在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，并寫成。8.3.2冪級數(shù)及其收斂性定義2當(dāng)函數(shù)項級數(shù)中各項都是冪函數(shù)時，即

則此級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中都是常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，稱為冪級數(shù)的通項。冪級數(shù)更一般的形式為令，冪級數(shù)即化為冪級數(shù)。對于每一個確定的實數(shù)x0，冪級數(shù)變成如下的常數(shù)項級數(shù)：這個級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，如果收斂，則稱點x0是冪級數(shù)的收斂點；如果發(fā)散，則稱點x0是冪級數(shù)的發(fā)散點，冪級數(shù)所有收斂點的全體組成的集合稱為它的收斂域，記作I。在收斂域上，冪級數(shù)的和是x的函數(shù)，通常稱為冪級數(shù)的和函數(shù)。其定義域就是級數(shù)的收斂域，并記為。定理1設(shè)有冪級數(shù)，如果，則（1）若，當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散。（2）當(dāng)時，對于任意x，冪級數(shù)絕對收斂；（3）當(dāng)時，冪級數(shù)僅在點收斂。定理2設(shè)有冪級數(shù)，如果，則此冪級數(shù)的收斂半徑為解

例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域。因為所以收斂半徑為。當(dāng)時，冪級數(shù)成為，是收斂的；當(dāng)時，冪級數(shù)成為是發(fā)散的。因此，收斂域為。解

例2求冪級數(shù)

的收斂域。因為所以收斂半徑為，從而收斂域為。解

例3求冪級數(shù)

的收斂半徑。因為所以收斂半徑為，即級數(shù)僅在處收斂。解

例4求冪級數(shù)的收斂半徑。級數(shù)缺少奇次冪的項，定理2不能應(yīng)用，可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑。冪級數(shù)的一般項記為。當(dāng)，即時，級數(shù)收斂；當(dāng)，即時，級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑為。解

例5求冪級數(shù)的收斂域。令，上述級數(shù)變?yōu)?。因為?dāng)時，級數(shù)成為，此級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為，此級數(shù)收斂。因此級數(shù)的收斂域為。因為，即，所以原級數(shù)的收斂域為。所以收斂半徑。設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂，則在與中較小的區(qū)間內(nèi)可作加法、減法及乘法運算：8.3.3冪級數(shù)的運算性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上連續(xù)。性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上可積，并且有逐項積分公式

逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。性質(zhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項求導(dǎo)公式

逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。解

例6求冪級數(shù)的和函數(shù)。求得冪級數(shù)的收斂域為。對上式從0到x積分，得設(shè)和函數(shù)為，即。顯然。在的兩邊求導(dǎo)得于是，當(dāng)時，有。從而解

例7求級數(shù)的和?？紤]冪級數(shù)，此級數(shù)在上收斂，設(shè)其和函數(shù)為，則。在例6中已得到，于是即01泰勒級數(shù)02將函數(shù)展開成冪級數(shù)8.4函數(shù)展開成冪級數(shù)如果在點x0的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)特別地，當(dāng)時，稱它為的麥克勞林級數(shù)，即8.4.1泰勒級數(shù)為在點x0處的泰勒級數(shù)。記稱為的泰勒多項式。記稱為拉格朗日余項。定理設(shè)函數(shù)在x0的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是

其中（ξ介于x與x0之間）。1．直接展開法8.4.2將函數(shù)展開成冪級數(shù)把函數(shù)展開成x的冪級數(shù)的方法，其一般步驟如下：（2