高中數(shù)學(xué)選修課件組合與組合數(shù)

4.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理4.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理

問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個(gè)問題有什么聯(lián)系和區(qū)別？問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問題二

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問題組合定義:

一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？組合的特征：（1）每個(gè)組合中元素互不相同；（2）“只取不排”——無序性；（3）組合相同即元素相同；

（4）排列與組合問題共同點(diǎn)是“從n個(gè)不同元素中任意取出m（m≤n）個(gè)元素”，不同點(diǎn)是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合組合定義:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)如何計(jì)算這個(gè)組合數(shù)呢？C是英文Combination的首字母組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=從a,b,c,d這四個(gè)字母中選三個(gè)的組合與排列的關(guān)系：組合abcabdacdbcd排列a

求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),

第1步,從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素,共有種不同的取法;Cnm可看作以下2個(gè)步驟得到:

第2步,將取出的m個(gè)元素做全排列,共有種不同的排法.Anm求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=1例1．計(jì)算：（1）（2）原式=

例1．計(jì)算：（1）（2）原式=組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和

組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和

例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,他們中以前沒有一人參加過比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是11人.問:簡單的組合問題(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案?(2)如果在選出11名上場隊(duì)員時(shí),還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學(xué)員中選出11人上場第2步,從上場的11人中選1名守門員例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,

例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的組合數(shù).

10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的排列數(shù).(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)

例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借，至少借一本，則有多少種不同的借法？

(2)有13本不同的書，其中小說6本，散文4本，詩歌3本，某人借6本，其中有3本小說，2本散文，1本詩歌，問有幾種借法？(1)解：此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個(gè)步驟完成，共有（種）例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的組合數(shù)(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了組合數(shù)公式。n個(gè)不同元素m個(gè)元素m個(gè)元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結(jié)：①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問題：例1

一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,含有1個(gè)黑球,有多少種取法?⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例2按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？例2（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在產(chǎn)品檢驗(yàn)中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查,根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例3

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無三點(diǎn)共線，問過兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？2某些特殊元素有特殊歸類問題：解法一：（直接法）設(shè)五個(gè)點(diǎn)所在直線為l，分為兩類：(1)過l上的三個(gè)紅點(diǎn)：可與l外的三個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線,有條，又與l上的兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)只連一條直線，可連條(2)過l外的四個(gè)紅點(diǎn)：可與五個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線，有條共可連（條）例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無三點(diǎn)共線，問過兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點(diǎn)共線，有其中共線的五個(gè)點(diǎn)可連條，條而這條只能是一條共可連（條）

說明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問題，即題中共線的五個(gè)點(diǎn)，只能作一條直線．例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有重復(fù)問題：解：選兩個(gè)數(shù)相加有選三個(gè)數(shù)相加有選四個(gè)數(shù)相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（個(gè)）．例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４個(gè)側(cè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有解法二：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)有種，其中共面的有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有（種）例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一．5“名額分配”問題：

例1．有10個(gè)參加數(shù)學(xué)競賽的名額,要分給7所學(xué)校,每校至少一個(gè)名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個(gè)名額中的7個(gè)名額分給7個(gè)學(xué)校每校一個(gè)，則轉(zhuǎn)化為剩下的三個(gè)名額如何分配的問題，可分三類方法.第一類:選三個(gè)學(xué)校,每個(gè)學(xué)校一個(gè)名額,分配方法數(shù)第二類:選兩個(gè)學(xué)校,決定哪個(gè)學(xué)校分別給一個(gè)或兩個(gè)名額，分配方法種數(shù)為第三類:選一個(gè)學(xué)校,三個(gè)名額都給該校,分配方法種數(shù)為所以不同的名額分配方法種數(shù)為．5“名額分配”問題：例1．有10個(gè)則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二：注意到10個(gè)名額之間是沒有差別的，設(shè)想將10個(gè)名額排成一排，每兩個(gè)“相鄰”的名額間形成一個(gè)空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“○”表示相同的名額，“

