基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析

基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析凡是以二階微分方程描述運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計(jì)算方法，具有較大的實(shí)際意義。1.典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)分析典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)分析是從時(shí)域方面對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行分析。時(shí)域分析具有非常直觀的分析效果，例如：給系統(tǒng)輸入端加上階躍信號(hào)觀察系統(tǒng)的輸出狀況即二級(jí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，能夠很直觀、很全面的對(duì)所研究的二階系統(tǒng)作出全面了解。但在計(jì)算機(jī)尚未普及之前，對(duì)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的繪制全依賴于人們的手工描繪，所以，對(duì)簡(jiǎn)單的、低階系統(tǒng)尚能用時(shí)域法進(jìn)行分析，但對(duì)于高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線就很難依賴手工繪制。因此，這位系統(tǒng)的暫態(tài)分析提出了很大挑戰(zhàn)。然而，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件層出不窮，這為控制系統(tǒng)的暫態(tài)分析提供了方便。因此，基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析，就是利用現(xiàn)在在控制系統(tǒng)分析、系統(tǒng)仿真等領(lǐng)域中應(yīng)用非常廣泛的MATLAB語言作為分析工具。1.1典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析在研究典型的二階系統(tǒng)時(shí)常用的數(shù)學(xué)模型有：T2血+2訂蟻+)=r(t)(l)dt2dt00①(s)二C(s)二1=馀R(s)T2s2+2gTs+1s2+2口s+32nn其中，g為系統(tǒng)的阻尼比，3為無阻尼自然震蕩頻率。n公式(1)是對(duì)二階系統(tǒng)的微分方程描述，公式(2)是對(duì)二階系2)統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述。1.2典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)的特征方程為：D(s)=s2+2g3s+32=0nn特征根為：s=-gw±Jg2-131,2nn3)4)由公式(4)可以看出，特征根的分布主要取決于系統(tǒng)的阻尼比g。而系統(tǒng)在零初始條件下，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：1321C(s)"(s)_二-ss2+2g3s+32snn單位階躍響應(yīng)的特征主要取決于特征根的分布，當(dāng)3二1rads時(shí),n5)取不同的阻尼比g時(shí)的到得階躍響應(yīng)曲線如下所示:21.81.61.41.210.80.60.40.2圖1不同阻尼比下的階躍響應(yīng)因此，根據(jù)系統(tǒng)的阻尼比g的不同，把二階系統(tǒng)分為幾種不同的狀態(tài)如下：1，臨界阻尼狀態(tài)分析當(dāng)1時(shí)，特征根為重負(fù)實(shí)根S，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲n線如下圖所示：1987000654000302100edutilpmA1987000654000302100edutilpmA202530圖2二階系統(tǒng)臨界阻尼狀態(tài)由臨界阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可看出，當(dāng)t二0時(shí)，響應(yīng)過程的變化率為零；當(dāng)t>0時(shí)，響應(yīng)過程的變化率為正，響應(yīng)過程單調(diào)上升；當(dāng)t十時(shí)，響應(yīng)過程的變化率趨于零，響應(yīng)過程趨于常數(shù)1。g>1，過阻尼狀態(tài)分析當(dāng)g>1時(shí)，特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下所示：

圖3二階系統(tǒng)過阻尼狀態(tài)由過阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可看出，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與臨界阻尼狀態(tài)相似，但響應(yīng)速度比臨界阻尼狀態(tài)緩慢。o<g<1，欠阻尼狀態(tài)分析當(dāng)0<g<1時(shí)，特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)s=-?土加（耳，系nn統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下所示：99)圖4二階系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)由欠阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可以看出，欠阻尼狀態(tài)下的響應(yīng)曲線有兩個(gè)特征：衰減振蕩和振蕩頻率不變。由于二階系統(tǒng)的欠阻尼狀態(tài)在工程實(shí)踐中具有廣泛應(yīng)用，因此，對(duì)二階系統(tǒng)的欠阻尼狀態(tài)的暫態(tài)性能指標(biāo)做如下論述：對(duì)公式（5）作拉普拉斯逆變換的單位階躍響應(yīng)為：TOC\o"1-5"\h\zc（t）=1-e-sin（①t+申）（6）心2d1其中3=3J1-g2（7）dn3稱為有阻尼振蕩頻率。