2023年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納(全國(guó)通用版)：專題15 圖形變換中的重要模型之翻折（折疊）模型（解析版）

專題15圖形變換中的重要模型之翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱)問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。涉及翻折問(wèn)題，以矩形對(duì)稱最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個(gè)圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R(shí)儲(chǔ)備】翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。對(duì)于翻折和折疊問(wèn)題主要分兩大類題型：直接計(jì)算型和分類討論型，由淺入深難度逐步加大，掌握好分類討論型的翻折問(wèn)題，那么拿下中考數(shù)學(xué)翻折題型就沒(méi)問(wèn)題了。翻折折疊題型(1)：直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來(lái)解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，以及常見(jiàn)的解題套路。翻折折疊題型(2)：分類討論型，運(yùn)用翻的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來(lái)解題。般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，需要準(zhǔn)確的畫(huà)圖，才能準(zhǔn)確分析。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)(三角形，四邊形等)；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的折疊模型）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·浙江·寧波一模）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)、分別在矩形的邊、上，將矩形紙片沿、折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，點(diǎn)、、恰好在同一直線上，若，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，由“”可證，可得，，通過(guò)證明四邊形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，∵將矩形紙片沿、折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式1（2021·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______；第二步，分別在上取點(diǎn)M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】

1

【分析】第一步：設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設(shè)BF=x，則FC=8-x，由關(guān)系式可求得x的值；第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，設(shè)B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結(jié)果．【詳解】如圖所示，連接AF，設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，則FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的長(zhǎng)為1．連接NE，NF，如圖，根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，設(shè)B’N=m，則，解得：m=3，則NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用．2）線段比值型例1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為，且．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在CD的中點(diǎn)重合，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】在矩形ABCD中，設(shè)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，得到，利用翻折及中點(diǎn)性質(zhì)，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根據(jù)判定的得到，從而代值求解即可．【詳解】解：如圖所示：在矩形ABCD中，設(shè)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形，，若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在CD的中點(diǎn)重合，，在中，，則，，,,,,，，，則，，即，在和中，，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于矩形背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到矩形的性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，求出相應(yīng)線段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北襄陽(yáng)·二模）如圖，如圖，將矩形ABCD對(duì)折，折痕為PQ，然后將其展開(kāi)，E為BC邊上一點(diǎn)，再將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AQ的中點(diǎn)F處，則=____【答案】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱、矩形、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得、；再根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵如圖，將矩形ABCD對(duì)折，折痕為PQ∴，∵點(diǎn)F是線段AQ的中點(diǎn)∴設(shè)∴∵將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AQ的中點(diǎn)F處，∴，∴設(shè)，如圖，過(guò)點(diǎn)F作，交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作，交AD于點(diǎn)K，延長(zhǎng)KF，交BC于點(diǎn)H∴四邊形、為矩形∴，∵∴∵∴∴在直角中，∴∴在直角中，∴∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．3）分類討論型例1．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作的平行線交于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)H．若點(diǎn)G是邊的三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)是____________．【答案】或【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是平行四邊形，證明，等面積法求得，勾股定理求得，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】①如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形折疊即，四邊形是矩形中，，中，②如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得，，，中，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在矩形中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，把沿著翻折得到．作射線與邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，_______．【答案】或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在矩形的內(nèi)部或外部時(shí)，利用矩形的性質(zhì)及已知條件先分別表示出AQ、EQ、AB等，再利用勾股定理等知識(shí)求解即可．【詳解】當(dāng)點(diǎn)E在矩形的內(nèi)部時(shí)，如圖四邊形是矩形把沿著翻折得到，，，在中，即解得當(dāng)點(diǎn)E在矩形的外部時(shí)，如圖解得綜上，當(dāng)時(shí)，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、幾何動(dòng)點(diǎn)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，能夠根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵．4）路徑（軌跡）型例1．（2022·重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則三角形AGC的面積的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先確定出當(dāng)EG⊥AC時(shí)，四邊形AGCD的面積最小，三角形AGC的面積最小，即再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離，最后用面積之差即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根據(jù)勾股定理得：AC=5，∵AB=3，AE=2，∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方，∵，的大小是定值，∴要使最小，則四邊形AGCD的面積最小，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，∵∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，∵點(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，BE=1為半徑的圓上，在矩形ABCD內(nèi)部的一部分的點(diǎn)，∴EG⊥AC時(shí)，h最小，即點(diǎn)E，點(diǎn)G，點(diǎn)H共線，由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，延長(zhǎng)EG交AC于H，則EH⊥AC，在Rt△ABC中，，在Rt△AEH中，AE=2，，∴，∴，∴的最小值為：，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，翻折變換(折疊問(wèn)題)、解直角三角形、三角形的面積，確定△ACG面積的最小值時(shí)點(diǎn)G的位置是本題關(guān)鍵．變式1．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=________，△CEF面積的最小值是________．【答案】

