基于驅(qū)動被動引力的并聯(lián)機構(gòu)剛度和彈性變形分析

基于驅(qū)動被動引力的并聯(lián)機構(gòu)剛度和彈性變形分析

0串聯(lián)機構(gòu)的剛度和彈性變形剛性是組合機構(gòu)最重要的執(zhí)行指標之一。剛性性能決定了機構(gòu)的動態(tài)特性和定位精度。更高的剛性允許更高的加工速度。對于少自由度并聯(lián)機構(gòu),由于結(jié)構(gòu)約束的存在,分支中出現(xiàn)了約束反力,在傳統(tǒng)方案中,并沒有考慮機構(gòu)中約束反力產(chǎn)生的變形,而事實上這個變形已經(jīng)達到了不可忽視的程度。因此在初始設(shè)計階段,分析并聯(lián)機構(gòu)的剛度和彈性變形很重要。對于少自由度并聯(lián)機構(gòu)的剛度,許多學者也做了研究。Joshi等分析和比較了Tricept機構(gòu)和3-UPU機構(gòu)的剛度模型。Huang等對一種tripod-based并聯(lián)機構(gòu)進行了剛度分析。Li等分析了3-PUU機構(gòu)的剛度。韓書葵等用螺旋理論建立了一種新型4自由度并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。張勇等建立3自由度可約移動并聯(lián)機構(gòu)3-PPRR的剛度模型。李劍鋒等對具有大位置空間的2PUS-PU3自由度并聯(lián)機構(gòu)剛度進行了分析。本文中我們以3-SPR并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,通過驅(qū)動力/約束力研究分支剛度伴隨矩陣和彈性變形,從而求解機構(gòu)總的剛度矩陣和彈性變形。13-spr組合結(jié)構(gòu)的剛性和彈性變形1.13驅(qū)動分段的靜力學建模由文獻中并聯(lián)機構(gòu)中的約束力位置和方向的約束情況可知3-SPR并聯(lián)機構(gòu)中只存在約束力,無約束力矩。3-SPR并聯(lián)機構(gòu)及其受力情況如圖1所示。整個工作載荷被簡化為作用在動平臺m的o上的集中力/力矩(F,T),(F,T)平衡于機構(gòu)本身產(chǎn)生的3個驅(qū)動力力Fai(i=1,2,3)和3個約束力Fci(i=1,2,3)。驅(qū)動力Fai沿著ri作用在ri上的Bi上,每個Fci∥轉(zhuǎn)動副軸線Ri?；谔摴υ?從參考文獻中導出3-SPR的靜力學方程為式中,J是一個6×6的雅克比矩陣;ri和δi(i=1,2,3)是驅(qū)動分支的長度和單位矢量;ei是從o到bi的矢量;ci(i=1,2,3)是Fci的單位矢量;di是從o到Bi的矢量。1.23spr于各鏈桿間所作的變形(1)連續(xù)性假設(shè):認為組成固體的物質(zhì)毫無間隙地充滿了固體的幾何空間。(2)均勻性假設(shè):認為從構(gòu)件內(nèi)任取一部分,不論體積大小如何,其力學性能完全相同。(3)各項同性假設(shè):認為固體在各個方向上的力學性能完全相同。(4)彈性小變形條件:固體因外力作用而引起的變形,限于變形的大小遠遠小于構(gòu)件原始尺寸的情況,且在外力解除后又可恢復原狀。(5)不考慮各轉(zhuǎn)動副處的變形和間隙。(6)動平臺比各鏈桿的尺寸大很多,其變形遠遠小于桿的變形,為計算動平臺上中心點變形及協(xié)調(diào)關(guān)系,假定動平臺為剛體。并聯(lián)機構(gòu)中每個SPR分支既受軸向力作用產(chǎn)生拉壓彈性變形,又受切向力作用產(chǎn)生彎曲彈性變形,每個分支的變形可以看作這兩種變形分別作用的結(jié)果。設(shè)定如下參數(shù):r1i、B1i、I1i分別為分支活塞的長度、截面積和慣性矩;r1i-r1i、B2i、I2i分別為分支液壓缸的長度、截面積和慣性矩;Ei為分支ri的彈性模量。當每個驅(qū)動力Fai(i=1,2,3)沿著ri作用在驅(qū)動分支ri上時,分支上產(chǎn)生的軸向彈性微變形δai(圖2a)為,約束力Fci施加在SPR分支上的S副,產(chǎn)生一個徑向的彎曲彈性變形δci(圖2b)為式中,kai和kci分別是SPR分支的軸向剛度和彎曲剛度,其推導過程參見文獻。由式(2)~式(3)可導出分支的力變形方程為式中,Kp是3-SPR并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動分支ri的一個6×6的伴隨矩陣。1.33構(gòu)變形創(chuàng)造的虛功總量與由f,t的變異產(chǎn)生的虛功根據(jù)虛功原理有(Fa1,Fa2,Fa3,Fc1,Fc2,Fc3)沿并聯(lián)機構(gòu)變形產(chǎn)生的虛功總量與由(F,T)沿在{B}里的點o的變形產(chǎn)生的虛功之和為零,如式(5)表達所示。令(dXo,dYo,dZo)為{B}里m彈性微變形的3個線位移分量,(dφx,dφy,dφz)為{B}里m彈性微變形的3個角位移分量。23位姿對動平臺剛度的影響在3SPS并聯(lián)機構(gòu)中,令初始位姿為α=1°,β=1°(α=γ),Zo=100mm,機構(gòu)以νZo=3mm/s,ωα=1(°)/s,ωβ=2(°)/s的速度運動。設(shè)L=100mm,l=50mm,F=[-20,-30,-60]TN,Ei=2.11×1011Pa,EiI1i=EiI2i=26502N·m2,B1i=B2i=0.0013m2。圖3a和3b所示為動平臺歐拉角和位置坐標相對時間t的變化情況,通過分析相關(guān)方程組,可得到ri的伸長量、驅(qū)動分支的彈性變形、驅(qū)動分支的彎曲變形以及動平臺的最終彈性變形,分別如圖3c~圖3g所示。綜合圖3可以得到:3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的剛度隨著動平臺的位姿變化而變化;當動平臺處于初始位置,即驅(qū)動分支伸長量最小時,并聯(lián)機構(gòu)的剛度最大。3約束/矩的影響通過求解3-SPR并聯(lián)機構(gòu)中的驅(qū)動分支的彈性變形,導出驅(qū)動/約束分支的伴隨矩陣,根據(jù)驅(qū)動分支的6×6雅克比矩陣和伴隨矩陣,導出3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的總剛度矩陣和彈性變形。3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的剛度隨著動平臺的位姿變化而變化,當動平臺處于初始位置,即驅(qū)動分支伸長量最小時,并聯(lián)機構(gòu)的剛度最大。約束力/矩對3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的彈性有巨大的影響,當建立3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的總剛度矩陣和求解其彈性變形時,必須充分考慮約束力/矩的影響。用解析法建立本文中并聯(lián)機構(gòu)剛度模型時,僅考慮連桿和驅(qū)動關(guān)節(jié)等組件彈性的影響,所建模型缺乏一定的完備性,勢必會影響剛度預測的精確度,并且所建模型還缺乏對鉸鏈間隙以及預應(yīng)力影響的考慮,因此很多研究內(nèi)容還需要進一步深入開展。為了便于計算先做如下假設(shè):結(jié)合式(