考研概率全程筆記-

Y123B3.3.1獨(dú)立性的概念3.3.2獨(dú)立性的充要條件,及,則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件為例8.袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從袋中(1)有放回地；(2)無(wú)放回地取二次球，每次取一個(gè)，令試問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立?YX01P.P容易驗(yàn)證，對(duì)一切i,j=1.2有011YX01P.P可見(jiàn)，=R·P?01P1PabC12abCB12.連續(xù)性隨機(jī)變量的情況又由X與Y相互獨(dú)立，所以(X,Y)的概率密度為于是P{x+y<1)-P((x,y)eD)其中已求得其邊緣概率密度為“充分性”,當(dāng)p=0“必要性”,如果X,Y時(shí)，對(duì)一切x,y互獨(dú)立。獨(dú)立，于是應(yīng)有f(μ,μ?解得p=0設(shè)Y在區(qū)間(y△y,y)內(nèi)的概率不為零，即P{y△y<Y≤y}>0,此時(shí)條件概率P{X≤x|y△y<Y≤y}便定義1:設(shè)對(duì)固定的實(shí)數(shù)y及任意△y>0有P{y△y<Y≤y},如果1#Pi,j=1,2,…如果對(duì)固定的j,P{Y=yj}>0,則稱(chēng)下列一組條件概率YX1234100203000試求在條件X=2下，Y的條件分布律。進(jìn)而有YX12341002030001Y12341201613定義3:設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),f.(x)與fr(y)分別為關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。如果對(duì)固定的y.fr(y)>0,則稱(chēng)為在Y=y條件下，X的條件概率密度。如果對(duì)固定的x,f,(x)>0則稱(chēng)為在X=x條件下，Y的條件概率密度。通常，若A為數(shù)軸上子集，則有求條件概率密度f(wàn)ra(v/x)解：圖繪出使f(x,y)>0的區(qū)域首先，求出邊緣概率密度，當(dāng)1<x<1時(shí)總之，關(guān)于Y的邊緣概率密度為五二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布X9Y67P,P79改寫(xiě)為：PP相加，便得Z=X+Y的分布律為P§3.5.2連續(xù)型隨機(jī)變量的情況利用“分布函數(shù)法”求z=g(X,Y)的概率密度，即首先求z的分布函數(shù)兩邊求導(dǎo)便可得到Z的概率密度。由于X與Y獨(dú)立，于是(X,Y)的概率密度為當(dāng)z≤0時(shí)，顯然F2(z)=0對(duì)Z求導(dǎo)，使得Z的概率密度例4:(和的分布)設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,,y),求Z=X+Y的概率密度。解：首先求Z的分布函數(shù) 兩邊對(duì)z求導(dǎo)，便得Z的概率密度特別，當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，有Z=X+Y的概率密度：例1:全班40名同學(xué)，其年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)例1:全班40名同學(xué)，其年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一數(shù)學(xué)期望∑5589P89P89P若令x表示從該班同學(xué)中任選一同學(xué)的年齡，則x的分布律為于是，x取值的平均值，即該班同學(xué)年齡的平均值為5P5∑x?P?意義：E(X)表示X取值的(加權(quán))平均值例2:甲、乙射手進(jìn)行射擊比賽，設(shè)甲中的環(huán)數(shù)位X1,乙中的環(huán)數(shù)為X2,已知X1和X2的分布律分問(wèn)誰(shuí)的平均中環(huán)數(shù)高?解：甲的平均中環(huán)數(shù)為E(X1)=8×0.3+9×乙的平均中環(huán)數(shù)為E(X2)=8×0.2+9×即甲的平均中環(huán)數(shù)高于即甲的平均中環(huán)數(shù)高于乙的平均中環(huán)數(shù)。例4:一無(wú)線(xiàn)電臺(tái)發(fā)出呼喚信號(hào)被另一電臺(tái)收到的概率為0.2,發(fā)方每隔5秒拍發(fā)一次呼喚信號(hào)，直到收到對(duì)方的回答信號(hào)為止，發(fā)出信號(hào)到收到回答信號(hào)之間需經(jīng)16秒鐘，求雙方取得聯(lián)系時(shí)，發(fā)方發(fā)出呼喚信號(hào)的平均數(shù)?X456X4567PX于是，雙方取得聯(lián)系時(shí)，發(fā)方發(fā)出的呼喚信號(hào)的平均數(shù)為由將x=0.8代如上式，便得(次)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)例7:設(shè)風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量，且v~u[0,a],又設(shè)飛機(jī)的機(jī)翼上所受的壓力W是風(fēng)速V的函數(shù)：W=h2這里a,k均為已知正數(shù)。