2

15【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，因?yàn)镚N為△ABE的中位線，故G的運(yùn)動(dòng)路徑為線段MN；過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，∵E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)，G是BE的中點(diǎn)∴當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，BE與AB重合，G與AB的中點(diǎn)N重合，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BE與BD重合，G與BD的中點(diǎn)M重合，∴E在從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN為△ABE的中位線，∴．故G的運(yùn)動(dòng)路徑=2，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點(diǎn)，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF

∴當(dāng)時(shí)，△CEF面積的最小值故答案為：2，15．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立△CEF面積與AE長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．5）綜合證明型例1．（2022·廣東·一模）如圖，在矩形中，，，是上一點(diǎn)，沿折疊矩形，的對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接，與、分別交于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)下列結(jié)論：是等腰三角形；：：；平分；其中結(jié)論正確有（

）A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由折疊得，進(jìn)而由互余的性質(zhì)得，便可判斷本結(jié)論正誤；過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求得和，進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果，從而判斷本結(jié)論的正誤；過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由相似三角形的性質(zhì)求得與，進(jìn)而確定與的大小關(guān)系，便可判斷本結(jié)論正誤；過(guò)作于點(diǎn)，則，由∽求得，進(jìn)而求得的面積，便可判斷本結(jié)論正誤．【詳解】解：由折疊知，，，，，，，，是等腰三角形，故正確；過(guò)作于，與交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，由折疊知，，，，，，∽，，設(shè)，則，，，，解得舍去負(fù)根，，，：：，故正確；過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由折疊知，，，，，，∽，，設(shè)，則，，解得，，，∽，，，，，，，，，，不平分，故錯(cuò)誤；過(guò)作于點(diǎn)，則，∽，，，，，故正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，構(gòu)造輔助線和證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸和軸上，已知對(duì)角線．．是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，若將沿翻折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】作交OB于點(diǎn)G，利用．．求出，，表示出，，進(jìn)一步求出，，，證明，利用相似的性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求出k的值．【詳解】解：作交OB于點(diǎn)G，∵矩形的對(duì)角線．．∴，，即，∵E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且在反比例函數(shù)上，∴，，∵將沿翻折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，又∵，即，解得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，已知正切值求邊長(zhǎng)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．解題的關(guān)鍵是求出，，表示出，，，模型2.特殊三角形中的折疊模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2021·重慶·中考真題）如圖，中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若，，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】3【分析】利用翻折的性質(zhì)可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長(zhǎng)度，即可求出AD的長(zhǎng)度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022.廣西九年級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點(diǎn)E，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，從而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折疊得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF?BC414，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，∵S△ABCAC?BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S陰影部分DE?BG4．故選：D．2）分類討論型例1．（2022.重慶九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點(diǎn)F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2或4【分析】當(dāng)△為直角三角形時(shí)，需要分類討論，點(diǎn)，，分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出圖形求解即可．【解析】解：在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，由折疊可知，，∴①由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可知點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，即，，，，，，；③如圖，當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，即，連接，在△中，∴△，，故答案為：或4．變式1．（2022.河南九年級(jí)模擬）如圖，，定長(zhǎng)為的線段端點(diǎn)A，分別在射線，上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A，不與點(diǎn)重合），為的中點(diǎn)，作關(guān)于直線對(duì)稱的，交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】或【分析】結(jié)合折疊及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得，設(shè)，然后利用三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)表示出，，，，從而利用分類討論思想解題．【解析】解：，為的中點(diǎn)，，，，又由折疊性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，，，①當(dāng)時(shí)，，，解得，；②當(dāng)時(shí)，，，方程無(wú)解，此情況不存在；③當(dāng)時(shí)，，，解得：，；綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或．3）綜合證明型例1．（2020·江蘇淮安·中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為；【思考說(shuō)理】（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值．【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過(guò)頂點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．①求線段的長(zhǎng)；②若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）①；②．【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出BM的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的和差可得AM的長(zhǎng)，由此即可得出答案；（3）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得BM、AM、CM的長(zhǎng)，最后代入求解即可得；②先根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差求出，的長(zhǎng)，設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)x的取值范圍即可得．【詳解】（1），理由如下：由折疊的性質(zhì)得：是的中位線點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)則故答案為：；（2）由折疊的性質(zhì)得：，即在和中，，即解得；（3）①由折疊的性質(zhì)得：，即在和中，，即解得解得；②如圖，由折疊的性質(zhì)可知，，，點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)設(shè)，則點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，，即在和中，則．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3）②，正確設(shè)立未知數(shù)，并找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·福建三明·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)將沿直線翻折得到，使點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，與x軸交于點(diǎn)D．求證：；(3)在直線下方是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)，，【分析】（1）先將代入直線的解析式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)解析式；（2）先利用兩點(diǎn)間距離公式求出，推出．