【概率論】5-4：泊松分布（ThePoissonDistribution）

【概率論】5-4：泊松分布（ThePoissonDistribution）Abstract:本?介紹Poisson分布相關知識Keywords:PoissonDistribution泊松分布前?這?個分布包括今天說的泊松分布都是和?項分布，伯努利分布相互聯系的，之間有各種各樣的關系，我們的學習?的不是背誦所有這些分布的性質，?是在這些性質的推到過程。很多實驗?較關注次數，?如?段時間內到達商店的顧客的?數，電話交換機每分鐘受到的通話請求，洪?或者其他?然?為災害發(fā)?的次數。泊松分布被?來建模，?段事件這些事情發(fā)?的次數，并且泊松分布也是?來近似當p很?的時候的?項分布的?種法。泊松分布的定義和性質DefinitionandPropertiesofthePoissonDistributions先來看?個商店?段時間有多少顧客到來的例?，這個例?會貫穿正?博客，?家應該好好讀?下。商店?板相信，顧客們以每個?時4.5?次的數量來到商店，他想找到?個X的分布，這個X表?在未來某個?個?時，到店的客?數，并且他認為這些到來的客?之間相互獨?，于是他的做法是按照?個?時3600秒計算，平均每秒來0.00125個?，并且假設?秒鐘不會同時出現兩個?同時到店的可能，那么某時間點，到達的?數為0或者1，為1的可能性是0.00125，整個過程是?個?項分布，n=3600，p=0.00125。這看起來很正確也很流暢于是他要計算p.f.了：?3600(x)?px(1?p)3600?xfor0≤x≤3600?0otherwisef(x∣n=3600,p=0.00125)=3600(x)p(1?p)3600?x似乎以同等的速度變?，?整體卻變化不?，于是我們對相x這個式??常有意思，當參數變?的時候，參數鄰的兩個隨機變量值做個?較（以下把X擴展到在0到n之間變化）()p(1?p)n(x)px+1(1?p)n?x?1f(x+1)f(x)=(n?x)p=(x+1)(1?p)np≈x+1那么根據這個?值，如果我們設λ=np那么我們會有?個遞歸關系：f(1)=f(0)λ2λλf(2)=f(1)2=f(0)23λλf(3)=f(2)3=f(0)6?λλnf(n)=f(n?1)n==f(0)n!因為f是?個近似來的p.f.那么我們需要讓他滿?我們的條件，?如，所有隨機變量對應的概率求和是1.∞∑x=0f(x)=1因為整個關系式能調整的部分就只有f(0)了，那么我們只好調整初始化條件來使得p.f.成?了，∞∑λnx=0f(0)n!=1∞∑λnf(0)x=0n!=1∞∑λnfor:x=0n!=eλso:f(0)=e?λ所以我們只需要讓f(0)=e?λ即可，關于求和等于eλ的計算可以參開微積分書籍。那么我們就有了?個新的能夠近似上??項分布的新分布——PoissonDistribution：e?λλxforx=1,2,3,…x!f(x∣λ)={0otherwise這個分布就是我們今天的主?，也是概率論中?常重要的?個分布，可以?來描述?段時間內某事發(fā)?的次數的模型。DefinitionPoissonDistribution.Letλ>0.ArandomvariableXhasthePoissonDistributionwithmeanλifthep.f.ofXisasfollow:e?λλxx!forx=1,2,3,…f(x∣λ)={0otherwise還是傳統的定義?法，告訴你，這個式?是泊松分布~泊松分布的均值MeanTheoremMean.ThemeanofPoissonDistributionwithp.f.equaltoupsideisλ.怎么樣！神奇不神奇~均值是λ我們接下來就來證明這?點。直接使?期望的定義∞∑E(X)=x=0xf(x∣λ)當x=0時，值為0，我們直接從1開始∑e?λλxE(X)=x=0xx!∞∑e?λλx=x=1(x?1)!∞∑e?λλx?1=λx=1(x?1)!ifwesety=x?1∞∑e?λλy=λy=0y!∞e?λλy這樣∑y=0y!變成了?個對p.f.為f(y∣λ)的概率函數求和的計算，結果必然為1，那么我們就證明了泊松分布的期望是——λ泊松分布的?差VarainceTheoremVariance.ThevarianceofPoissondistributionwithmeanλisalsoλ意外不意外！驚喜不驚喜！依舊是λ證明：我們將?到和上?證明期望?樣的?法就是通過湊，來使得求和??變成p.f.的樣?∑E[X(X?1)]=x=0x(x?1)f(x∣λ)∞∑=x=2x(x?1)f(x∣λ)∞∑e?λλx=x=2x(x?1)x!∞∑e?λλx?2=λ2x=2x?2!Wesety=x?2∞∑e?λλyy!E[X(X?1)]=λ2y=0=λ2然后我們祭出我們的?招E[X(X?1)]=E[X2]?E[X]=E[X2]?λ=λ2所以E[X2]=λ2+λ那么Var(X)=E[X2]?E2[x]=λ2+λ?λ2=λ?此證畢，構造了E[X2]然后求出了Var(X)泊松分布的距?成函數m.g.f.接著我們研究第三??