工具變量方法原理

#x=X—Xii則有x=X—Xii則有ii把(8-8)中的y代入(8-9)，

i則可以得到y(tǒng)xyiiyx2i8-9)yxy0=y…1yx2i把(8-8)中的y代入(8-9)，

i則可以得到y(tǒng)xyiiyx2i8-9)yxy0=y…1yx2iyx(0x+u)i1_ii-yx2

i=0yxui8-10)yxu.xu「E(t匸)=E(討—+yx2yx2iixu2―2+.?.+yx2ixu=E(亠)E(u)+E(

yx21i下面分三種情況討論：1.x和U是獨立的E(0)=0+E｛千Iyx金)E(u2)+ix+E(n)E(u)yx2ni8-11)xu■ii>-x2i因x和u相互獨立，并且E(u)=0iiiyxu???E(幺一)=0

yx2i2.x與u小樣本下相關(guān)，大樣本下漸近無關(guān)ii小樣本：E(xu)豐0ii所以E(Pi)弋，最小二乘法估計是有偏的。大樣本：Plim(丄yxu)=0n*nii對式(8-10)兩邊取概率極限可有yxuPlim(0)=0+Plim=011yx2x2

i+Plim?1工x2ni8-12)因此，在假定piim(n工x2)豐0的情況下，有8-13)說明最小二乘估計式也具有一致性特性。3.因此，在假定piim(n工x2)豐0的情況下，有8-13)說明最小二乘估計式也具有一致性特性。3.x與u高度相關(guān)iiPlim(1Yxu)豐0n*nii討論一般情況下回歸模型(8-8)式y(tǒng)=0x+ui1ii(i=1,2,n)8-14)假設(shè)：:Var(x)=◎2，Var(u)=◎2ixiu法估計上式，可以得到：YxuPlim(0)=0+PlimpJ11Yx2iPlim1工xunii=0+—1Plim1工x2niPlim1工xunii=0+—1Plim1工x2ni8-15)Var(x)cx工(X-X)(U-U)工xu因為：cov(x,u)=p=ii=j代入上式即可。(X-X)2乙(U-U)2iixu可見，如果p很高，只有當是很小的情況下，(8-15)式的漸近誤差才是可以忽略的。否可見，如果p很高，只有當x則，最小二乘估計式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機解釋變量模型的處理如果模型中存在隨機解釋變量問題，則一般的隨機解釋變量與隨機誤差項之間是相關(guān)的，最小二乘估計量有偏且不一致，需要利用其他估計方法對模型參數(shù)進行估計。一、工具變量法工具變量(InstrumentVariable,IV)法就是當隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)時，尋找一個與隨機解釋變量高度相關(guān)，但與隨機誤差項不相關(guān)的變量，用該變量替代模型中的隨機解釋變量，進

行模型的參數(shù)估計。我們稱這一替代隨機解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個條件：第一，工具變量必須是有明確經(jīng)濟含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機解釋變量高度相關(guān)，而又與隨機誤差項不相關(guān)第三，工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關(guān)，以免出現(xiàn)多重共線性；第四，模型中的多個工具變量之間不相關(guān)。（二）工具變量的應(yīng)用工具變量對隨機解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對應(yīng)的隨機解釋變量，而是在最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對隨機解釋變量進行部分替代。對于一元線性回歸模型（8-7）和（8-8）y=0x+ui1ii若x與u不相關(guān)，u滿足所有的統(tǒng)計假定。應(yīng)用OLS法，利用微分求極值的辦法求出正規(guī)方程:「工xy=B工x28-16)J8-16)Y=B+BX=0x+u=0x+u兩邊,1i8-17)現(xiàn)采用另一種方法來導(dǎo)出OLS正規(guī)方程。我們以X（i=1,2,…,n）同乘以yii得n個式子，求和得:工xy=0工x2+工xuii1iii因為x與u不相關(guān)，從而可以略去工xu=0，就可以得OLS正規(guī)方程。ii如果x與u相關(guān)，則工xu豐0，不能用OLS法來估計參數(shù)?，F(xiàn)在，我們要尋找一個變量Z,iiZ與x高度相關(guān)而與u無關(guān)，用z的離差乘以yx+u的兩邊，然后求和得到一個類似于olsii1ii正規(guī)方程的方程。在這里，Z就是工具變量。8-18)工zy=0工8-18)ii由于z與U無關(guān)，所以

