第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(一)本章內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容提要1、拉格朗日中值定理及特例，定理的幾何解釋。2、一階導(dǎo)數(shù)的符號和曲線單調(diào)性的關(guān)系。3、極值存在的必要條件及利用一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)判斷極值。4、求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值和最小值，求最值應(yīng)用題。5、利用二階導(dǎo)數(shù)研究曲線凸凹性和拐點，拐點存在必要條件及判定。6、利用導(dǎo)數(shù)作圖。7、利用洛必達法則，求未定式極限。*8、曲率公式，弧長的微分公式。第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、重點和難點中值定理的應(yīng)用：曲線的單調(diào)性與極值，曲線的凸凹性與拐點及未定式極限為重點，函數(shù)的作圖是本章難點。三、基本要求1、拉格朗日定理是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，必須熟記定理的條件和結(jié)論及幾何意義。2、熟練應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)，判斷曲線的增減性，牢固掌握極值存在的必要條件，運用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判定極值。清楚極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。3、清楚二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線凸凹性及求拐點。第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5、能正確掌握利用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)研究曲線的性態(tài)并能正確做出常見的初等函數(shù)圖像。四、對學習的建議拉格朗日中值定理是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)理論，因而十分重要，必須弄清它的條件與結(jié)論以及幾何意義。定理的證明只要求理解。洛必達法則是求極限的一個有力工具，在應(yīng)用中須注意以下幾點。第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2、使用法則前，函數(shù)中若有因式可用無窮小代換，則代換，以便簡化計算。3、使用法則后，若有因式其極限可以確定，則應(yīng)及時剝離求出極限，以利繼續(xù)使用法則。4、使用洛必達法則中，在適當?shù)沫h(huán)節(jié)上可結(jié)合其他求極限的方法，以便極限較快求出。另外，法則有時會失效，但不能因此確定函數(shù)無極限，可另換他法。結(jié)合實際求最值問題，關(guān)鍵在目標函數(shù)的建立，這需要一定的其他領(lǐng)域的知識。目標函數(shù)建立的恰當與否，取決于自變量的選取。這一切都需要多做多看一些不同類型的題目，以便培養(yǎng)這方面的能力。第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵在熟悉和掌握各種概念的含義以及它的數(shù)學表達式。五、本章關(guān)鍵詞中值定理極值最大值與最小值洛必達法則作函數(shù)的圖形是本章內(nèi)容的大綜合，也是本章一個難點。正因為如此，認真的按照規(guī)范的步驟做幾道作圖題，對融會貫通本章知識，了解函數(shù)性態(tài)，提高作圖能力等都是有益的。第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)常見問題分類及解法一、利用洛必達法則求未定式第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求下列極限：解第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求其極值函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性可以用此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的正負來判定，進而可以求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的極大值和極小值。需注意的是：①有些導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是極值點；②在單調(diào)區(qū)間內(nèi)的某些離散點處導(dǎo)數(shù)也可能為零。例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求其極值：解第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月見表3-1.表3-1極值表第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月見表3-2.第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月不存在極小值0極小值0表3-2極值表第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、求函數(shù)的最大值和最小值對于由解析式表示的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值問題，可利用比較函數(shù)在駐點和不可導(dǎo)點及區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小來求。而對于由實際問題得到的函數(shù)的最值問題，只要函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定函數(shù)在此駐點處取得最值。第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月解第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4欲用圍墻圍成面積為216m2的一塊矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解圖3-1例4示意第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月四、判斷曲線的凸凹并求曲線的拐點根據(jù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的正負，可以判斷函數(shù)曲線的凸凹，進而可以求出函數(shù)曲線在整個定義域內(nèi)的拐點。解第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月凹拐點(0,1)凸拐點(1,0)凹表3-3曲線凸凹表第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月五、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式對于某些不等式，可以先將其轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。證第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)思考題答案答案答案答案1、一階導(dǎo)數(shù)的符號與曲線單調(diào)性的關(guān)系是什么？2、利用一、二階導(dǎo)數(shù)能研究曲線的什么特性？第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(四)課堂練習題答案答案答案答案第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月返回1、一階導(dǎo)數(shù)的符號為正號，曲線單調(diào)增加；一階導(dǎo)數(shù)的符號為負號，曲線單調(diào)減少.第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月返回2、利用一階導(dǎo)數(shù)可研究曲線的單調(diào)性進而來判定極值.利用二階導(dǎo)數(shù)可研究曲線的凸凹性和拐點.第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月返回第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月返回第25頁，課件共29頁