彈性力學(xué)04習(xí)題

習(xí)題4-1

試導(dǎo)出位移分階段量的坐標(biāo)變換式uv

S習(xí)題4-2

設(shè)有內(nèi)徑為

a

而外徑為

b

的圓筒受內(nèi)壓力

q

，試求內(nèi)半徑及外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。解：軸對稱問題的徑向位移公式（平面應(yīng)變）：對于圓筒軸對稱問題，有ur

不隨變化，即又由位移單值條件，有常數(shù)A、B由應(yīng)力邊界條件確定。應(yīng)力分量：邊界條件：習(xí)題4-3設(shè)有剛體，具有半徑為b

的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置一外半徑為b而內(nèi)半徑為a的圓筒，受內(nèi)壓力q

，試求圓筒壁的應(yīng)力。解：剛體邊界條件：代入邊界條件，有將常數(shù)A、C

代入，有將常數(shù)A、C

代入，有剛體習(xí)題4-4矩形薄板受純剪，剪力集度為q，如圖所示。如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。45°xyrxyr(a)解：由圖（a）給出的孔邊應(yīng)力結(jié)果：得：p2a思考題1.有一薄壁圓筒的平均半徑為R

，壁厚為t

，兩端受相等相反的扭矩

M

作用。現(xiàn)在圓筒上發(fā)現(xiàn)半徑為a

的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最大應(yīng)力如何？最大應(yīng)力發(fā)生在何處？思考題2.有一薄壁壓力容器，其平均半徑為R

，壁厚為t

。現(xiàn)在容器壁上發(fā)現(xiàn)一半徑為a

的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最大應(yīng)力如何？最大應(yīng)力發(fā)生在何處？xyOqq習(xí)題4-5

楔形體在兩側(cè)受有均布剪應(yīng)力q，如圖所示。試求其應(yīng)力分量。解：（1）應(yīng)力函數(shù)

的確定由因次分析法，可知代入相容方程：得到：（2）應(yīng)力分量的確定xOyqq由對稱性，應(yīng)為

的偶函數(shù)；應(yīng)為

的奇函數(shù)，

因而有，（3）由邊界條件確定常數(shù)邊界條件：代入，有：代入應(yīng)力分量式，有xOyqq代入應(yīng)力分量式，有習(xí)題4-6

三角形懸臂梁在自由端受集中荷載P，如圖所示。試用公式（4-21）求任一鉛直截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并與材料力學(xué)中的結(jié)果對比。xyOP解：由密切爾（

J.H.Michell

）解答，得由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式：（4-21）——密切爾（

J.H.Michell

）解答由坐標(biāo)變換式：x材料力學(xué)結(jié)果：截面彎矩xyOP截面慣性矩截面正應(yīng)力兩者結(jié)果相差較大。習(xí)題4-7

曲梁在兩端受相反的兩個力P作用，如圖所示。試求其應(yīng)力xyrabOPP分量。解：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定分析：任取一截面，截面彎矩為（a）將其代入相容方程：上述歐拉方程的解：（b）代入應(yīng)力函數(shù)為（c）（2）應(yīng)力分量的確定（d）邊界條件：代入應(yīng)力分量得：端部條件（左端）：代入剪應(yīng)力分量得：（f）聯(lián)立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP（e）自然滿足（（d）d）其中，代入應(yīng)力分量式（d），有：（f）xyrabOPP習(xí)題4-8設(shè)有無限大的薄板，在板內(nèi)的小孔中受有集中力P，如圖所示。試用如下應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。提示：須要考慮位移單值條件。解：（1）應(yīng)力分量r（2）確定常數(shù)取一半徑為r

的圓板為隔離體，其上受力如圖。由圓板的平衡，得代入應(yīng)力分量，有r代入應(yīng)力分量，有恒等式（3）由位移單值條件確定常數(shù)

Ar其中：由物理方程與幾何方程：應(yīng)力分量：積分得：代入：將ur

代入積分得：將

ur

u

代入r,要使上式對任意的r、成立，有其中：L為常數(shù)。（a）（b）求解式（a），