再利用折疊的性質(zhì)得出，等量代換可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作，，過(guò)點(diǎn)作，，連接，，，與交于，可得四邊形是正方形，則，，均為等腰直角三角形．分別求出，，的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：直線與直線相交于點(diǎn)，，解得，，將，代入，得：，解得，直線的函數(shù)解析式為；（2）解：，，，，，．沿直線翻折得到，，，；（3）解：如圖，過(guò)C作于M，，，，．由折疊的性質(zhì)可知，，，．過(guò)點(diǎn)作，，過(guò)點(diǎn)作，，連接，，，與交于，則四邊形是正方形，，，均為等腰直角三角形．作軸于N，，，，，又，，，，，，；四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，，，的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，，的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作圖找出符合條件的P點(diǎn)的位置．模型3.平行四邊形中的折疊模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點(diǎn)，連接，若，，，則的長(zhǎng)是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據(jù)已知條件可得CE得長(zhǎng)，進(jìn)而得出ED的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可得出；【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC為等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．變式1．（2021·江西·中考真題）如圖，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，若，，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4a+2b【分析】根據(jù)題意并利用折疊的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，計(jì)算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠CFD=∠D=80，再等角對(duì)等邊即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，則?ABCD的周長(zhǎng)為2AD+2CD=4a+2b，故答案為：4a+2b．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2）分類討論型例1．（2022·湖北隨州·中考模擬）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，使點(diǎn)B′落在ABCD所在的平面內(nèi)，連接B′D．若△AB′D是直角三角形，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4或6．【詳解】試題分析：本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，發(fā)現(xiàn)存在兩種情況，進(jìn)行分類討論．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有兩種情況：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，畫(huà)出圖形，分類討論：（1）當(dāng)∠B′AD=90°AB＜BC時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)B′A交BC于點(diǎn)G，利用平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)，可求出BC的長(zhǎng)為6；（2）當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖2，由平行四邊形的性質(zhì)可求出四邊形ACDB′是等腰梯形，然后根據(jù)∠AB′D=90°，得出四邊形ACDB′是矩形，再通過(guò)解直角三角形，得出BC的長(zhǎng)為4．解：當(dāng)∠B′AD=90°AB＜BC時(shí)，如圖1，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=BC，∴G是BC的中點(diǎn)，在RT△ABG中，BG=AB=×2=3，∴BC=6；當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四邊形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴BC=AB÷=2×=4，∴當(dāng)BC的長(zhǎng)為4或6時(shí)，△AB′D是直角三角形．故答案為4或6．考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問(wèn)題）；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．等腰梯形、矩形和直角三角形．變式1．在平行四邊形ABCD中，∠A60°，，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，沿EF折疊平行四邊形，使線段CD落在直線AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【分析】根據(jù)題意得折疊之后可能落在線段AB上，也有可能落在線段AB外，根據(jù)∠A60°，，及折疊的性質(zhì)可得到是等邊三角形及的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AD的長(zhǎng)．【詳解】如圖，∵=2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)得，，，是等邊三角形，，；如解圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，同理可知是等邊三角形，，．故答案為4或12．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及等邊三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)落在線段上還是線段外，這是易錯(cuò)點(diǎn)，另外還需注意利用等邊三角形的性質(zhì)求解．3）綜合證明型例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．(1)問(wèn)題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)問(wèn)題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；(3)拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫(huà)出圖形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作圖見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）連接，設(shè)，則，，在中，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在中，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設(shè)，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．【答案】（1）；見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長(zhǎng)，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點(diǎn)，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵將沿著所在直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，DC=AB，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，∵的面積為20，邊長(zhǎng)，于點(diǎn)，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于點(diǎn)，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．模型4.菱形中的折疊1）基本計(jì)算型例1．（2021·遼寧大連·中考真題）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E在邊上，將沿直線翻折180°，得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)若，，則的長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】由題意易得，，則有，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，是等邊三角形，即，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，在中，由三角形內(nèi)角和可得，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·寧夏·銀川市二模）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的G點(diǎn)處（不與B，D重合），折痕為EF，若DG=BG，則BE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，由菱形的性質(zhì)可證△ABD為等邊三角形，設(shè)BE=x，則EG=AE=4-x，BH=BE?sin30°=，EH=BE?cos30°=，則GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)得：EG=AE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，又∵∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=4，又∵DG=BG，∴，∴BG=3，設(shè)BE=x，則EG=AE=4-x，在Rt△EHB中，∠HEB=90°-60°=30°，∴BH=BE?sin30°=，EH=BE?cos30°=，∴GH=3-，在Rt△GEH中，由勾股定理得：，解得：x=，即BE=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．2）分類討論型例1．（2022·河南·潢川縣第二中學(xué)一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，沿將折疊，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或或或或【分析】分類討論：如圖，當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，如圖中，當(dāng)時(shí)，分別求出即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合或在點(diǎn)處．當(dāng)與重合時(shí)，與也重合，此時(shí)；在菱形中，，作于，在中，，

