七年級數(shù)學(xué)下冊第9章多邊形9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和課件新版華東師大版

9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和新課導(dǎo)入頂點邊內(nèi)角三角形的內(nèi)角和等于180°.你能從圖中想象出幾個由一些線段圍成的圖形嗎？新課探索圖中是四邊形，它是由四條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD.DBAC圖中是五邊形，它是由五條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形ABCDE.ABCDE一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，也即我們已經(jīng)認(rèn)識的多邊形.注意這也是四邊形，但不在現(xiàn)在的研究范圍內(nèi).我們現(xiàn)在研究的多邊形都是凸多邊形.∠A、∠D、∠C、∠ABC是四邊形ABCD的四個內(nèi)角.∠CBE和∠ABF都是與∠ABC

相鄰的外角，兩者互為對頂角.ABCDEFABCDE五邊形有5個內(nèi)角，有10個外角.ABCDEF六邊形有6個內(nèi)角，有12個外角.如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形.正三角形正方形正五邊形連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.ABCDEFABCDEABCD探索為了求得n邊形的內(nèi)角和，請根據(jù)圖中所示，完成下表.多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個數(shù)12…多邊形的內(nèi)角和180°360°…540°34720°5900°n–2（n–2）·180°n

邊形的內(nèi)角和為（n–2）·180°.“歸納推理”是數(shù)學(xué)中的一種推理方式，體現(xiàn)了從特殊到一般的推理過程.在這里，我們通過對三邊形、四邊形、五邊形等的探索，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和與邊數(shù)之間存在某種邏輯關(guān)系，從而歸納出多邊形的內(nèi)角和公式.這種歸納推理的方式，我們今后還會經(jīng)常用到.當(dāng)然，“看”出來的數(shù)學(xué)結(jié)果未必一定正確，但它們還是給我們指引了研究的方向.因此，歸納推理和演繹推理相結(jié)合是必要的.讀一讀例1求八邊形的內(nèi)角和.解八邊形的內(nèi)角和為（n

–2）×180°=（8–2）×180°=1080°.例2已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2160°，求這個多邊形的邊數(shù).解設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n

–2）×180°=2160°.解得n=14.即這個多邊形的邊數(shù)為14.練習(xí)若正n

邊形的一個內(nèi)角是144°，那么n=

.10試一試你有其他方法證明多邊形的內(nèi)角和嗎？P在n

邊形內(nèi)任取一點P，連結(jié)點P與多邊形的每個頂點，可得n

個三角形.則n

變形的內(nèi)角和等于n

個三角形的內(nèi)角和減去圓角P.即180°n–360°=（n–2）·180°若是將點P

取在多邊形的邊上以及多邊形的外面，你能證明嗎？PPABC123D45678四邊形的外角和∠1+∠2+∠3+∠4就是四邊形的外角和.從圖中可以知道：（∠1+∠5）+（∠2+∠6）+（∠3+∠7）+（∠4+∠8）=4×180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°–（∠5+∠6+∠7+∠8）.而∠5+∠6+∠7+∠8=360°.

因此∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

探索根據(jù)n

邊形的每一個內(nèi)角與它的相鄰的外角都互為補角，可以求得n

邊形的外角和據(jù)此，請將數(shù)據(jù)填人表中.多邊形的邊數(shù)34567…n多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和…多邊形的內(nèi)角和180°…多邊形的外角和540°720°900°3×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°6×180°=1080°7×180°=1260°n·180°360°（n–2）·180°360°360°360°360°360°360°任意多邊形的外角和都為360°.例3一個多邊形的每個外角都是72°，這個多邊形是幾邊形？解設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得

n

·72°=360°.解得n=5.因此，這個多邊形是五邊形.

例4

一個多邊形的內(nèi)角和等于它外角和的5倍，這個多邊形是幾邊形？解設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n–2）·180°=5×360°.解得n=12.因此，這個多邊形是十二邊形.課堂小結(jié)n

邊形的內(nèi)角和為（n–2）·180°.任意多邊形的外角和都為360°.一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，也即我們已經(jīng)認(rèn)識的多邊形.隨堂演練1.下列各個度數(shù)中，不可能是多邊形的內(nèi)角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°2.若多邊形的邊數(shù)由3增加到5，則其外角和的度數(shù)（）A.增加B.減少C.不變D.不能確定AC3.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)這個多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是（n–2）·180°，外角和等于360°，所以（n–2）·180°=3×360°.