廣東省湛江市第十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省湛江市第十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在R上的函數(shù)滿足，其圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,0），且對(duì)任意恒成立，則不等式的解集為A．

B．

C．

D．參考答案：.試題分析：因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，這表明函數(shù)在上是單調(diào)遞增的.又因?yàn)槠鋱D像經(jīng)過點(diǎn)（2,0），所以，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.所以不等式可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，顯然不滿足該不等式；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以即，所以此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，所以即，所以此時(shí)不等式的解集為，綜上所述，不等式的解集為，故應(yīng)選.考點(diǎn)：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、不等關(guān)系；2.已知等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公差d=(

）A．0

B．1

C．-1

D．2參考答案：B，，，可得，故選B.

3.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為，點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而可得b=2a，再利用拋物線的定義，結(jié)合P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，可得FF1=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結(jié)論．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F（2，0），雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為ax﹣by=0，∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為，∴∴a=2b，∵P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=﹣2的距離之和的最小值為3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴雙曲線的方程為﹣x2=1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．4.已知集合等于（

） A． B． C． D．參考答案：C5.不等式組的解集記為D，有下列四個(gè)命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2

p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3

p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；二元一次不等式的幾何意義．【專題】不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】作出不等式組的表示的區(qū)域D，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：作出圖形如下：由圖知，區(qū)域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域，p1：區(qū)域D在x+2y≥﹣2區(qū)域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直線x+2y=2的右上方和區(qū)域D重疊的區(qū)域內(nèi)，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確；p3：由圖知，區(qū)域D有部分在直線x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯(cuò)誤；

p4：x+2y≤﹣1的區(qū)域（左下方的虛線區(qū)域）恒在區(qū)域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯(cuò)誤；綜上所述，p1、p2正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題．6.已知函數(shù)g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范圍即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．設(shè)f（x）=2lnx﹣x2，求導(dǎo)得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）極大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等價(jià)于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．從而a的取值范圍為[1，e2﹣2]．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．7.拋物線的準(zhǔn)線方程是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B解析：由，得，故準(zhǔn)線方程為．8.若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是 ()參考答案：D略9.如果函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，那么正確的選項(xiàng)是A.B.C.D.參考答案：A略10.三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為(

)A．7 B．7.5 C．8 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由小圓面積為16π，可以得小圓的半徑；由圖知三棱錐高的最大值應(yīng)過球心，故可以作出解答．【解答】解：設(shè)小圓半徑為r，則πr2=16π，∴r=4．顯然，當(dāng)三棱錐的高過球心O時(shí)，取得最大值；由OO1==3，∴高PO1=PO+OO1=5+3=8．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由圓的面積求半徑，以及勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè)．參考答案：3考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：題目中條件：“函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為方程lnx=x2﹣2x的根的個(gè)數(shù)問題及一次函數(shù)2x+1=0的根的個(gè)數(shù)問題，分別畫出方程lnx=x2﹣2x左右兩式表示的函數(shù)圖象即得．解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，在同一坐標(biāo)系中畫出y=lnx與y=x2﹣2x的圖象如下圖所示：由圖象可得兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)．又一次函數(shù)2x+1=0的根的個(gè)數(shù)是：1．故函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè)故答案為：3點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的圖象直觀地顯示了函數(shù)的性質(zhì)．在判斷方程是否有解、解的個(gè)數(shù)及一次方程根的分布問題時(shí)，我們往往構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象解題．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．12.以兩點(diǎn)和為直徑端點(diǎn)的圓的方程是

．參考答案：13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則正整數(shù)=

▲

．參考答案：13略14.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若=3，則=_________________.參考答案：略15.已知tan（α+）=3，tanβ=2，則tan（α﹣β）=

．參考答案：﹣．【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正切函數(shù)公式可求tanα的值，由已知利用兩角差的正切函數(shù)公式即可計(jì)算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案為：﹣．16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和

．參考答案：因?yàn)椋獾?，所以，所以，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和.17.設(shè)函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3=．參考答案：3﹣a4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】設(shè)f（x）=t，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出方程f（x）=t的根的個(gè)數(shù)，從而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三個(gè)解，得出答案．【解答】解：不妨設(shè)a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)f（x）=t，由圖象可知：當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有3解，當(dāng)t≠1時(shí)，方程f（x）=t有2解，∵函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)，∴關(guān)于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三個(gè)解，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案為：3﹣a4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且（I）求角A的大?。海↖I）求的取值范圍.