，，；如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合或在處，點(diǎn)與重合，是的垂直平分線，，當(dāng)在處時(shí)，過(guò)作于，則可得，則，；如圖中，當(dāng)時(shí)，，．綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或或或或．故答案為或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．變式1.（2022山西中考模擬）如圖在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF⊥AC交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折疊點(diǎn)A落在G處，當(dāng)△CGB為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)________.【解析】分析：首先證明四邊形AEGF是菱形，分兩種情形：①CG=CB，②GC=GB分別計(jì)算即可．詳解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=3，∠DAC=∠BAC=12∠A∵EF⊥AG，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，∴∠AEP=∠AFP，∴AE=AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE=EG，AF=FG，∴AE=EG=GF=FA，∴四邊形AEGF是菱形，∴AP=PG①當(dāng)CB=CG時(shí)，∵AG=AC-CG=3-3，∴AP=12AG=3?②當(dāng)GC=GB時(shí)，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC，∴△GCB∽△BAC，∴GCAB∴GC=1，∴AG=3-1=2，∴AP=12AG=1．故答案為1或3?3）綜合證明型例1．（2022·河北·邢臺(tái)市二模）如圖1，菱形紙片的邊長(zhǎng)為2，．如圖2，翻折，，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線上一點(diǎn)，，分別是折痕，設(shè)（），下列判斷：①當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；②的值隨的變化而變化；③六邊形面積的最大值是；④六邊形周長(zhǎng)的值不變．其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】先確定出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而判斷出△BEF是等邊三角形，當(dāng)x＝1時(shí)，求出DP＝BD，即可判斷出①正確，再用x表示出EF，BP，DP，GH，即可求出EF+GH，判斷出②錯(cuò)誤，利用菱形的面積減去兩個(gè)三角形的面積判斷出③錯(cuò)誤，利用周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可判定出④正確．【詳解】解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，BD＝2，由折疊知，△BEF是等邊三角形，當(dāng)x＝1時(shí)，則BE＝1，BM=BEsin60°=，由折疊知，BP＝2×＝，DP＝，所以①正確，∵BE＝x，∴AE＝2﹣x，∵△BEF是等邊三角形，∴EF＝x，∴BM＝EM＝×EF＝x，∴BP＝2BM＝x，∴DP＝BD﹣BP＝2﹣x，∴DN＝DP＝(2﹣x)，GN＝=(2﹣x)∴GH＝2GN＝2-x，∴EF+GH＝2＝AC，所以②錯(cuò)誤；△BEF的面積為：×x×x=，△GHD的面積為：×(2﹣x)×(2-x)=，六邊形AEFCHG面積＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH＝×2×2﹣﹣＝﹣（x﹣1）2+，∴當(dāng)x＝1時(shí)，六邊形AEFCHG面積最大為，所以③錯(cuò)誤，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝AE+BE+FC+BF+DG+AG＝AB+CB+DA＝6是定值，所以④正確，即：正確的有①④，故選：B．【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，菱形的面積公式，解直角三角形，解本題的關(guān)鍵是用x表示出相關(guān)的線段長(zhǎng)．變式1．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）問(wèn)題背景:如圖1，點(diǎn)E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求證：．嘗試應(yīng)用:：如圖2，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在DC邊上，將△ADF沿AF折疊得到△AEF，且點(diǎn)E恰好為BC邊的中點(diǎn)，求的值．拓展創(chuàng)新：如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，F(xiàn)C＝2．EC＝6．請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）=

．【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，推出△ABE∽△ECD，即可證明結(jié)論；嘗試應(yīng)用：在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，易證△AGE∽△ECF，則，從而可以求出的值；拓展創(chuàng)新：作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，易證△AMF∽△FCE，則，再證明△AEF∽△FND，設(shè)AM=x，F(xiàn)M=FD=3x，則AD=CD=3x+2，MD=2x+2，HD=x+1，再根據(jù)，求出x，進(jìn)而可以得出答案．【詳解】解：?jiǎn)栴}背景：證明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE=∠CED=90°-∠AEB，∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴．嘗試應(yīng)用：在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，如圖2，則∠B=∠BGE，

