(新課標(biāo))備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想3.2分類討論思想教學(xué)案

思想3.2分類討論思想分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解（或分割）成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題（或綜合性問題）分解為小問題（或基礎(chǔ)性問題），優(yōu)化解題思路，降低問題難度.分類討論的常見類型⑴由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.⑵由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等.⑶由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同「乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等.⑷由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等.⑸由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.⑹由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用.分,類討論的原則（1）不重不漏.⑵標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明.⑶能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論.解分類問題的步驟（1）確定分類討論的對象：即對哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論.⑵對所討論的對象進(jìn)行合理的分類.⑶逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決.⑷歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納.【熱點(diǎn)分類突破J類型一：分類討論思想在集合與簡易邏輯中的運(yùn)用例L【山東省濟(jì)南市2018屆期末】已知集合月={h∣3-6=0},^^{τeN∣l<?x<2},且/23=8,則實(shí)數(shù)〃的所有值構(gòu)成的集合是（）A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{Q,2,3}【答.案】D【解析】因?yàn)镵US=E,所以，匚S5又因?yàn)榧显?{R0x-6=0},5=μ6N∣l≤lo51JC<2}={??},當(dāng)。=0時(shí),集合/為空集J符合題意,集合5不是空集時(shí),/二回皿"=可=0由：=2,g=3,可得口=2,口=3,所以實(shí)數(shù)0的所有值構(gòu)成的集合是ha??d 例2.已知命題口:指數(shù)函數(shù)“T）=Ig（加―4五+幻的定義域?yàn)槲澹幻}不等式2x2+X>2+λy,對Wl∈{-8,T）上恒成立.（1）若命題戶為真命題，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；（2）若命題"pv/'為真命題，命題“p?g”為假命題,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.試題分析：（1）命題?為真命題等價(jià)于以工-4r+□>0在H上恒成立，分4:0與白工。由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可；（2）.命題“夕vq”為真命題，命題“夕人初為假命題等價(jià)于命題夕與命題g一真一假，先分別求出命題?為真命題、命題q為真命題時(shí)〃的范圍，再求了真q假”與“尸假q真”時(shí)〃的范圍，再求〃的并集即可.試題解析：（1）由題意：當(dāng)α=0時(shí)，二Ig（-4月）的定義域不為H,不合題意.當(dāng)“≠0\，U"。故:√U； 2 ,一 2 …(2)右9為真，貝IJ工 F1,對DX￡(-∞,-l)上怛成乂，y=2x FI為培函數(shù)且X XX∈S-1),故〃之1.“pv/'為真命題，命題“PAq”為假命題,等價(jià)于p,》一真一假,故1<^≤2?規(guī)律總結(jié)：已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Verm圖幫助分析，而且經(jīng)常要對參數(shù)進(jìn)行討論.舉一反三L設(shè)集合Zf={工I(H-2加+1)(工一用+2)<0},B=(.r11≤?+1≤4).(1)若用二I,求；(2)若月∏8=4求實(shí)數(shù)制的取值集合.試題解析：集合E={W0≤mM3}.(1)若根=1,則∕={h∣-1<κ<1},則/Pl月={x∣0MxmI}.(2)rA∩β=A,.?A^B,當(dāng)月二0,即陽二―I時(shí)，成立；當(dāng)4工0,即加丁―1時(shí)，⑴當(dāng)屋—時(shí)∕=q*i,*2),要使得AnBrA?β,只要Fe解得[m-2≤3^-<m<5,所以根的值不存在；2[?ι-2>0(ii)當(dāng)用>-1時(shí)，要使得A=B,只要一'解得曲二2.綜上，[2m-?<3,根的取值集合是{-1,2}.2.已知命題p:函數(shù)〃力=Ig(M-命+同「的定義域?yàn)镠,命題中關(guān)于X的方程J3g?L：IU的兩個(gè)實(shí)根均大于3,若“P或q”為真，“P且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.試題解析：若戶算J則7cr≥Q -、 、 j∣"0,若通令/㈤—+2mJ則應(yīng)滿足∣i=(-3α/-4(2tf1÷l)>Q，3)=9-9口+沙+3>0&>［或o≤-2口 ,u>:,又由題意可得3真q假或P假守真>若P真g假，則，口>5口.…“無我若P假婚,則a<3口金???沁d綜上可得L值葩噩類型二：分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的運(yùn)用例3.【安徽省池州市2018屆期末】已知函數(shù)f(x)=alnx+?(^≠。)在(。［］內(nèi)有極值?(I)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；(II)若』∈O?k2)JT2c(2,+∞),且口，工,2時(shí)，求證：2；3/&)-/(工J>∣n2+:.4 . .. .(Ω試題分析：⑴根據(jù)題意得到f("=0,如/-(2n+l卜+口=0在0,-內(nèi)有實(shí)根，轉(zhuǎn)化1為僅一丁'有實(shí)根，令父⑺-廠?，戈⑴=-p?>o,則函數(shù)與⑴在fo,l［上單(K一1)- (λ--1)" (［T) ' 12調(diào)遞增,進(jìn)而求得參數(shù)范圍；(2)根據(jù)題意得到，函數(shù)值之差大于等于兩個(gè)極值之差，〃◎)-/(』)"(?)一/㈤=施，十a(chǎn)-βaβ-{a-β]+?..根據(jù)二元化一元得到原式I 1R】n夕十力-：，證明這個(gè)式子大于ln2+士即可.