d上升時(shí)間tr對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)來說當(dāng)系統(tǒng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時(shí)所用的時(shí)間即為上升時(shí)間。所以，有c（t）=1結(jié)合公式（6）得：兀7t=r3n由公式（8）值知，在g—定時(shí)，上升時(shí)間t與有阻尼振蕩頻率3rd成反比。超調(diào)時(shí)間tp超調(diào)時(shí)間t為系統(tǒng)從初始時(shí)刻到達(dá)到最大值時(shí)的時(shí)間，所以只需p對(duì)公式（6）進(jìn)行求導(dǎo)使導(dǎo)數(shù)為零得t為：冗t=-p3d由t的計(jì)算公式知t只與3有關(guān)且成反比。ppd超調(diào)量5%由計(jì)算超調(diào)時(shí)間時(shí)可知5%為:p5%=ei弋2*100%（10）p由5%的計(jì)算公式知由計(jì)算超調(diào)時(shí)間時(shí)可知5%為:p5%=ei弋2*100%（10）p由5%的計(jì)算公式知5%只與g有關(guān)。pp④調(diào)節(jié)時(shí)間ts調(diào)節(jié)時(shí)間t與調(diào)節(jié)精度有關(guān)因此有：s4T11)當(dāng)A二5時(shí)t二丄二3Ts3n12)對(duì)欠阻尼狀態(tài)下各性能指標(biāo)在單位階躍響應(yīng)曲線中的位置如下圖所示：1.41.2StepResponseSystem:G[11Pteakamplitude:1.16Overshoot(%):16.3.Attime(sec):3.62System:GSystem:G-——SettlingTime(sec):8.08FinalVabe:1edutilpmA8600System:GRiseTime:1.6551015202530Time(sec)圖5欠阻尼狀態(tài)下暫態(tài)性能指標(biāo)1.2.4o，無阻尼狀態(tài)分析當(dāng)g=0時(shí)，特征根為一對(duì)純虛數(shù)s=±jo，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n曲線如下所示：0051015202530Time(sec)0051015202530Time(sec)StepResponse圖5二階系統(tǒng)無阻尼狀態(tài)由無阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可看出，單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2.典型二階系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上隨系統(tǒng)參數(shù)變化的軌跡稱為控制系統(tǒng)的根軌跡。以根軌跡放大系數(shù)k為參變量的根軌跡稱為常義根軌跡。現(xiàn)以常義根軌跡來分析欠阻尼系統(tǒng)如下：通過根軌跡放大系數(shù)k的變化，通過MATLAB作圖，可以很容易的看出欠阻尼系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上隨系統(tǒng)參數(shù)變化，通過觀察欠阻尼系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面的根軌跡變化可以很容易判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：0(s)=1(13)S2+S+1則該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=1(14)s2+s得該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：RealAxis圖6根軌跡曲線由上圖的根軌跡曲線可以看出隨著開環(huán)放大系數(shù)k的變化，系統(tǒng)的根軌跡始終都在復(fù)平面虛軸的左側(cè)，系統(tǒng)穩(wěn)定，這與暫態(tài)分系統(tǒng)中由單位階躍響應(yīng)曲線中的到的結(jié)論一致。3.典型二階系統(tǒng)的頻域分析前面的時(shí)域分析法和根軌跡分析法在低階系統(tǒng)中尚能靈活應(yīng)用，擔(dān)當(dāng)系統(tǒng)是高階系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的微分方程求解和根軌跡繪制都變得非常困難。因此，在經(jīng)典控制理論中還用頻域分析法對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度進(jìn)行分析。所以，以下還是用以上的欠阻尼系統(tǒng)應(yīng)用頻域分析法對(duì)其分析如下：首先，利用MATLAB繪制欠阻尼系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，再由奈奎斯特判據(jù)判斷其穩(wěn)定性如下所示：RealAxis圖7奈奎斯特曲線由欠阻尼系統(tǒng)的奈奎斯特曲線可以看出z=0即閉環(huán)極點(diǎn)位于右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為靈。所以，系統(tǒng)穩(wěn)定，與以上兩種方法判斷結(jié)果一致。利用奈奎斯特曲線和奈奎斯特判據(jù)僅能判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定，要想進(jìn)一步知道穩(wěn)定裕度還要用伯德圖進(jìn)行判定。所以，以下是用伯德圖法對(duì)欠阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析，從伯德圖中讀出系統(tǒng)的幅值裕度相位裕度。二階欠阻尼系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示：)Bd(edutingaM)ged(esah200-20-40-60-800-45-90)Bd(edutingaM)ged(esah200-20-40-60-800-45-90-135BodeDiagram-18010-2■1r10-1100101Frequency(rad/sec)102圖8二