又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°，∴∠AGE=∠C，由題意可知：AE=AD=BC=2BE，EF=FD，∠B=∠D=∠AEF，又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，又∵GE=BE，AE=BC=2BE，EF=FD，∴．拓展創(chuàng)新：作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，如圖3，∴∠D=∠FMD，∵∠FMD+∠AMF=180°，∠C+∠D=180°，∴∠AMF=∠C，∵∠CFE+∠AFE=∠MAF+∠D，∠AFE=∠D，∴∠CFE=∠MAF，∴△AMF∽△FCE，∴，設(shè)AM=x，F(xiàn)M=FD=3x，則AD=CD=3x+2，MD=2x+2，ND=x+1，∵∠AFE=∠D，∠AEF=∠FND=90°，∴△AEF∽△FND，則，即，∴x=5，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．模型5.正方形中的折疊模型1）常規(guī)計(jì)算型例1.（2022·廣西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作，分別交于點(diǎn)F、G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在BD上，得到若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_______．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)E作PQAD交AB于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q，得到BP=CQ，從而證得≌，得到BE=EF，再利用，F(xiàn)為中點(diǎn)，求得，從而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，從而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，作FN⊥OD于點(diǎn)N，求得FM=2，MH=，F(xiàn)N=2，證得Rt≌Rt得到，從而得到ON=2，NG=1，，從而得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作PQAD交AB于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q，∵ADPQ，∴AP=DQ，，∴BP=CQ，∵，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∵∴，在與中

∴≌，∴BE=EF，又∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，

∴，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵ABFC，∴，∴，∴，∵，

∴，，∴EH=AH-AE=，∵，，∴，又∵，

∴∴，，∴EG=，OG=1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∴FM=MC==，∴MH=CH-MC=，

