【概率論】5-4：泊松分布（ThePoissonDistribution）

【概率論】5-4：泊松分布（ThePoissonDistribution）Abstract:本?介紹Poisson分布相關(guān)知識Keywords:PoissonDistribution泊松分布前?這?個(gè)分布包括今天說的泊松分布都是和?項(xiàng)分布，伯努利分布相互聯(lián)系的，之間有各種各樣的關(guān)系，我們的學(xué)習(xí)?的不是背誦所有這些分布的性質(zhì)，?是在這些性質(zhì)的推到過程。很多實(shí)驗(yàn)?較關(guān)注次數(shù)，?如?段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客的?數(shù)，電話交換機(jī)每分鐘受到的通話請求，洪?或者其他?然?為災(zāi)害發(fā)?的次數(shù)。泊松分布被?來建模，?段事件這些事情發(fā)?的次數(shù)，并且泊松分布也是?來近似當(dāng)p很?的時(shí)候的?項(xiàng)分布的?種法。泊松分布的定義和性質(zhì)DefinitionandPropertiesofthePoissonDistributions先來看?個(gè)商店?段時(shí)間有多少顧客到來的例?，這個(gè)例?會(huì)貫穿正?博客，?家應(yīng)該好好讀?下。商店?板相信，顧客們以每個(gè)?時(shí)4.5?次的數(shù)量來到商店，他想找到?個(gè)X的分布，這個(gè)X表?在未來某個(gè)?個(gè)?時(shí)，到店的客?數(shù)，并且他認(rèn)為這些到來的客?之間相互獨(dú)?，于是他的做法是按照?個(gè)?時(shí)3600秒計(jì)算，平均每秒來0.00125個(gè)?，并且假設(shè)?秒鐘不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)?同時(shí)到店的可能，那么某時(shí)間點(diǎn)，到達(dá)的?數(shù)為0或者1，為1的可能性是0.00125，整個(gè)過程是?個(gè)?項(xiàng)分布，n=3600，p=0.00125。這看起來很正確也很流暢于是他要計(jì)算p.f.了：?3600(x)?px(1?p)3600?xfor0≤x≤3600?0otherwisef(x∣n=3600,p=0.00125)=3600(x)p(1?p)3600?x似乎以同等的速度變?，?整體卻變化不?，于是我們對相x這個(gè)式??常有意思，當(dāng)參數(shù)變?的時(shí)候，參數(shù)鄰的兩個(gè)隨機(jī)變量值做個(gè)?較（以下把X擴(kuò)展到在0到n之間變化）()p(1?p)n(x)px+1(1?p)n?x?1f(x+1)f(x)=(n?x)p=(x+1)(1?p)np≈x+1那么根據(jù)這個(gè)?值，如果我們設(shè)λ=np那么我們會(huì)有?個(gè)遞歸關(guān)系：f(1)=f(0)λ2λλf(2)=f(1)2=f(0)23λλf(3)=f(2)3=f(0)6?λλnf(n)=f(n?1)n==f(0)n!因?yàn)閒是?個(gè)近似來的p.f.那么我們需要讓他滿?我們的條件，?如，所有隨機(jī)變量對應(yīng)的概率求和是1.∞∑x=0f(x)=1因?yàn)檎麄€(gè)關(guān)系式能調(diào)整的部分就只有f(0)了，那么我們只好調(diào)整初始化條件來使得p.f.成?了，∞∑λnx=0f(0)n!=1∞∑λnf(0)x=0n!=1∞∑λnfor:x=0n!=eλso:f(0)=e?λ所以我們只需要讓f(0)=e?λ即可，關(guān)于求和等于eλ的計(jì)算可以參開微積分書籍。那么我們就有了?個(gè)新的能夠近似上??項(xiàng)分布的新分布——PoissonDistribution：e?λλxforx=1,2,3,…x!f(x∣λ)={0otherwise這個(gè)分布就是我們今天的主?，也是概率論中?常重要的?個(gè)分布，可以?來描述?段時(shí)間內(nèi)某事發(fā)?的次數(shù)的模型。DefinitionPoissonDistribution.Letλ>0.ArandomvariableXhasthePoissonDistributionwithmeanλifthep.f.ofXisasfollow:e?λλxx!forx=1,2,3,…f(x∣λ)={0otherwise還是傳統(tǒng)的定義?法，告訴你，這個(gè)式?是泊松分布~泊松分布的均值MeanTheoremMean.ThemeanofPoissonDistributionwithp.f.equaltoupsideisλ.怎么樣！神奇不神奇~均值是λ我們接下來就來證明這?點(diǎn)。直接使?期望的定義∞∑E(X)=x=0xf(x∣λ)當(dāng)x=0時(shí)，值為0，我們直接從1開始∑e?λλxE(X)=x=0xx!∞∑e?λλx=x=1(x?1)!∞∑e?λλx?1=λx=1(x?1)!ifwesety=x?1∞∑e?λλy=λy=0y!∞e?λλy這樣∑y=0y!變成了?個(gè)對p.f.為f(y∣λ)的概率函數(shù)求和的計(jì)算，結(jié)果必然為1，那么我們就證明了泊松分布的期望是——λ泊松分布的?差VarainceTheoremVariance.ThevarianceofPoissondistributionwithmeanλisalsoλ意外不意外！驚喜不驚喜！依舊是λ證明：我們將?到和上?證明期望?樣的?法就是通過湊，來使得求和??變成p.f.的樣?∑E[X(X?1)]=x=0x(x?1)f(x∣λ)∞∑=x=2x(x?1)f(x∣λ)∞∑e?λλx=x=2x(x?1)x!∞∑e?λλx?2=λ2x=2x?2!Wesety=x?2∞∑e?