中考數(shù)學二次函數(shù)最后一道大題練習卷

1、如圖1，已知拋物線的頂點為，且經(jīng)過原點，與軸的另一個交點為．（1）求拋物線的解析式；（2）若點在拋物線的對稱軸上，點在拋物線上，且以四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標；（3）連接，如圖2，在軸下方的拋物線上是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．2、如圖9（1），在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．（1）求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；（2）經(jīng)過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；（3）如圖9（2）P（2，3）是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．

3、隨著我市近幾年城市園林綠化建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤y1與投資成本x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y2與投資成本x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資成本的單位：萬元）圖①

圖②（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木，請求出他所獲得的總利潤Z與投入種植花卉的投資量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并回答他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？4、如圖，為正方形的對稱中心，，，直線交于，于，點從原點出發(fā)沿軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運動，同時，點從出發(fā)沿方向以個單位每秒速度運動，運動時間為．求：（1）的坐標為

；（2）當為何值時，與相似？（3）求的面積與的函數(shù)關(guān)系式；并求以為頂點的四邊形是梯形時的值及的最大值．5、如圖①，正方形ABCD的頂點A,B的坐標分別為，頂點C,D在第一象限．點P從點A出發(fā)，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點Q從點E(4,0)出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運動．當點P到達點C時，P,Q兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．（1）求正方形ABCD的邊長．（2）當點P在AB邊上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P,Q兩點的運動速度．（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積取最大值時點的坐標．（3）若將拋物線改為拋物線，A1、A2、A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA2的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）。11、如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至處時，設(shè)與分別交于點，與軸分別交于點．（1）求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由．12、OM是一堵高為2.5米的圍墻的截面，小鵬從圍墻外的A點向圍墻內(nèi)拋沙包，但沙包拋出后正好打在了橫靠在圍墻上的竹竿CD的B點處，經(jīng)過的路線是二次函數(shù)圖像的一部分，如果沙包不被竹竿擋住，將通過圍墻內(nèi)的E點，現(xiàn)以O(shè)為原點，單位長度為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，E點的坐標(3，)，點B和點E關(guān)于此二次函數(shù)的對稱軸對稱，若tan∠OCM=1(圍墻厚度忽略不計)。

(1)求CD所在直線的函數(shù)表達式；(2)求B點的坐標；(3)如果沙包拋出后不被竹竿擋住，會落在圍墻內(nèi)距圍墻多遠的地方?13、已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，拋物線經(jīng)過O、A兩點。

（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）設(shè)拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長及拋物線的解析式；（3）設(shè)點B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。14、如圖，拋物線交軸于A．B兩點，交軸于M點.拋物線向右平移2個單位后得到拋物線，交軸于C．D兩點.（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）拋物線或在軸上方的部分是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P是拋物線上的一個動點（P不與點A．B重合），那么點P關(guān)于原點的對稱點Q是否在拋物線上，請說明理由.15、已知四邊形是矩形，，直線分別與交與兩點，為對角線上一動點（不與重合）．（1）當點分別為的中點時，（如圖1）問點在上運動時，點、、能否構(gòu)成直角三角形？若能，共有幾個，并在圖1中畫出所有滿足條件的三角形．（2）若，，為的中點，當直線移動時，始終保持，（如圖2）求的面積與的長之間的函數(shù)關(guān)系式．

答案解析1、解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為．拋物線過原點，．．拋物線的解析式為，即．（2）如圖1，當四邊形是平行四邊形時，．由，得，，，．點的橫坐標為．將代入，得，；根據(jù)拋物線的對稱性可知，在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，此時點的坐標為，當四邊形是平行四邊形時，點即為點，此時點的坐標為．?????（3）如圖2，由拋物線的對稱性可知：，．若與相似，必須有．設(shè)交拋物線的對稱軸于點，顯然，直線的解析式為．由，得，．．過作軸，在中，，，．．．與不相似，同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的點．所以在該拋物線上不存在點，使得與相似．2、解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（-1，0）、B（0，3）兩點，∴

解得：

拋物線的解析式為：

∵由，解得：∴

∵由∴D（1,4）

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，∴BF=AE．設(shè)直線BD的解析式為：，則

∵B（0，3），D（1,4）∴

解得：

∴直線BD的解析式為：

當y=0時，x=-3

∴E（-3，0），∴OE=3，∵A（-1，0）∴OA=1，

∴AE=2

∴BF=2，∴F的橫坐標為2，

∴y=3，

∴F（2，3）；（3）如圖，設(shè)Q，作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，且P（2，3），∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3

∴S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA==∴S△PQA=

∴當時，S△PQA的最大面積為，此時Q

3、（1）設(shè)y1=kx，由圖①所示，函數(shù)y1=kx的圖象過（1，2），所以2=k?1，k=2，故利潤y1關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y1=2x，∵該拋物線的頂點是原點，∴設(shè)y2=ax2，由圖②所示，函數(shù)y2=ax2的圖象過（2，2），∴2=a?22，，故利潤y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y2=x2；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8－x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得z=2（8－x）+x2=x2－2x+16=（x－2）2+14，當x=2時，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴當x=8時，z的最大值是32．4、（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分（2）當∠MDR＝45０時，ｔ＝2,點Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分當∠DRM＝45０時，ｔ＝3,點Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