設(shè)想在這幾個(gè)空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個(gè)名額分割成七個(gè)部分，

將第一、二、三、…、七個(gè)部分所包含的名額數(shù)分給第一、二、三、…、七所學(xué)校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數(shù)與名額的分配方法種數(shù)是相等的，為則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且每個(gè)位置至少應(yīng)分配一個(gè)元素．與解法一相比，擋板法比較簡捷，但不如解法一易于理解．實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的

解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種數(shù)就等于方程解的個(gè)數(shù)．故有

每一個(gè)均加1，然后再均減1．則可以將原來的問題理解為：求例2．已知方程，求⑴有多少組正整數(shù)解？⑵有多少組非負(fù)整數(shù)解？．解：此問題則可以解釋為：先將的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，同（1），則解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種

例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種．1．注意區(qū)別“恰好”與“至少”

例從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種．2．特殊元素（或位置）優(yōu)先安排

例將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種．3．“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲5“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種

例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？4．混合問題，先“組”后“排”

（1）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?

（2）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?

（3）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?5．分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理

例2.要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數(shù)進(jìn)行分類，或用插板法求解．解法一：共分三類：第一類，一個(gè)班出4人，6個(gè)班各出1人，有C71種；第二類，有2個(gè)班分別出2人，3人，其余5個(gè)班各出1人有A72

種；第三類，有3個(gè)班各出2人，其余4個(gè)班各出1人，共有種．有C73

種，C71+A72+C73=84例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競

注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果．

解法二：將10人看成10個(gè)元素，這樣元素之間共有9個(gè)空（兩端不計(jì)）；

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96

從這9個(gè)空位里任選6個(gè)（即這6個(gè)位置放入隔板，將其分為七部分），有種放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意義？

它表示表示第1個(gè)班1人，第2個(gè)班2人，第3個(gè)班1人，第4個(gè)班1人，第5個(gè)班3人，第6、7個(gè)班各1人．注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素排列與組合的綜合問題

解排列組合問題，要正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:2科學(xué)分類法：3插空法：4捆綁法：5“分組”問題：6隔板處理排列與組合的綜合問題解排列組合問題，要正確使(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:

對(duì)于特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法.

例1:有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．(2)某女生一定要擔(dān)任語文科代表．(1)有女生但人數(shù)必須少于男生．＝5400種=360種．(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表,某男生必須擔(dān)任科代1特前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，

例2對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次測試中的順序有種，··＝576。前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，

對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？2科學(xué)分類法：解法一：問題分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（

-2＋）種共有252種．對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為減去甲跑第一棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)再減去乙跑第四棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時(shí)從剩余4人中選2人的排列組合數(shù)－＝252種

對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種。例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100

例2由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)的5位數(shù)，從小到大排隊(duì)；1）43251是第幾個(gè)數(shù)；2）第96個(gè)數(shù)是多少？43512,43521,45123,45132,45213,45231,45312,45321例2由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成無重3插空法：

解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決

例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是：①前后各一個(gè)，有8×12×2＝192種方法解：②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32種方法兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：③兩人都在前排：此種情況共有4＋2＝6種方法兩邊都是4個(gè)位置,所以坐在第一排總共有6＋6＝12種方法④兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右∴有192＋32＋12＋110＝346種3插空法：解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元

例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是：解法二：考慮20個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號(hào)座位與5號(hào)座位不算相鄰，9號(hào)座位與10號(hào)座位不算相鄰，共有種例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12

例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果：(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙。例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋4捆綁法：

相鄰元素的排列,可以采用“整體到局部”的排法,即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列,然后再局部排列.

例1在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有多少種?（3）若A、B之間隔8壟，有A22種方法.解:A,B兩種作物的間隔至少6壟,至多8壟,分3種情況：（1）若A、B之間隔6壟，這樣的選壟方法有3A22種.（2）若A