作FN⊥OD于點(diǎn)N，，在Rt與Rt中∴Rt≌Rt∴，∴ON=2，NG=1，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)應(yīng)用，重點(diǎn)是與三角形相似和三角形全等的結(jié)合，熟練掌握做輔助線是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·四川成都·二模）如圖，在正方形ABCD中，，E為BC中點(diǎn)，沿直線DF翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在線段AE上，分別在AD，上取點(diǎn)M，N，沿直線MN繼續(xù)翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)D重合，則線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥于點(diǎn)H，設(shè)DF與AE交與點(diǎn)O，由折疊變換可得：DF為的垂直平分線，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，通過(guò)證明=∠AEB，利用直角三角形的邊角關(guān)系，得到，利用勾股定理求得AO，DO，利用三角形的面積公式求得AH，利用勾股定理求得DH，利用平行線的性質(zhì)得出比例式即可求得MN的值．【詳解】解如圖，MN為折痕，即點(diǎn)N為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥于點(diǎn)H，設(shè)DF與AE交與點(diǎn)O，∵沿直線DF翻折△ADF，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段AE上，∴DF為的垂直平分線．∴，，∵，∠EAB+∠AEB=90°，∴，∴=tan∠AEB=，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2．∵E為BC中點(diǎn)，∴BE=BC=1．∴．∵，∴，設(shè)AO=k，則DO=2k．∵AO2+DO2=AD2，∴k2+（2k）2=22．解得：（負(fù)數(shù)不合題意舍去）．∴∵∴．∴∴．∵，∴．∴．∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，，∴DN=1．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等變換中的翻折問(wèn)題，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用翻折變換是全等變換，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分是解題的關(guān)鍵．2）分類討論型例1．（2022·浙江·二模）正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交正方形一邊于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】2或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)BN=DM時(shí)，連接CC′交BM于J．如圖2中，當(dāng)BN=DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′T⊥CD于T．分別求解即可．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)BN=DM時(shí)，連接CC′交BM于J．∵BN=DM，BN∥DM，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∴BM∥DN，∴∠BMC=∠NDM，∠BMC′=∠DC′M，由折疊知，MC′=MC，∠BMC=∠BMC′，∴∠NDM=∠DC′M，∴MC′=MD∴CM=DM=CD=2．如圖2中，當(dāng)BN=DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′T⊥CD于T．∵CB=CD，BN=DM，∴CN=CM=MC′，在△BCM和△DCN中，，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴∠CDN=∠CBM，∵∠CBM+∠BCC′=90°，∠BCC′+∠C′CD=90°，∴∠CBM=∠C′CD，∴∠C′CD=∠DCC′，∴C′D=C′C，∵C′T⊥CD，∴DT=TC=2，∵C′T∥CN，∴DC′=C′N，∴C′T=CN，設(shè)C′T=x，則CN=CM=MC′=2x，TM=，∴，∴，∴CM=，綜上所述，CM的值為2或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．變式1．（2022·河南·民權(quán)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊得到，連接，作關(guān)于對(duì)稱的，連接，．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，BF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2或2【分析】先判斷，然后分時(shí)和時(shí)兩種情況求解即可．【詳解】解：由題意可知，∴四邊形是菱形，∴點(diǎn)在以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D，，E共線時(shí)，最短，最小值為＞2，∴，∴當(dāng)是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論．①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴點(diǎn)在CD邊上，如圖(1)，∴，∴四邊形是正方形，∴，∵∠B=90°，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴BF==2．②當(dāng)時(shí)，如圖(2)，∵四邊形是菱形，，∴，∴CD垂直平分，∴，∴是等邊三角形，∴，∴=120°，∴，∴．故答案為：2或2．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方向的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．3）綜合證明型例1．（2022·四川渠縣一模）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)P處（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），點(diǎn)C落在G點(diǎn)處，PG交DC于點(diǎn)H，連接BP，BH．BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．下列結(jié)論：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，則S四邊形BEPM=，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，從而得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到，即可判定①；過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥PH，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，得到，，即可判定②；通過(guò)證明為等腰直角三角形，即可判定③；根據(jù)求得對(duì)應(yīng)三角形的面積，即可判定④．【詳解】解：由題意可得：，，∴，，∴，由題意可得：，∴，∴PB平分∠APG；①正確；過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥PH，如下圖：∴在和中，∴∴∵四邊形ABCD為正方形∴，又∵∴，∴∴，②正確；由折疊的性質(zhì)可得：EF是PB的中垂線，∴由題意可得：，，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，即，∴BM=BP，③正確；若BE=，AP=1，則，在中，∴，，∴，∴，，④錯(cuò)誤，故選B，【點(diǎn)睛】此題考查了正方形與折疊問(wèn)題，涉及了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性比較性，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．變式1．（2022·福建·廈門(mén)二模）如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合）．將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．下列結(jié)論：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】①利用翻折不變性即可解決問(wèn)題；②構(gòu)造全等三角形即可解決問(wèn)題；③等腰三角形性質(zhì)，∠EBP＝∠EPB．根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性質(zhì)得出∠PBC＝∠BPH．再根據(jù)平行線性質(zhì)得出AD∥BC即可解決；④構(gòu)造全等三角形即可解決問(wèn)題；⑤只要證明∠MPB＝45°，再利用反證法可解決問(wèn)題．【解答】解：∵折痕為EF，∴四邊形EBCF與四邊形EPGF全等∴BE=PE，故①正確；如圖2，作FK⊥AB于K．設(shè)EF交BP于O．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵FK⊥AB，∴∠FKB=90°，∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四邊形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF為對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)P為對(duì)稱點(diǎn)，∴EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，在△ABP和△KFE中，，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正確，∵BE=PE，∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∴∠APB＝∠BPH．故③正確；如圖3，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．∴∠PQB=∠HQB=90°，由（1）知∠APB＝∠BPH，在△APB和△QPB中，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP＝QP，AB=QB，又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．∵∠HQB=90°，∠C=90°在Rt△BCH和Rt△BQH中，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH＝QH，∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正確；設(shè)EF與BP的交點(diǎn)為點(diǎn)N，如圖4，∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH，即∠PBM＝45°，由折疊知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，∵AB∥CD，∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，∵在四邊形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，∴∠MFH+∠DPN＝180°，∵∠DPN+∠APN＝180°，∴∠APN＝∠MFH，假設(shè)MH=MF，∴∠MHF=∠MFH=∠APB，在△ABP和△CBH中，∴△ABP≌△CBH（AAS），∴∠ABP=∠CBH，∵∠ABP+∠CBH=45°，∴∠ABP=∠CBH=22.5°，∵點(diǎn)P在AD上，∴0≤∠ABP≤45°，∴∠ABP=22.5°與0≤∠ABP≤45°相矛盾，∴假設(shè)不正確，故⑤錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等角的余角性質(zhì)，反證法，本題難度角度，綜合強(qiáng)，利用輔助線作出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．模型6.圓中的折疊模型1）角度、長(zhǎng)度型例1．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，先將沿翻折交于點(diǎn)．再將沿翻折交于點(diǎn)．若，設(shè)，則所在的范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．依據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可證明，從而可得到弧AC的度數(shù)，由弧AC的度數(shù)可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．∵⊙O與⊙O′為等圓，劣弧AC與劣弧CD所對(duì)的角均為∠ABC，∴．同理：．又∵F是劣弧BD的中點(diǎn)，∴．∴．∴弧AC的度數(shù)=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范圍是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為_(kāi)______；折痕的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】