得：1得：1nPlim工zu=0nsniZ'i=18-19)8-20)工zy=0工zx8-19)8-20)ii1ii上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得TOC\o"1-5"\h\z工zy工-Y)SL」=i」zx乙(Z-Z)(X-X)iiii0=Y-0X01因此，工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機解釋變量X,從而利用cov(Z,U)=0克服cov(X,U)豐0產(chǎn)生的對模型參數(shù)估計的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數(shù)的估計量。從這一原理理解，OLS法也可以看作是一種工具變量法，即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具變量。容易證明，參數(shù)工具變量估計量是有偏的、一致的估計量。在實際經(jīng)濟分析中，對于工具變量的選擇，一般的做法是：對于時間序列資料，如果被解釋變量Y、隨機解釋變量X、隨機誤差項uL三者之間的關(guān)系有iicov(X,u)豐0,但cov(X,u)=0，cov(Y,u)=0，則可用X或Y作為乂的工具變量。iii-1ii-1ii-1i-1i(三)多元線性回歸模型對于k元線性回歸模型：Y=0+0X+0X+…+0X+u(8-21)i011i22ikkii其矩陣形式為：Y=XB+U(8-22)假設(shè)X和X為隨機解釋變量，且與隨機誤差項u高度相關(guān)，u滿足最小二乘法的其他假定TOC\o"1-5"\h\z1ikiii條件，解釋變量之間無多重共線性。尋找工具變量Z和Z。工具變量滿足以下條件：他們是有實際經(jīng)濟意義的變量；與其對1iki應(yīng)的隨機解釋變量(Z對應(yīng)X，X對應(yīng)Z)高度相關(guān)；與隨機誤差項u不相關(guān)；工具變量Z1i1ikikii1i和ZE,之間不相關(guān)；與￡元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)。2）寫出工具變量矩陣。Xit和X之外，5線性回歸模型的工具變量矩陣為:1XX.?…X2）寫出工具變量矩陣。Xit和X之外，5線性回歸模型的工具變量矩陣為:1XX.?…X1121k11XXXX=1222k21XX...X1—1n2nkn除了kt8-23)將X矩陣中的X和X替換為Z和Z，其他外生變量和常數(shù)項均由其自身做工具變量，得Z1iki1iki矩陣：1ZZ1ZZ.?…Z1121k11ZZ……ZZ=1222k21ZZ...Z1n2nkn（3）求出工具變量估計量B，IV沿上述思路8-24)用Z'同乘Y二XB+U兩邊，由于Z和U無關(guān),所以有plim-ZU=0n8-25)B'二(ZX)-iZY8-25)IVBiv是B的一致估計量。在EViews軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法,在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實現(xiàn)工具變量法估計。四）工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數(shù)估計量，在解釋變量為隨機變量并與隨機誤差項相關(guān)的情況下，參數(shù)估計值達到了漸近一致。但這種方法在實際應(yīng)用中會遇到一定困難，主要表現(xiàn)在三個方面：（1）在解釋變量X與隨機誤差項u相關(guān)的情況下，要找尋一個既與X高度相關(guān)，又與u不相關(guān)的工作變量Z十分困難。再加上工具變量Z要具有明確的經(jīng)濟含義，這就更不容易。（2）在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數(shù)估計值也不會一致，使參數(shù)估計出現(xiàn)隨意性。工具變量選擇得當，參數(shù)估計值的質(zhì)量會高一點；如果工具變量選擇不得當，參數(shù)估計值就會出現(xiàn)較大偏誤。（3）由于使用了工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標準差，不能保證參數(shù)估計值的漸近方差一定能達到最小?；谏鲜龇治觯降走x擇何種工具變量，還需要通過實踐掌握工具變量選擇的技巧。二、含有隨機解釋變量的實例分析見教材及上機操作。本章小結(jié)解釋變量是隨機變量，叫做隨機解釋變量，產(chǎn)生隨機解釋變量的原