2021年重點(diǎn)初中中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

絕密★啟用前

中考數(shù)學(xué)試卷

試卷及答案解析

考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明

一、單選題

1.構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tanl5。時(shí)，如圖.在

RtAACB中，NC=90。，NA8C=30。，延長C8使80=48,連接AO,得NO=15。，

AC12-6、后

所以‘皿】5。=而=萬耳=（2+?（2-碼=2一5類比這種方法,計(jì)算

tan22.5°的值為（）

A.及+1B.正-1C.6D.；

【答案】B

【分析】

作RtAABC,使NC=90。，NABC=45。，延長CB到D,使BD=AB,連接AD,根

據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC=x,再用x表示出CD,即可求出tan22.5。的值.

【詳解】

解：作RtAABC,使NC=90°,ZABC=90°,ZABC=45°,延長CB至ljD,使BD=

AB,連接AD,設(shè)AC=x,則：BC=x,AB=7Ir，CD=(1+點(diǎn))x,

Av--_

tcm225°=tcmND=—=--r-=V2-1

CD7(1+V2)x

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45。的直角三角形，再作輔助線

得到22.5。的直角三角形.

第II卷（非選擇題）

請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

二、填空題

2.蜜蜂采蜜時(shí)，如果蜜源很遠(yuǎn)它就會跳起“8字舞”，告訴同伴蜜源的方向.如圖所示，

兩個(gè)全等菱形的邊長為1厘米，一只蜜蜂由A點(diǎn)開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的

邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，飛行2015厘米后停下，則這只蜜蜂停在_____點(diǎn).

【答案】G點(diǎn)

【分析】

根據(jù)菱形的四條邊都相等可知，蜜蜂飛行一周的路程為8,用2015除以8,再根據(jù)余數(shù)

確定?？康狞c(diǎn)即可.

【詳解】

解：；兩個(gè)全等菱形的邊長為1厘米，

蜜蜂沿沿菱形的邊飛行一周走過的路程為8xl=8cm,

V2015-8=251...7,

???飛行2015厘米后停下的點(diǎn)與飛行7cm后停下的點(diǎn)相同，

由圖可知，飛行7cm后停在點(diǎn)G,

所以，這只蜜蜂停在G點(diǎn).

故答案為：G

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的四條邊都相等確定飛行一周的路程為8cm是解題

試卷第2頁，總14頁

的關(guān)鍵.

三、解答題

3.閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾，納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書

寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地，若f=N(a>0,葉1),那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：

記作：x=\ogaN.比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216,對數(shù)式2=logs25可以轉(zhuǎn)

化為5?=25.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

logo=log“M+logJV(a>0,存1,M>0,N>0)；理由如下：lo&N

n

=n,則M=a9N=a"

:?M?N=d%a〃=d*",由對數(shù)的定義得"?+"=10物(M?N)

又Vm+n=logaM+logaN

；?loga(MW)=lo&M+IogJV

解決以下問題：

(1)將指數(shù)式53=125轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)log24=,log381=,log464=.(直接寫出結(jié)果)

M

(3)證明：證明10g——=logA/-logaN(a>0,存1,M>0,N>0).(寫出證明過程)

ziNo

(4)拓展運(yùn)用：計(jì)算計(jì)算Iog34+log312-log316=.(直接寫出結(jié)果)

【答案】⑴3=log5125；(2)2,4,3；(3)見解析；(4)1.

【分析】

(1)根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫成對數(shù)式；

(2)運(yùn)用對數(shù)的定義進(jìn)行解答便可；

mn

(3)先設(shè)1ogaM=m,logaN=n,根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為:M=a,N=a,計(jì)

算也的結(jié)果，同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論；

N

M

(4)根據(jù)公式：log”(MW)=k>gaM+logJV以及l(fā)ogaF=logaMTogaN的逆運(yùn)用求解

N

即可得到答案；

【詳解】

解：(1)??,一般地，若，=N(a>0,存1),那么X叫做以。為底N的對數(shù)，記作：記

作：X=TogaN.