β 4β解析；(I)由丁(X)=由nx+一二得；/(^)=~~~工一1 x(r-l)則G，一(2口41)χ4b=O在(0；)內(nèi)有實(shí)根J由GX1-{2fl÷l)x+fl=Ofl:令營⑴=力'0㈤=一魯…TI4；,則f㈤:一探血?jiǎng)t函數(shù)坦⑶在;耳；上單調(diào)遞a又?⑼=Gw；=2, .0<a<2.(II)由(I)得：/⑺="J(2"+ψc+”,設(shè)――(2α+l)x+α=0(0<門父2)的兩根.T(Jr-l)^為打，戶，mr∣. ,?+β~2+-，曰. 1 .貝U.{ 4,得?0<^r<-<2<∕Λs∕=1 2當(dāng)HE(0用)和(優(yōu)轉(zhuǎn))時(shí)，尸⑴=#一回+ι?+□>o函數(shù)〃疔單調(diào)遞增；MH―])”「當(dāng).∈f]和(3⑸時(shí)，小""~2口+11+。<()函數(shù)/G)單調(diào)遞減;I2) MXT)則〃HJWJS),/(χ2)≥∕(z?).則)-『(0LHn尸+J7-Hti值—一

p—? Ct=f7∣n-+

aaβ-(a+β)+?八八一1邛2+0P_(利用：二?,口?￡?'1-I).

a」=a令八一八In「：L.ι[I,則L,I；I1'.■,：!1 I 1則函數(shù)和1：)單調(diào)遞增，/；!.,}.■■/;：2；1In二.，，，，卜不；T「.?2ln二?.、.?n「1八

又a∈-,2則口?^β1+β--An2+',所以:Lβ?4X門'..I".JTk?.

