中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例12013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，符合MN在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)．請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，MN有4次機(jī)會(huì)等于3，這說明以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，而符合MN在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)．思路點(diǎn)撥1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗(yàn)x的值是否在對(duì)稱軸左側(cè)．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因?yàn)閤＝3在對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4考點(diǎn)伸展第（3）題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，，，．代入點(diǎn)C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時(shí)，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時(shí)，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3例42011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)B在y軸上點(diǎn)A下方運(yùn)動(dòng)，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗(yàn)到，菱形的頂點(diǎn)C有一次機(jī)會(huì)落在拋物線上．思路點(diǎn)撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對(duì)拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個(gè)題目成敗的一個(gè)決定性步驟．3．第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)、直線的斜率，用待定字母m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當(dāng)x＝0時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因?yàn)镸O＝MA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．因此．（2）因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，3－2m)．將點(diǎn)C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）．圖2圖3考點(diǎn)伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．圖4例52011年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11江西24”，拖動(dòng)點(diǎn)M向左平移，可以體驗(yàn)到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時(shí)B、D重合在原點(diǎn)．觀察B、D的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況．思路點(diǎn)撥1．把A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)起始位置的坐標(biāo)羅列出來，用m的式子把這六個(gè)點(diǎn)平移過程中的坐標(biāo)羅列出來2．B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程．3．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等列方程．滿分解答（1）拋物線c2的表達(dá)式為．（2）拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c2：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時(shí)，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時(shí)，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．考點(diǎn)伸展第（2）題②，探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因?yàn)锳B＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當(dāng)四邊形ANEM是矩形時(shí)，B、D兩點(diǎn)重合．因?yàn)槠鹗嘉恢脮r(shí)BD＝2，所以平移的距離m＝1．例62010年山西省中考第26題在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10山西26”，拖動(dòng)點(diǎn)M可以在直線DE上運(yùn)動(dòng)．分別雙擊按鈕“DO、DM為鄰邊”、“DO、DN為鄰邊”和“DO為對(duì)角線”可以準(zhǔn)確顯示菱形．思路點(diǎn)撥1．第（1）題和第（2）題蘊(yùn)含了OB與DF垂直的結(jié)論，為第（3）題討論菱形提供了計(jì)算基礎(chǔ)．2．討論菱形要進(jìn)行兩次（兩級(jí)）分類，先按照DO為邊和對(duì)角線分類，再進(jìn)行二級(jí)分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊．滿分解答(1)如圖2，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6)．(2)因?yàn)镺E＝2EB，所以，，E(2,4)．設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得，．所以直線DE的解析式為．(3)由，知直線DE與x軸交于點(diǎn)F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如圖3，當(dāng)DO為菱形的對(duì)角線時(shí)，MN與DO互相垂直平分，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－5,)．②如圖4，當(dāng)DO、DN為菱形的鄰邊時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,8)．③如圖5，當(dāng)DO、DM為菱形的鄰邊時(shí)，NO＝5，延長(zhǎng)MN交x軸于P．由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．圖3圖4考點(diǎn)伸展如果第（3）題沒有限定點(diǎn)N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形．圖5圖6例72009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF//DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09江西24”，拖動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，四邊形PEDF可以成為平行四邊形．觀察△BCF的形狀和S隨m變化的圖象，可以體驗(yàn)到，S是m的二次函數(shù)，當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，S取得最大值．思路點(diǎn)撥1．?dāng)?shù)形結(jié)合，用函數(shù)的解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)．2．當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時(shí)，根據(jù)DE=FP列關(guān)于m的方程．3．把△BCF分割為兩個(gè)共底FP的三角形，高的和等于OB．滿分解答（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對(duì)稱軸是x＝1．（2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3．把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）．把x＝1代入，得y＝4．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．因此DE=2．因?yàn)镻F//DE，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，因此．當(dāng)四邊形PEDF是平行四邊形時(shí)，DE=FP．于是得到．解得，（