60°##60度

【分析】根據(jù)對(duì)稱性作O關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M，則點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．【詳解】作O關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M，則ON=MN連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵將沿弦折疊∴點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．∴ME⊥OA，MF⊥OB∴∵∴四邊形MEOF中即的度數(shù)為60°；∵，∴（HL）∴∴∴∵M(jìn)O⊥DC∴∴故答案為：60°；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2）面積型例1．（2022·山西太原·統(tǒng)考二模）如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】作OD⊥AC交圓于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理，OD平分和，又因?yàn)锳C是對(duì)折線，所以O(shè)D與AC互相垂直平分，所以O(shè)DCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．【詳解】作OD⊥AC交圓于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內(nèi)的折線，且弦AC折疊后經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設(shè)與弦AC構(gòu)成的圖形面積為SADC，與構(gòu)成的圖形面積為SADCO，與和線段OD構(gòu)成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°-30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OAC-S△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODC-S扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問(wèn)題及三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要能通過(guò)對(duì)稱看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODC-S扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．變式1．（2022·山西大同·校聯(lián)考三模）如圖，邊長(zhǎng)為6的正六邊形內(nèi)接于，沿折疊，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，過(guò)點(diǎn)E作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可證明△AOE≌△ABC，∠AOE=∠ABC=120°，求得OA=OE=DE=6，根據(jù)切線的性質(zhì)∠OEG=90°，求得EG=，根據(jù)扇形的面積和三角形的面積即可得到答案．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，，又∠DOE=60°，OD=OE，∴是等邊三角形，∴∴∴∴∴故可將原圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槿鐖D，∵EG是⊙O的切線，∴∠OEG=90°，∵∠DOE=60°，∴∴GE=，∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOE+S△GOE-S扇形DOE==，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算，熟練掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．課后專題訓(xùn)練1．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，分兩種情況①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)分類計(jì)算即可；【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四邊形ABCD是矩形，，由折疊可知，PD＝PD'，設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，PD的值為或；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東模擬預(yù)測(cè)）矩形紙片中，，，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的處，折痕為．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M，折痕上有點(diǎn)P，下列五個(gè)結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④；⑤若，則四邊形是菱形．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】②借助軸對(duì)稱可知；③利用勾股定理求，構(gòu)造方程，求，在構(gòu)造勾股定理求；①④由相似，，在計(jì)算，進(jìn)而可判斷①；⑤證得，再證菱形即可．【詳解】解：點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，則；故②正確；連結(jié)，由翻折，，，由勾股定理，∴，設(shè)，在中，，由勾股定理，解得，∴，在中，，；故③正確；過(guò)M作，交延長(zhǎng)線于F，由，∴，∴，∴，∴，∴，，則，∴故④不正確；∵∴∴；故①不正確；連接，由對(duì)稱性可知，，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形是菱形，故⑤正確．五個(gè)結(jié)論中正確的是②③⑤．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠證明．3.（2022.山東中考模擬）如圖，在中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折，得到，若點(diǎn)恰好在線段上，若，：：，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，則，由折疊的性質(zhì)得，，，由勾股定理求出，設(shè)，則，由勾股定理列出方程求出值，則可得出答案．【解析】解：設(shè)，，則，將沿翻折，得到，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，故選C．4．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點(diǎn)C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，點(diǎn)P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設(shè)AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(9，2)，則cosB的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP＝BQ＝x，由圖象②可得當(dāng)x＝9時(shí)，y＝2，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時(shí)，y＝2，如圖①所示，可求BD＝7，由折疊的性質(zhì)可求BC的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ＝x，由圖②可得當(dāng)x＝9時(shí)，y＝2，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)D下方，且BQ＝x＝9時(shí)，y＝2，如圖①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵將△ABC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在射線BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)．理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的具體含義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖菱形OABC，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(8，0)，∠C＝60°，點(diǎn)P為OA上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P(3，0)，Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形OPQC沿直線PQ折疊，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A．(﹣1，4) B．(﹣2，4) C．(﹣3，4) D．(0，4)【答案】C【分析】連接BP，設(shè)BC交y軸于T，首先求出PB的長(zhǎng)，由題意，當(dāng)點(diǎn)O′落在BP上時(shí)，BO′的值最小，此時(shí)∠OPQ＝∠QPB，證明BQ＝BP＝7，可得結(jié)論；【詳解】如圖，連接BP，設(shè)BC交y軸于T．∵A（8，0），四邊形OABC是菱形，∴OA＝OC＝BC＝8，∵∠C＝60°，∠OTC＝90°，∴CTOC＝4，OT，∴B（4，4），∵P（3，0），∴PB，∵OP＝PO′＝3，∴當(dāng)點(diǎn)O′落在BP上時(shí)，BO′的值最小，此時(shí)∠OPQ＝∠QPB，∵BC∥OA，∴∠BQP＝∠OPQ，∴∠BPQ＝∠BQP，∴BQ＝BP＝7，∴CQ＝BC﹣BQ＝8﹣7＝1∴Q（﹣3，4）；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形對(duì)稱變化，翻折變換，等邊三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2021·陜西·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)G處，若是等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為（

