二項式定理問題的五大方法

#二項式定理問題的五大方法學(xué)習(xí)二項式定理，應(yīng)對二項式定理問題的五大方法倍加關(guān)注，其中五大方法的具體內(nèi)容是：1．常規(guī)問題通項分析法例1.如果在（1」=）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)24；x列，求展開式中的有理項TOC\o"1-5"\h\z解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1,n,n」，由題意得2 82Xn=1n（n-D，得n=82 8設(shè)第ri項為有理項，T=C__1?1T，則r是4的倍數(shù)，r+1 8 2r所以r=0,4,8有理項為T=4,T=35,T=，1 58 9256x2評述：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式,1=Cnan-rbrnCNB1，2,2，?…2中含有融,4「三五個元素,只要知道其中的四個元素,就可以求出第五個元素．在有關(guān)二項式定理的問題中,常常遇到已知這五個元素中的若干個,求另外幾個元素的問題（如判斷和計算二項展開式中的特殊項）,這類問題一般是正確使用通項公式,要清楚其中的相關(guān)字母的意義,利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題歸結(jié)為解方程（組）．2．系數(shù)和差型賦值法例2.已知（一a）8展開式中常數(shù)項為1120,其中實數(shù)ax是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是B.38 或38 或28解析：T=Cr?8-r?(—a-1)r=(-a)rCr?8-2rr+1 8 8令8—2r=0,??.r=4/.(-a)4c4=1120;?a=±28當a=2時，令=1,貝U(1—2)8=1當a=-2時，令=—1,貝U(—1—2)8=38答案：C例3.若(1)6(1—2)5=a0a1a22…a/1求：(1)a1a2aj-a]]；(2)a0a2a4…與解：(1)(1)6(1—2)5=aaa2…=1,得aaa-a=-26,①又a0=1,所以a1a2…a11=—26—1=—65(2)再令=—1,得a—aa—a…一a=0②①②得aa…a=1(—260)=—3202 10 2評述：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法,令其中的字母等于1或-13．近似問題截項法例4．求10的近似值(精確到)解：10=()1O=31O-10X39X45X38XX37X210X36X-評述：用二項展開式作近似計算，注意底數(shù)的變形，以及考查對精確度有影響的某些項。4．整除（或余數(shù)）問題展開法例5.求證：2n2?3n5n-4能被25整除。思路點撥：25=52，而2n2?3n=4?6n=451n,將此二項式展開后就會出現(xiàn)5r解：原式二451n5n-4=4C。5nCi5n-1C25n-2???C〃5n-4nn n n=4C05nC15n-iC25n-2?…C〃.25225nnn n n以上各項均為25的整數(shù)倍，故得證。5．最值問題不等式法例6.在二項式(ambn)12(a>0,b>0,m、n#0)中有2mn=0,如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項(1)求它是第幾項；(2)求￡的最值bTOC\o"1-5"\h\z解：(1)設(shè)T=C,(am)12—r?(bn)r=Crai2-rbrm(12－r)nr為常r+1 12 12數(shù)項，則有m(12—r)nr=0,即m(12—r)—2mr=0,/.r=4,它是第5項(2)?..第5項又是系數(shù)最大的項，C4fa8b4，C3a9b3①12 12C4[a8b4，C5a7b5②12 12由①得12X11X10X9a8b4,12X11X10a9b3,4X3X2 3X2?.?a>0,b>0,「?9