具，m.g.f.TheoremMomentGeneratingFunction.Them.g.f.ofthePoissondistributionwithmeanλisψ(t)=eλ(et?1)forallrealt證明如下：∞∑etxe?λλx∞∑(λet)xψ(t)=E(etX)=x=0x!=e?λx=0x!根據e級數性質∞∑(λet)xx!=eλetx=0那么我們對于?∞<t<∞有：ψ(t)=e?λeλet=eλ(et?1)有了m.g.f就能得到期望，?差或者其他階距。泊松分布隨機變量相加TheoremIftherandomvariableX1,…,XkareindependentandifXihasPoissondistributionwithmeanλ(i=i1,…,k),thenthesumX1+?+XkhasthePoissondistributionwithmeanλ1+?+λk擁有相同參數的?項分布可以進?加法運算，這?點我們前?就已經證明過了，今天要證明的是Poisson分布也能進?加法，?且不需要參數?致，?到的?法是?m.g.f進?分析：證明：?先令ψ(t)來定義Xi的m.g.f.并且Xi是均值為iλi的Poisson分布。并且X1,…,Xn之間相互獨?，那么對于?∞<t<∞我們有：kkψ(t)=Πi=1ψi(t)=Πi=1eλ(et?1)i(λ+?+λ)(et?1)=e1k結合前?泊松分布的m.g.f.可見定理成?。?項分布的泊松近似ThePoissonApproximationtoBinomialDistributions接下來我們研究?下泊松分布近似?項分布的詳細內容。TheoremClosenessofBinomialandPissonDistribution.Foreachintegernandeach0<p<1,letf(x∣n,p)denotethep.f.ofthebinomialdistribtuionwithparametersnandp.Letf(x∣λ)denotethep.f.ofthePoissondistributionwith∞meanλ.Let{P}nn=1beasequenceofnumbersbetween0and1suchthatlimn→∞np=λ.Thennlimn→∞f(x∣n,p)=f(x∣λ)nforallx=0,1…定理表明了?項分布和Poisson分布的近似關系，雖然我們在開篇的例???已經提到了?Poisson分布來近似n?較?，p?較?，np?不?的問題，但是我們還是需要從理論上分析下?項分布和Poisson分布到底有什么關系。證明：?先我們寫出?項分布n(n?1)…(n?x+1)xp(1?p)n?xnnf(x∣n,p)=nx!提?，把組合運算展開寫的。然后我們令λn=npn那么limλ=λ這樣我們就有n→∞nxλnn?1nn?x+1λnλn(1?n)n(1?n)?xf(x∣n,p)=x!n?nn…n對于每個x≥0來說，我們有：nn?1n?x+1λn(1?n)?x=1limn→∞n?n…n這個是微積分要解決的問題，不知道的同學需要去參考下微積分的知識。上?中倒數第?個定理，我們沒有證明，但是那個結論在這?還需要再次使?λnlimn→∞(1?n)n=e?λ所以e?λλxlimn→∞f(x∣n,p)=x!=f(x∣λ)n證畢。接下來這個定理是說超?何分布和Poisson分布之間的關系的，沒有證明，但是可以參考下結論。TheoremClosenessofHypergeometricandPoissonDistribution.Letλ>0.LetYhavethePoissondistributionwithmeanλ.ForeachpostiveintegerT,letAT,BT,andnTbeintegerssuchthatlimT→∞nTAT/(A+B)=λ.LetXTTThavethehypergeometricdistributionwithparametersAT,BTandnT.Toreachfixedx=0,1,…，Pr(Y=x)limT→∞Pr(X=x)=1t泊松過程PoissonProcesses前?我們第?個例?說的如何估算在?個?時內到店的客戶，那么如果是我想知道半個?時或者15分鐘的顧客數量呢？難道是要?2.25個或者1.125個作為平均數的PoissonDistribution建模么？于是我們使?Poisson過程來對這種情況建模。DefinitionPoissonProcess.APoissonprocesswithrateλperunittimeisaprocessthatsatisfiesthefollowingtwoproperties:i:ThenumberofarrivalsineveryfixedintervaloftimeoflengththasthePoissondistributionwithmeanλtii:Thenumbersofarrivalsineverycollectionofdisjointtimeintervalsareindependent泊松過程滿?兩點要求，?先固定