）A．或 B．或2 C．或4 D．或【答案】B【分析】分CG=CB和GC=GB兩種情形，分別求解即可．【詳解】解：連接DB，交AC于點(diǎn)O，則DB⊥AC.∵EF⊥AC，∴EF//DB∵，∴∠CAB=∠CAD=∠BCA=30°，∵∴AD=AB=BC=DB=，DO=BO=∵DB⊥AC∴AO=,即AC=6當(dāng)GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；當(dāng)GB=GC時(shí)，過(guò)點(diǎn)G做GH⊥BC，則CH=BC=∵∠BCA=30°∴∴GC=2，∴AP=（AC-CG）=（6-2）=2；綜上，AP的長(zhǎng)為3-或2．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，掌握分類討論的思想以及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿EF折疊，使點(diǎn)A落在處，點(diǎn)B落在處，交BC于G．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)為CD中點(diǎn)時(shí)，則＝B．當(dāng)時(shí)，則＝C．連接，則D．當(dāng)（點(diǎn)不與C、D重合）在CD上移動(dòng)時(shí)，周長(zhǎng)隨著位置變化而變化【答案】D【分析】當(dāng)為CD中點(diǎn)時(shí)，設(shè)則，由勾股定理列方程求解，進(jìn)一步求得的值，進(jìn)而可判斷A的正誤；當(dāng)三邊之比為3：4：5時(shí)，設(shè)，，，由可求a的值，進(jìn)一步求得的值，進(jìn)而可判斷B的正誤；過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點(diǎn)N，Q，證明，進(jìn)而可判斷C的正誤；D．過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，連接，AG，先證，可得，，再證，可得，由此證得周長(zhǎng)＝16，進(jìn)而可判斷D的正誤．【詳解】解：∵為CD中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴，由折疊的性質(zhì)，設(shè)則，在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴，故A正確；當(dāng)三邊之比為3：4：5時(shí)，設(shè)，，，則，∵，∴，解得：，∴，，故B正確；如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，連接交EM，EF于點(diǎn)N，Q，∴，∴，由翻折可知：EF垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，，∴，故C正確；過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，連接，AG，則，由折疊的性質(zhì)可知，∴∵∴，∵∴，∴在和中∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴周長(zhǎng)∴當(dāng)在CD上移動(dòng)時(shí)，周長(zhǎng)不變，故D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．8．（2022春·福建福州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】連接，，，設(shè)，證明，利用三角形內(nèi)角和定理求出，可得結(jié)論；【詳解】解：如圖，連接，，，設(shè)，，，，，，，，∵是直徑，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．9．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點(diǎn)D，再將沿BD翻折交BC于點(diǎn)E，連接DE．若AD＝2OD，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．∵在同圓或等圓中，∠ABC所對(duì)的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．10.（2022·四川成都·二模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，則________．【答案】【分析】過(guò)P作PN⊥BC，垂足為N，根據(jù)折疊矩形ABCD得出∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，再根據(jù)三角函數(shù)推出，設(shè)BE=3x，則BF=4x，EF=5x=AF，根據(jù)勾股定理表示AE，進(jìn)而求出x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cos∠PEN=cos∠BFE=，求出PN、EN，即可求出面積．【詳解】解：如圖，過(guò)P作PN⊥BC，垂足為N，∵折疊矩形ABCD，∴∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90°，∴∠CGP=90°∠GHP=90°∠EHC=∠HEC=90°∠FEB=∠BFE，∵tan∠CGP＝，∴tan∠BFE＝tan∠CGP＝＝，設(shè)BE=3x，則BF=4x，EF=5x=AF，∴AB=AF+FB=9x，∴AE=，∴，∴x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，∴EC=BCBE=6，在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cos∠PEN=cos∠BFE=，∴，，解得PN＝，EN＝，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、矩形、正方形的性質(zhì)、翻折變換、解直角三角形，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，善于在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形是解題關(guān)鍵．11．（2022.河北中考模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．將沿直線翻折得到．若點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，則____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于E，求出OA＝1，OB＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝OA＝1，BC＝OB＝2，∠ACB＝∠AOB＝90°，然后證明，可得，設(shè)C（a，），則CD＝，OD＝a，求出AD＝a－1，CE＝2－，EB＝a，可得，然后由CE＝2AD得2－＝2（a－1），求出a的值，進(jìn)而可得k的值．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于E，在一次函數(shù)中，令y＝0，即，解得：x＝1，令x＝0，可得，∴A（1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝OA＝1，BC＝OB＝2，∠ACB＝∠AOB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，又∵∠ADC＝∠E＝90°，∴，∴，∴CE＝2AD，EB＝2DC，設(shè)C（a，），則CD＝，OD＝a，∴AD＝a－1，CE＝2－，EB＝a