λλyy!E[X(X?1)]=λ2y=0=λ2然后我們祭出我們的?招E[X(X?1)]=E[X2]?E[X]=E[X2]?λ=λ2所以E[X2]=λ2+λ那么Var(X)=E[X2]?E2[x]=λ2+λ?λ2=λ?此證畢，構(gòu)造了E[X2]然后求出了Var(X)泊松分布的距?成函數(shù)m.g.f.接著我們研究第三??具，m.g.f.TheoremMomentGeneratingFunction.Them.g.f.ofthePoissondistributionwithmeanλisψ(t)=eλ(et?1)forallrealt證明如下：∞∑etxe?λλx∞∑(λet)xψ(t)=E(etX)=x=0x!=e?λx=0x!根據(jù)e級數(shù)性質(zhì)∞∑(λet)xx!=eλetx=0那么我們對于?∞<t<∞有：ψ(t)=e?λeλet=eλ(et?1)有了m.g.f就能得到期望，?差或者其他階距。泊松分布隨機(jī)變量相加TheoremIftherandomvariableX1,…,XkareindependentandifXihasPoissondistributionwithmeanλ(i=i1,…,k),thenthesumX1+?+XkhasthePoissondistributionwithmeanλ1+?+λk擁有相同參數(shù)的?項(xiàng)分布可以進(jìn)?加法運(yùn)算，這?點(diǎn)我們前?就已經(jīng)證明過了，今天要證明的是Poisson分布也能進(jìn)?加法，?且不需要參數(shù)?致，?到的?法是?m.g.f進(jìn)?分析：證明：?先令ψ(t)來定義Xi的m.g.f.并且Xi是均值為iλi的Poisson分布。并且X1,…,Xn之間相互獨(dú)?，那么對于?∞<t<∞我們有：kkψ(t)=Πi=1ψi(t)=Πi=1eλ(et?1)i(λ+?+λ)(et?1)=e1k結(jié)合前?泊松分布的m.g.f.可見定理成?。?項(xiàng)分布的泊松近似ThePoissonApproximationtoBinomialDistributions接下來我們研究?下泊松分布近似?項(xiàng)分布的詳細(xì)內(nèi)容。TheoremClosenessofBinomialandPissonDistribution.Foreachintegernandeach0<p<1,letf(x∣n,p)denotethep.f.ofthebinomialdistribtuionwithparametersnandp.Letf(x∣λ)denotethep.f.ofthePoissondistributionwith∞meanλ.Let{P}nn=1beasequenceofnumbersbetween0and1suchthatlimn→∞np=λ.Thennlimn→∞f(x∣n,p)=f(x∣λ)nforallx=0,1…定理表明了?項(xiàng)分布和Poisson分布的近似關(guān)系，雖然我們在開篇的例???已經(jīng)提到了?Poisson分布來近似n?較?，p?較?，np?不?的問題，但是我們還是需要從理論上分析下?項(xiàng)分布和Poisson分布到底有什么關(guān)系。證明：?先我們寫出?項(xiàng)分布n(n?1)…(n?x+1)xp(1?p)n?xnnf(x∣n,p)=nx!提?，把組合運(yùn)算展開寫的。然后我們令λn=npn那么limλ=λ這樣我們就有n→∞nxλnn?1nn?x+1λnλn(1?n)n(1?n)?xf(x∣n,p)=x!n?nn…n對于每個(gè)x≥0來說，我們有：nn?1n?x+1λn(1?n)?x=1limn→∞n?n…n這個(gè)是微積分要解決的問題，不知道的同學(xué)需要去參考下微積分的知識。上?中倒數(shù)第?個(gè)定理，我們沒有證明，但是那個(gè)結(jié)論在這?還需要再次使?λnlimn→∞(1?n)n=e?λ所以e?λλxlimn→∞f(x∣n,p)=x!=f(x∣λ)n證畢。接下來這個(gè)定理是說超?何分布和Poisson分布之間的關(guān)系的，沒有證明，但是可以參考下結(jié)論。TheoremClosenessofHypergeometricandPoissonDistribution.Letλ>0.LetYhavethePoissondistributionwithmeanλ.ForeachpostiveintegerT,letAT,BT,andnTbeintegerssuchthatlimT→∞nTAT/(A+B)=λ.LetXTTThavethehypergeometricdistributionwithparametersAT,BTandnT.Toreachfixedx=0,1,…，Pr(Y=x)limT→∞Pr(X=x)=1t泊松過程PoissonProcesses前?我們第?個(gè)例?說的如何估算在?個(gè)?時(shí)內(nèi)到店的客戶，那么如果是我想知道半個(gè)?時(shí)或者15分鐘的顧客數(shù)量呢？難道是要?2.25個(gè)或者1.125個(gè)作為平均數(shù)的PoissonDistribution建模么？于是我們使?Poisson過程來對這種情況建模。DefinitionPoissonProcess.APoissonprocesswithrateλperunittimeisaprocessthatsatisfiesthefollowingtwoproperties:i:ThenumberofarrivalsineveryfixedintervaloftimeoflengththasthePoissondistributionwithmeanλtii:Thenumbersofarrivalsineverycollectionofdisjointtimeintervalsareindependent泊松過程滿?兩點(diǎn)要求，?先固定