A3=log5125,

故答案為：3=log5125；

（2）V22=4,34=81,43=64,

/.Iog24=2,log381=4,log464=3,

故答案為：2；4；3；

（3）logaM—tn,\ogaN=n,則例=/",N—a",

.Mm

..—=——a—a,

Na"

M

由對數(shù)的定義得m-n=log?—,

N

又,：m-n=\ogaM-log°M

M

.■.10g—=log?M-log“N；

oN

M

（4）根據(jù)公式：log.（MW）=log?M+logJV以及l(fā)og“一=log“M-log“N得到：

N

log34+logjl2-logj16=logj（4x12+16）=logj3=1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查整式的混合運(yùn)算、對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明

確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系

4.（問題情境）

我們知道若一個(gè)矩形是的周長固定，當(dāng)相鄰兩邊相等，即為正方形時(shí)，它的面積最大.反

過來，若一個(gè)矩形的面積固定，它的周長是否會有最值呢？

（探究方法）

用兩個(gè)直角邊分別為明〃的4個(gè)全等的直角三角形可以拼成一個(gè)正方形。若小h,

22

可以拼成如圖所示的正方形，從而得到^a+b>2ab;當(dāng)a=b

時(shí)，中間小正方形收縮為1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方形的面積等于4個(gè)直角三角形面積的和.即

2222

a+b=4（；。匕）=2ab.于是我們可以得到結(jié)論：a,b為正數(shù)，總有a+b>2ah,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，代數(shù)式/+〃取得最小值2".另外，我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)

算得到類似上面的結(jié)論：

V（a-Z?）2>0,：.a2-2ah+h2>0,a2+h2>2ah

試卷第4頁，總14頁

...對于任意實(shí)數(shù)。"總有"+從22皿，且當(dāng)"〃時(shí),代數(shù)式/+〃取最小值2ab.

使得上面的方法，對于正數(shù)a,b,試比較a+方和2j法的大小關(guān)系.

(類比應(yīng)用)

利用上面所得到的結(jié)論完成填空

(D當(dāng)x>0時(shí)，代數(shù)式x+9有最______值為.

X

(2)當(dāng)x>l時(shí)，代數(shù)式x+-工有最______值為.

x-l

(3)如圖，已知P是反比例函數(shù))'=>0)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，<9(0,0),,

試求ZPOA的最小面積.

【答案】⑴?。?(2)?。?"+1(3)1

【分析】

探究方法：仿照給定的方法，即可得出a+b22J茄這一結(jié)論；

(1)直接利用=4求解；

xVx

(2)變形》+二=(》-1)+)-+1解答即可；

x-ix-\

(3)設(shè)寫出面積表達(dá)式，利用上面的結(jié)論做答即可.

IX)

【詳解】

解：探究：?；a+b=(?)+(揚(yáng))-2\[ab,

a+b>2y[ab成立；

(1)由a+/?22j^可以得到：x++之2/?+=4,

4

...當(dāng)x>0時(shí)，代數(shù)式x+上有最小值為4.

(2)構(gòu)造已知條件形式：x+/-=(x—l)+/-+122j(x—1)?"一+1=2#+1,

x-1x1yx1

ZS

...當(dāng)X>1時(shí)，代數(shù)式X+——有最小值為2#+L

x-l

(1)

(3)過P做PB，x軸于點(diǎn)B,過A作AC，x軸于點(diǎn)C,設(shè)PX,一,由題意得:

IX)

POA一§梯形ACBP—S&AOC-S&POB

21xJ

【點(diǎn)睛】

本題是以反比例函數(shù)為背景的閱讀理解題型，主要考查了矩形的面積公式、矩形的周長

公式、完全平方公式的展開式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)。本題屬于中檔題，難度不大，由

于本題篇幅較長，孩子們很難耐下心來細(xì)讀，其實(shí)像這樣的閱讀形題，只要讀懂題意仿

照例題給定方法，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.

5.探究：如圖1和2,四邊形ABCZ)中，已知AB=AO,NBA。=90。，點(diǎn)E,尸分

別在BC、CO上，NEAF=45°.