參考答案：解析：解：(1)(2)

略19.（12分）（2013?煙臺(tái)一模）如圖，某學(xué)校組織500名學(xué)生體檢，按身高（單位：cm）分組：第1組[155，160），第2組[160，165），第3組[165，170），第4組[170，175），第5組[175，180]，得到的頻率分布直方圖．（1）下表是身高的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)m，n的值；（2）現(xiàn)在要從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，第1，2，3組應(yīng)抽取的人數(shù)分別是多少？（3）在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人在第3組的概率．區(qū)間〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人數(shù)5050m150n參考答案：考點(diǎn)： 頻率分布直方圖；分層抽樣方法；古典概型及其概率計(jì)算公式．

專題： 概率與統(tǒng)計(jì)．分析： （1）根據(jù)頻率分布直方圖的高=，頻率=，計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣方法，按頻數(shù)比例計(jì)算即可；（3）根據(jù)古典概型的計(jì)算方法，先求所以可能的事件數(shù)，再求復(fù)合條件的可能事件數(shù)，然后求解即可．解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，m=0.08×5×500=200，n=0.02×5×500=50．（2）∵第1、2、3組共有50+50+200=300人，根據(jù)分層抽樣的方法，第1組應(yīng)抽6×=1人；第2組應(yīng)抽6×=1人；第3組應(yīng)抽6×=4人．（3）設(shè)第1組的同學(xué)為A；第2組的同學(xué)為B；第3組的同學(xué)為①、②、③、④，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)共有：（A，B），（A，①），（A，②），（A，③），（A，④），（B，①），（B，②），（B，③），（B，④），（①，②），（①，③），（①，④），（②，③），（②，④），（③，④）15種可能，其中2人都不在第3組的有：（A，B）共1種可能，∴至少有一人在第3組的概率為1﹣=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣方法及古典概型的概率計(jì)算．20.（本題共13分）曲線都是以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心、離心率相等的橢圓．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0,1），線段MN是的短軸，是的長(zhǎng)軸.直線與交于A,D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），與交于B,C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)）．（Ⅰ）當(dāng)m=，時(shí)，求橢圓的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求離心率e的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)C1的方程為,C2的方程為,其中．..2分

C1,C2的離心率相同，所以,所以，……….…3分

C2的方程為．

當(dāng)m=時(shí)，A,C．.………….5分

又,所以，，解得a=2或a=(舍)，………….…………..6分

C1,C2的方程分別為，．………………….7分（Ⅱ）A(-,m),

B(-,m)．…………9分

OB∥AN,,

,

．…….11分

，\，．………12分

，\，\．.................................13分

21.定義符號(hào)函數(shù)sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）關(guān)于a的表達(dá)式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）當(dāng)b=時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．（3）已知存在a，使得f（x）＜0對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；向量法；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)已知求出f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，分析其單調(diào)性可得函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在（0，1）上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案；（3）若存在a，使得f（x）＜0對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，則+x＜a＜+x對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，分類討論可得答案．【解答】解：（1）∵函數(shù)sgn（x）=，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．∴f（2）=2|2﹣a|+b，f（1）=|1﹣a|+b，∴f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，故當(dāng)a=2時(shí)，f（2）﹣f（1）的最小值為﹣1；（2）當(dāng)b=時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x|x﹣a|+=，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在（0，1）上的圖象，如下圖所示：由圖可得：當(dāng)a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；（3）x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x|x﹣a|+b，由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，∴b＜0，且＜x﹣a＜對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，即+x＜a＜+x對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，∵y=+x在[1，2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=2時(shí)，y=+x取最大值2+，y=+x，x∈[1，2]的最小值為：，①，解得：b∈（﹣1，﹣）；②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；③解得：b∈（﹣∞，﹣4），綜上可得：b∈（﹣∞，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，難度中檔．22.（14分）（2014?宜春校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明f′（x0）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意可得f′（）=﹣4，解出a的值即可；（Ⅱ）對(duì)導(dǎo)數(shù)因式分解后，再求出函數(shù)f（x）的定義域，然后在定義域內(nèi)分a≥0，a＜0兩種情況，解不等式f′（x）＞0，f′（