變換群置換群與循環(huán)群課件

1.彭姝Email:pengshu@實(shí)驗(yàn)室:軟件樓3102.顧俊Email:gujun@

實(shí)驗(yàn)室：軟件樓3103.趙一鳴BBS:zhymEmail:zhym@每周三交作業(yè)1.彭姝§2變換群、置換群與循環(huán)群例13.8:證明不等邊長(zhǎng)方形所有對(duì)稱的集合,關(guān)于其合成

構(gòu)成群。B4={e,

,

,

},[B4;

]是4元素群,稱為Klein四元群?！?變換群、置換群與循環(huán)群例13.8:證明不等邊長(zhǎng)方形所有一、變換群變換:非空集合S到S的一個(gè)映射,當(dāng)映射是一一對(duì)應(yīng)時(shí),稱為一一變換。SS表示S到S的所有映射全體組成的集合,SS={f|f:S

S}，[SS;

]是半群。是擬群。不是群T(S)表示S上所有一一變換組成的集合。T(S)={f|f

SS,且f為一一對(duì)應(yīng)}[T(S);

]是群一、變換群變換:非空集合S到S的一個(gè)映射,定義13.5:設(shè)G

T(S),當(dāng)[G;

]為群時(shí),就稱該群為變換群,其中

為一一變換的合成(復(fù)合)運(yùn)算,并稱為變換的乘法。定理13.9:[T(S);

]是一個(gè)變換群。變換群不一定是交換群定義13.5:設(shè)GT(S),當(dāng)[G;]為群時(shí),就稱該群為二、置換群定義13.6:設(shè)S

,|S|<+

,S上的一個(gè)一一變換稱為置換。S上的某些置換關(guān)于乘法運(yùn)算構(gòu)成群時(shí),就稱為置換群。若|S|=n,設(shè)S={1,2,

,n},其置換全體組成的集合表示為Sn;[Sn;

]是一個(gè)置換群,n次對(duì)稱群。二、置換群定義13.6:設(shè)S,|S|<+,S上的一個(gè)一S上的置換

Sn,習(xí)慣上寫成這里

(i)即為i在函數(shù)

下的象，這里1,2,

,n次序無(wú)關(guān)，即S上的置換Sn,習(xí)慣上寫成這里(i)即為i在函數(shù)變換群置換群與循環(huán)群課件n次對(duì)稱群Sn是有限群,問(wèn)|Sn|=?S上的一一變換個(gè)數(shù)有多少?S上的一一變換個(gè)數(shù)是n!,即|Sn|=n!。下面以三次對(duì)稱群S3為例，考察群運(yùn)算。n次對(duì)稱群Sn是有限群,問(wèn)|Sn|=?變換群置換群與循環(huán)群課件定義13.7:設(shè)|S|=n,

Sn,形如:其中2≤d≤n。這種形式的置換叫做循環(huán)置換,稱其循環(huán)長(zhǎng)度為d。上述

可寫為

=(i1,…,id)，其中在變換

下的象是自身的元素就不再寫出。特別,當(dāng)d=2時(shí)稱為對(duì)換。定義13.7:設(shè)|S|=n,Sn,形如:其中2≤d≤定理13.10:Sn中的任一個(gè)置換均可分解為不含公共元的若干個(gè)循環(huán)置換的乘積。證明:對(duì)n作歸納n=1,成立假設(shè)當(dāng)|S|n-1,結(jié)論成立(n>1)當(dāng)|S|=n,任取Sn中的置換

由元素1出發(fā)取上的循環(huán)置換推論13.1:任意一個(gè)置換可以分解為若干個(gè)對(duì)換的乘積。定理13.10:Sn中的任一個(gè)置換均可分解為不含公共元的若干說(shuō)明分解不唯一說(shuō)明分解不唯一定理13.11：任意一個(gè)置換可分解成對(duì)換的乘積,這種分解是不唯一的,但是這些對(duì)換的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)卻完全由置換本身確定。對(duì)一個(gè)置換，它可能有不同的對(duì)換乘積，但它們的對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性則是一致的。定義13.8：一個(gè)置換的對(duì)換分解式中,對(duì)換因子的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)稱該置換為偶置換,否則,稱它為奇置換。定理13.11：任意一個(gè)置換可分解成對(duì)換的乘積,這種分解是長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換(i1i2…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-2ik-1)(ik-1ik)

共k-1個(gè)對(duì)換所以當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，該循環(huán)為偶置換當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，該循環(huán)為奇置換推論13.2：一個(gè)長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),它是一個(gè)偶置換;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),它是一個(gè)奇置換。長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換推論13.3：每個(gè)偶置換均可分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為3的循環(huán)置換的乘積,循環(huán)置換中可以含有公共元。證明:對(duì)任兩個(gè)對(duì)換:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推論13.3：每個(gè)偶置換均可分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為3的循環(huán)置推論14.4：Sn中的奇、偶置換在置換的乘法運(yùn)算下,其奇偶性由下表給出:

偶置換奇置換 偶置換偶置換奇置換奇置換奇置換偶置換

恒等置換看作為偶置換Sn=On∪AnOn∩An=偶置換與偶置換的乘積仍是偶置換，

是An上的運(yùn)算[An;

]是代數(shù)系統(tǒng)。推論14.4：Sn中的奇、偶置換在置換的乘法運(yùn)算下,其奇偶性1.封閉性2.結(jié)合律當(dāng)然成立3.恒等置換e

An4.對(duì)于

An,在Sn中有逆元-1,

-1也是偶置換推論13.5：對(duì)稱群Sn中所有偶置換組成的集合,記為An,關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群。1.封閉性定義13.9：稱上述[An;

]為n次交待群。由于An中每個(gè)元素都是置換,因此根據(jù)置換群的定義可知[An;

]也是置換群.|An|=?若n=1，Sn只有一個(gè)置換——恒等置換，它也是An的元素，|An|=1。若n>1,|An|=|On|=定義13.9：稱上述[An;]為n次交待群。例：G={g1,g2,

gn},[G;

]是群,對(duì)任意g

G,定義映射

g:G

G,使得對(duì)任意g'

G,有

g(g')=g

g'。設(shè)

={

g|g

G},則[

;

]是置換群。這里是關(guān)于映射的復(fù)合運(yùn)算.證明:(0)

是上的運(yùn)算(1)

是滿足結(jié)合律的.(2)存在單位元(3)對(duì)任意

g

,存在逆元(4)g是G上的置換例：G={g1,g2,gn},[G;]是群,對(duì)任意g三、循環(huán)群1.元素的階定義13.10:設(shè)G為群,e是G的單位元，對(duì)于a

G,如果存在最小正整數(shù)r，使得ar=e，則稱r為元素a的階;也可稱a是r階元。若不存在這樣的r，則稱a為無(wú)限階元或說(shuō)a的階無(wú)限。三、循環(huán)群1.元素的階元素a的階有限的特征：若元素a的階有限，則存在k,l

Z(k

l),使ak=al，如果a的任意兩個(gè)冪都不相等,則元素a的階無(wú)限