２分（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）當ＣＲ∥ＡＢ時，ｔ＝，（1分）

Ｓ＝

（1分）當ＡＲ∥ＢＣ時，ｔ＝，

Ｓ＝

（1分）當ＢＲ∥ＡＣ時，ｔ＝，

Ｓ＝

（1分）5、解：（1）作BF⊥y軸于F。因為A（0，10），B（8，4）所以FB=8，F(xiàn)A=6所以（2）由圖2可知，點P從點A運動到點B用了10秒。又因為AB=10，10÷10=1所以P、Q兩點運動的速度均為每秒1個單位。（3）方法一：作PG⊥y軸于G則PG//BF所以，即所以所以因為OQ=4+t所以即因為且當時，S有最大值。方法二：當t=5時，OG=7，OQ=9設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為因為拋物線過點（10，28），（5，）所以所以所以因為且當時，S有最大值。此時所以點P的坐標為（）。（4）當點P沿AB邊運動時，∠OPQ由銳角→直角→鈍角；當點P沿BC邊運動時，∠OPQ由鈍角→直角→銳角（證明略），故符合條件的點P有2個。6、解：（1）作于點，

如圖所示，則四邊形為矩形．又在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時在上）．即解得即秒時，與相互平分．（3）①當在上，即時，作于，則即=當秒時，有最大值為②當在上，即時，=易知隨的增大而減?。十斆霑r，有最大值為綜上，當時，有最大值為7、

（1）.（2）由題意得點與點′關(guān)于軸對稱，，將′的坐標代入得，（不合題意，舍去），.，點到軸的距離為3.，，直線的解析式為，它與軸的交點為點到軸的距離為..（3）當點在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，把向上平移個單位得到，坐標為，代入拋物線的解析式，得：（不舍題意，舍去），，.當點在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，．與關(guān)于原點對稱，，將點坐標代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去），，．存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．8、解：(1)∵點A與點B關(guān)于直線x＝－1對稱，點B的坐標是(2，0)∴點A的坐標是(－4，0)

由tan∠BAC＝2可得OC＝8∴C(0，8)

∵點A關(guān)于y軸的對稱點為D∴點D的坐標是(4，0)

(2)設(shè)過三點的拋物線解析式為y＝a(x－2)(x－4)代入點C(0，8)，解得a＝1

∴拋物線的解析式是y＝x2－6x＋8

(3)∵拋物線y＝x2－6x＋8與過點(0，3)平行于x軸的直線相交于M點和N點∴M(1，3)，N(5，3)，＝4

而拋物線的頂點為(3，－1)當y＞3時S＝4(y－3)＝4y－12當－1≤y＜3時S＝4(3－y)＝－4y＋12

(4)以MN為一邊，P(x，y)為頂點，且當＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大∴當x＝3，y＝－1時，h＝4S＝?h＝4×4＝16∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16

9、解：(1)所以n=5時，面積最大值是

(2)當時，有AC=CD=DB

過C分別作x軸，y軸的垂線可得c坐標為()

代入得

(3)當時，得設(shè)解析式為得，

所以對稱軸

因為P(x，y)在上所以四邊形PROQ的面積

10、解：（1）∵A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，∴A1B1=，A2B2＝，A3B3＝設(shè)直線A1A3的解析式為y＝kx＋b?！?/p>

解得∴直線A1A2的解析式為。∴CB2＝2×2－＝∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。

(2)設(shè)A1、A2、A3三點的橫坐標依次n－1、n、n＋1。

則A1B1=，A2B2=n2－n＋1，

A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。設(shè)直線A1A3的解析式為y＝kx＋b∴解得∴直線A1A3的解析式為∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋∴CA2=CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。

(3)當a＞0時，CA2＝a；當a＜0時，CA2＝－a11、解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，知兩點的坐標分別為．設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．有解得所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．（2）①點到軸距離與線段的長總相等．因為點的坐標為，所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．又因為點在直線上，所以可設(shè)點的坐標為．過點作軸的垂線，設(shè)垂足為點，則有．因為點在直線上，所以有．因為紙板為平行移動，故有，即．又，所以．法一：故，從而有．得，．所以．又有．所以，得，而，從而總有．法二：故，可得．故．所以．故點坐標為．設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則有解得所以，直線所對的函數(shù)關(guān)系式為．將點的坐標代入，可得．解得．而，從而總有．②由①知，點的坐標為，點的坐標為．．當時，有最大值，最大值為．取最大值時點的坐標為．12、解：(1)∵OM=2.5，tan∠OCM=1，

∴∠OCM=，OC=OM=2.5。

∴C(2.5，0)，M(0，2.5)。

設(shè)CD的解析式為y=kx+2.5(k≠o)，

2.5k+2.5=0，

k=一1。

∴y=―x+2.5。

(2)∵B、E關(guān)于對稱軸對稱，∴B(x，)。

又∵B在y=一x+2.5上，∴x=一l。

∴B(―1，)。

(3)拋物線y=經(jīng)過B(一1，)，E(3，)，∴

∴y=，

令y=o，則=0，解得或。

所以沙包距圍墻的距離為6米。13、（1）解法一：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A

∴點A的坐標為（4，0）

∵拋物線經(jīng)過O、A兩點

解法二：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A

∴點A的坐標為（4，0）

∵拋物線經(jīng)過O、A兩點

∴拋物線的對稱軸為直線

（2）解：由拋物線的對稱性可知，DO＝DA

∴點O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO

又由（1）知拋物線的解析式為

∴點D的坐標為（）

①當時，

如圖1，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙D關(guān)于x軸對稱，設(shè)它的圓心為D'

∴點D'與點D也關(guān)于x軸對稱