4規(guī)律總結(jié)：函數(shù)是具體的，其單調(diào)性和最值都很明確，定義域是變化的，這類問題分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是看最值點(diǎn)是否在定義域內(nèi).【舉一反三】已知函數(shù)/(#)=41∣LM十#-無，其中q∈t?(I)當(dāng)心O時(shí),討論/3的單調(diào)性；(II)當(dāng)#之I時(shí)，/3"恒成立，求口的取值范圍.［解析】Ci〉函數(shù)『⑶F----工的定義域?yàn)棰僖籅/3二2一］戶；T設(shè)I∣'jc)=2x:-X-aji≡l-Sa⑴當(dāng)口4時(shí)JAWO,g⑶之O成三故川成立，/㈤在(Oj+句上為增函數(shù)；⑶當(dāng)時(shí)T雙令前3。,得V三?！习氚惋@然三>?！?，當(dāng)舊cι-JU 4 4時(shí)FMX)AH)為增幽SL當(dāng)髀值J1)時(shí),g(χ)<。，工)<上，住)為減?愿當(dāng)IF(T-7)時(shí)JM(H)>久尸(工)>0,-0)為增ISSt綜上K當(dāng)值W時(shí)J/R在(M-對上為增函U數(shù),當(dāng)。3；時(shí),/㈤在(0,上手斗I上岸，+Ql上為常函數(shù),在(匕手,匕用TlI上為解l???(H)顯然∕{l)=0,由%≥1可知：當(dāng)0之0時(shí)，√j］∏χ>0,X2-x≥(),故/(%)≥0成立；當(dāng)代0時(shí)，?=1—網(wǎng)>0.令雙幻=Q,得餐」-手工=i+ 顯然，a0,%>口,當(dāng)hw(O,xj)時(shí),g㈤<0?r(jγ)<OI〃工)為減函數(shù),當(dāng)工W(Xs,+8)時(shí),g(x)>O,f'(x)>O,/(Q為減函數(shù)；若TGZO,則/￡1,當(dāng)％≥1時(shí)，/(Q為增函數(shù)，故/⑴4⑴=0成立；若…1,則/>1，由/(%)在(Of)上為減函數(shù)可知,當(dāng)上《1,0)時(shí),/(%)為減函數(shù),,■.mD 。的取值范圍是+".類型三：分類討論思想在解析幾何中的運(yùn)用例4.【福建省龍巖市2018年高三畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢查】已知橢圓C：/V3 1f+S=1(">??>0)的左、右焦點(diǎn)分別為爪-孰0)和￡(孰0),離心率是一，直線/過點(diǎn)4? 二P(OLC)交橢圓于/1,5兩點(diǎn)，當(dāng)直線/過點(diǎn)E時(shí)， 8的周長為8?(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方「程;(II)當(dāng)直線/繞點(diǎn)尸運(yùn)動時(shí)，試求丸-3的取值范圍.附試題分析：(I)由題意結(jié)合橢圓的定義可知”A6的周長為M聞+毋;∣+∣∕B∣=4fl=8, 2 2口=2,結(jié)合離心率可知C=1,b=√7≡7=√3,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+2L=I.4 3(II)設(shè)4B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為3?%),(3),當(dāng)直線月R與丁軸重合時(shí)，Λ=2+√^,當(dāng)直線AB與y軸重合時(shí)，Λ≡2-√3,當(dāng)直線AB斜率為。時(shí)，A-I當(dāng)直線AB斜率存在且不為。時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得(3+4F)V-8H-8二O,則義=母=—%，JC=YN結(jié)合韋達(dá)定理整理計(jì)算可得不等式，>_L,解得附巧 (I-A)222-√3<Λ<2÷√3,fl1Λc^2-√3j2+√3].試題解析:(I)的周長為g引+B司+1月Sl=I月用+以用+忸勾+值段=?=S,.i.a=2f又E=E=!,，c=1,b-?/ɑ*-C*=J5,，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十J=1,δ 2_ 4 3(II)設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為G,y),G,y),當(dāng)直線AB與y軸重合時(shí)，A點(diǎn)與上1 1 2 2頂點(diǎn)重合時(shí)，Λ=j^=2÷√3,當(dāng)直線AB與y軸重合時(shí)，A點(diǎn)與下頂點(diǎn)重合時(shí)，Λ-lM-2-√i一，當(dāng)直線AB斜率為。時(shí)，2-P4-1,當(dāng)直線AB斜率存在且不為。時(shí)，不妨設(shè)直線AB方閥程為?=H-1,聯(lián)立3/+4V=I2,得(3+4左2)黎—8丘—8=0,則有工上=_①3÷4?"λr=__12 3+4K.PAγ. . .. __ Sit_設(shè)入= =,貝IJX二一λχ,代入①②得戈一ZY二 T③PBX21 1 13+4F2-MJ——④1 3+4?2.?. =W+4k'=3+4#―即］,即即即bπ入,1解得「I】■五『—(_弘_丫-， /J，' (l-λ)22，可1+4-2—W<λ<2+W,綜上，λ∈Γ2—√3,2+√3一規(guī)律總結(jié)：求解有關(guān)幾何問題中，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論.一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化.【舉一反三】已知橢圓「：：J-I」.；：Jl過點(diǎn).I),且離心率為二.ah 2⑴求橢圓廠的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于P 兩點(diǎn)，且在直線「u上存在點(diǎn)射，使得H。為等邊三角形，求直線的方程.［解析］⑴依題意得:-=￡=坐，又療—、解得產(chǎn)a所以橢ISe的方Bg a2程為N=L⑵顯然，直線，的斜率注存在,1??j?）j?e（-Jp,-K）,①當(dāng)文=O時(shí)JW的垂直平分線為，軸7'軸與直線熱的交點(diǎn)為2√δ）j因?yàn)镮Pol= M5=2√5j所以A件O-m,則△1因?yàn)榈冗吶啃?此時(shí)直線4的方程為y=0.?,=?②當(dāng)n0時(shí)，可設(shè)直綜'的方程為y=取，聯(lián)立匚）-，消去逢理得｛l+?＞二3解得M卜普F普］，所以園H?j;