試求飛機(jī)機(jī)翼上所受的平均壓力E(W)。)- (2)如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(X),且積分絕對(duì)收斂，則有例8:已知X的分布律為X102P解：由于X的概率密度為并已知每售出一噸此種商品，可以為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)美元，但若售不出去，而屯售于倉(cāng)庫(kù)，每年需花費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)每噸為一萬(wàn)美元，問(wèn)應(yīng)組織多少貨源可使國(guó)家的平均收益達(dá)到最大?解：設(shè)a為某年準(zhǔn)備組織出口此種商品的數(shù)量(單位：噸)Y為國(guó)家收益，于是Y是X的函數(shù)為但,故E(Y)在a=3500時(shí)，E(Y)最大，即組織貨源為3500噸時(shí)，可是國(guó)家的收益達(dá)到最大。(1)如果(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為P{x=xY=y,}=pg3,j=12.…試求E(X)性質(zhì)1.若c為常數(shù)，則性質(zhì)3.設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X±Y)=E(X)±E(性質(zhì)4.如果x,Y相互獨(dú)立，則有E(XY)=E(X)E(Y) 推廣：如果n個(gè)隨機(jī)變量X1.X2.…Xn相互獨(dú)立，則有則由性質(zhì)3便可i定義1設(shè)X為隨機(jī)變量，如果E[X-E(x)存在，則稱(chēng)之為X的方差，記為 D(x),即D(X)-[X-B(x)]2E[X-B(x)]-x-B(x)]f(x)x(注意：相加時(shí)期望沒(méi)要求相互獨(dú)立)-[X-E(x)]2+E[Y-E(r)]2+2E[X-E(x)XY -E(xY)-E(x)E(r)=0.(X,Y獨(dú)立)例5.設(shè)X~B(n,p),求E(X),D(X)i=1,2,…,n且彼此獨(dú)立干是定理1:設(shè)定理1:設(shè)X為隨機(jī)變量，且E(X),D(X)存在，則對(duì)任意實(shí)數(shù)例，且各盞燈開(kāi)關(guān)彼此獨(dú)立，試估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)目在6800盞至7200盞之間的概率。01qp2.二項(xiàng)分布X～B(n,p)三協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)y-聲=)例2:甲乙兩人猜測(cè)箱中產(chǎn)品的數(shù)目，猜測(cè)結(jié)果分別記為X和Y(單位：百個(gè))已知(X,Y)的分布123P?P1231如，=1×0.38+2×0.45+3×0.17=1.79+2×3×0.06+3×1×0.03+3×2×0.05+3×3cov(x;Y)=cov(100X,100Y)=cov性質(zhì)2|pxr|≤1,即-1≤Px≤1X10P多而所以a最后得a最后得討論如下：)即,亦即 性質(zhì)1.V為對(duì)稱(chēng)陣，即Vij=Vji,一切i,j2.V主對(duì)角線(xiàn)之元素為X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,nD(5)-D(X-2Y)-D(X)+D(2Y)-2covD(n)-D(2X-Y)-D(2X)+D(r)-2cov于是定義1.如果n維隨機(jī)變量(Xi,即X與Z不相關(guān)，從而X與Z相互獨(dú)立。第五章大數(shù)定律及中心極限定理一大數(shù)定律則稱(chēng){Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量X,記為1.切比雪夫大數(shù)定律2.貝努里大數(shù)定律即二中心極限定理所謂中心極限定理是指一系列定理，研究的是隨機(jī)變量序列{Xn}的前n項(xiàng)和∑X?-∑B(x)∑X?-∑B(x)獨(dú)立、同分布，近似公式：當(dāng)近似公式：當(dāng)n充分大時(shí)，有P.a<例1:設(shè)有串聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)(見(jiàn)圖)每個(gè)電阻的阻值為隨機(jī)變量，它們獨(dú)立，同分布都服從均勻分布U[90,110](單位：歐姆)§5.2.2.隸莫佛拉普拉斯中心極限定理p(0<p<1),所以另一方面，顯然有例2:人壽保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門(mén)之一，保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)需要計(jì)算各種各樣事件的概率，以下便是一例：在一年內(nèi)某種保險(xiǎn)者里，0.005,現(xiàn)在有10000人參加此種人壽保險(xiǎn)，試求在