2022新高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納29等比數(shù)列通項與前n項和（學(xué)生版）

專題29等比數(shù)列通項與前n項和公式一、關(guān)鍵能力1.理解等比數(shù)列的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．二、教學(xué)建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點．預(yù)測2022年高考將會:1．利用方程思想應(yīng)用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量；2．等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.3．更傾向于與等差數(shù)列或其他內(nèi)容相結(jié)合的問題，其中涉及到方程的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等．從思維品質(zhì)上看更講究思維的靈活性及深刻性．三、自主梳理 1.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列及前n項和的性質(zhì)(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm．(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【必會結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))時，{an}是遞增數(shù)列；滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))時，{an}是遞減數(shù)列．四、高頻考點+重點題型考點一、等比數(shù)列的基本量運算例1.(2020·全國卷Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1對點訓(xùn)練1.（浙江高考真題）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為{Sn}．若，，則q＝______________．對點訓(xùn)練2.(2020·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5考點二、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用例2-1（項的性質(zhì)）已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.例2-2（前n項和的性質(zhì)）（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10對點訓(xùn)練1.（2020·全國高三二模（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值對點訓(xùn)練2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16對點訓(xùn)練3.(2020·全國卷Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32考點三、等比數(shù)列證明與判定例3-1.(2021新高考八省聯(lián)考卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求數(shù)列{an}的通項公式．例3-2.在數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.例3-3.（2020·江蘇卷）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．對點訓(xùn)練1.（2018·全國卷）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．對點訓(xùn)練2.（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和.考點四、前n項和的綜合應(yīng)用例4.（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件對點訓(xùn)練1．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，，且，則___________.對點訓(xùn)練2．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考點五、數(shù)學(xué)文化小型應(yīng)用題例5..（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里對點訓(xùn)練1.（2020·浙江杭州高三二模）我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是_________尺；要使剩余木棍的長度小于尺，需要經(jīng)過________次截取.對點訓(xùn)練2．（2017新課標(biāo)全國II理科）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞鞏固訓(xùn)練一、單項選擇題1．（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–12．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)3．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．495．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)?shù)列{anan＋1}是公比為q的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列6．若正項等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝22n(n∈N*)，則a6－a5的值是()A.eq\r(2) B．－16eq\r(2)C．2 D．16eq\r(2)二、多項選擇題7．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．8．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，eq\f(a99－1,a100－1)＜0，下列選項中，結(jié)論正確的是()A．0＜q＜1B．a(chǎn)99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于198三、填空題9．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則________，________．10.如圖所示，正方形上連結(jié)著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連結(jié)正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1023個正方形，且其最大的正方形的邊長為eq\f(\r(2),2)，則其最小正方形的邊長為________．11．已知等比數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若不等式Sn＞kan－2對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是__________．12．（2020·安徽黃山）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，該女子第二天織布尺？四、解答題13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\