(1)①如圖1,若E>8、ZADC都是直角,把XABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至□AOG,

試卷第6頁，總14頁

使AB與AO重合，則能證得=+請寫出推理過程；

②如圖2,若E>B、都不是直角，則當(dāng)DB與/。滿足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有

EF=BE+DF;

(2)拓展：如圖3,在口ABC中，NBAC=9()。，AB=AC=2應(yīng)，點(diǎn)。、E均在邊BC

±,KZDAE=45°.若BD=1,求。E的長.

【答案】（1）①見解析；②NB+NO=180。，理由見解析；（2）D￡=|

【分析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,/BAE=NDAG,BE=DG,求出NEAF=ZGAF

=45°,根據(jù)SAS推出△EAF04GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求

出答案；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,NB=/ADG,NBAE=/DAG,求出C、D、G在

一條直線上，根據(jù)SAS推出aEAF公Z\GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即

可求出答案；

（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出NABC=/C=45。，BC=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得出AF=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=NCAE,求出NFAD=ZDAE=45°,

證ZkFAD之4EAD,根據(jù)全等得出DF=DE,設(shè)DE=x,則DF=x,BF=CE=3-x,根

據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可.

【詳解】

（1）①如圖1,

,/把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至□AOG,使與AO重合，

AAE=AG,NBAE=NDAG,BE=DG

'：NBAD=90°,NEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即ZEAF=ZGAF=45°,

在△EAF和DGA/中

AF-AF

<NEAF=Z.G\F

AE^AG

：.QEAF^GAF（SAS）,

：.EF=GF,

?：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

②N8+N￡>=180。，

試卷第8頁，總14頁

B

理由是：

把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DAOG,使AB和重合，

則AE=AG,NB=NADG,ZBAE=ZDAG,

ZB+ZADC=180\

ZADC+ZADG=,

：.C，D,G在一條直線上，

和①知求法類似，NEAF=ZGAF=45°,

在△EAF和DG4/中

'AF=AF

<NEAF=ZGAF

AE=AG

：.^EAF^^GAF(SAS),

：.EF=GF,

■：BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

故答案為：Z5+ZD=180°

(2)???口"(*,AB=AC=2五,NBAC=90

AZABC=ZC=45°,由勾股定理得：

BC=JAB，+4c2=J(20了+Q廚=4，

把口AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AF3,使AB和AC重合，連接DF.

則Af=AE,ZFBA=ZC=45°,NBAF=NCAE,

VZZ)AE=45°,

ZE4D=NFAB+NBAD=ZCAE+NBAD=NBAC-ZDAE=90°-45°=45°,

NFAD=NDAE=45。,

在△E4O和口及4。中

AD^AD

<ZFAD=/EAD

AF^AE

:.△￡<￡>g△E4O，

；?DF=DE，

設(shè)。E=x,則。R=光，

\*BC=\,

BF-CE=4—1—x=3—x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

NEBO=9()。,

由勾股定理得：DF-=BF1+BD2>

X2=(3-X)2+12,

解得：x=~>

3

即DE=~.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試

題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決

問題的能力要求比較高.

6.如圖1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC

的中點(diǎn)，連接DE.將ACDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為明

(1)問題發(fā)現(xiàn)

試卷第10頁，總14頁

AE1

①當(dāng)a=0。時(shí)，一=

BD—

AE

②當(dāng)a=180。時(shí)，一=

BD

(2)拓展探究

AC

試判斷：當(dāng)0?？冢?60。時(shí)，—的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長.

【答案】（1）①正；②正；（2）的大小沒有變化，證明見解析；（3）BD的長為

等或忖

【分析】

（1）①當(dāng)a=0。時(shí)，在RSABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)

AF

D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的）值是多少.

BD

ArBCAp

②a=180。時(shí)，可得AB〃DE,然后根據(jù)丁=二，求出）的值是多少即可.

AEDBBD

IT'「人「

（2）首先判斷出NECA=/DCB,再根據(jù)￡；="=括，判斷出△ECA^ADCB,

DCBC

然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案.

（3）分兩種情形：①如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時(shí)，②如圖3-2中，當(dāng)

點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可.

【詳解】

解：（1）①當(dāng)a=0?？诖纾?/p>

；RsABC中,ZB=90°,

二AC=^ABT+BC1=722+42=2y/5