2022-2023學(xué)年廣東省陽江市海陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣東省陽江市海陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考

試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.給出下列關(guān)于互不相同的直線加、？、"和平面尸的四個(gè)命題：

①若冽ua,＜，點(diǎn)4?冽，則？.與次不共面；

②若掰、，是異面直線，用〃a,且耳JJ,nLm,則"_La；

③若///a,mH"&〃民則〃/次；

④若/ua,刑ua,/Pl加=4〃/尸，冽〃尸，則&〃#,

其中為真命題的是

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②.③

參考答案：

C

’04x52,

2.設(shè)不等式組,表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)

到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是

nJT-2n4-n

(A)4(B)2(C)6(D)4

參考答案：

D

0<x￡2

(

L'題目中1°￡A02表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在

3

2x2--7T2A_

P=-------=_

的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此

故選Do

JI

3.己知sin6+COS6=5,8G（0,外），則tanS的值為

43

B.-4

A.~3C.3或3D.3或4

參考答案：

A

略

n③1

a=：cos2a=—

4."6"是"2"的

A.充分而不必要條件必要而不充分條件

C.充分必要條件既不充分也不必要條件

參考答案:

略

5.設(shè)。=R,4=（x|x>0）,5=（x|x>l）,則4ng/）=

力8.{X|°<XMDC.*|X<0}R{X|X>D

參考答案：

B

略

6.“a=3”是“設(shè)函數(shù)/（x）=|x+l|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=i對稱,，的（），

力充分不必要條件8.必要不充分條件

C充要條件。既不充分也不必要條件

參考答案：

C

7.已知集合Z&3,'z）（其中，為虛數(shù)單位），月={4},則復(fù)數(shù)z

為

A.B.2ic.~4iD.4a

參考答案：

c

8.已知函數(shù)f（x）在K上可導(dǎo),則“八。）=°”是“（不）為

函數(shù)/（*）的極值”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

C

由“八。）=0”不可以推出為函數(shù)/（X）的極值”，同時(shí)由“八不）為函數(shù)

的極值”可以推出，所以"3=0”是“小。為函數(shù)的

極值”的必要不充分條件.故答案選c.

9.已知理?"是兩條不同直線，a/.，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）

A.若冽/a,N#a.則加步”B.若a，匕萬則a/尸

c.若加/a.m/￡,則a/尸D若冽《La.NJLa則愜#n

參考答案：

D

略

10.設(shè)「二作舊二一上+1,xeR},Q={y\y=^,xGR},則

(A)PQQ(B)gP

(C)RPQQ(D)QGRF

參考答案：

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

RtMBC^,3>1。瓦斜邊上的高為配則4=口+-^,

11.在%CACB類比此性質(zhì)，如下

圖，在四面體P-ABC中，若PA,PB,PC兩兩垂直，底面成上的高為h,則得到的正

確結(jié)論為____________________________________

B

參考答案:

111

答案：麗麗記

j伙「超收-2）

12.已知隨機(jī)變量自服從二項(xiàng)分布3的值為

參考答案：

80

243

略

13.已知某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是

參考答案:

7

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)以側(cè)視圖為底面的柱體，計(jì)算出柱體的

底面面積和高，代入棱柱體積公式，可得答案.

【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)以側(cè)視圖為底面的柱體,

17

棱柱的底面積S=2X2-2X1X1=2,

棱柱的高h(yuǎn)=2,

故棱柱的體積V=Sh=7,

故答案為：7；

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形

狀是解答的關(guān)鍵.

_L._L

14.直線ax+2by+2=0與圓x2+y2=2相切，切點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則a'b’的最小值

為—,

參考答案：

9

2

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

2

【分析】由題意可得a>0,b>0且即3+痣2=血.故有a2+4b?=2,再利用基本不等式

99

求出”b2的最小值.

【解答】解：若直線ax+2by+2=0與圓x?+y2=2相切于第一象限，則a>0,b>0且圓心到

2

直線的距離等于半徑，即Va2+4b2=V2.

故有a2+4b2=2,

2,2

1A_A19

)(a2+4b2)=2(5+b+a')>2(5+4)=2,

99-19—

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，等號成立，即ab’的最小值為2,

_9

故答案為萬.

X+2=1

<2x+1ysm6+攵=2

15.若關(guān)于％的三元一次方程組xsm"+z=3有唯一解，則6的取值的集

合是-------------------.

參考答案:

(0\9^kn+^,keZ]

16.已知數(shù)列｛O?｝的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列kJ

滿足x-3.r+x?-x,-39,*=唾：=女，則5-.

參考答案：

【知識點(diǎn)】等差數(shù)列；等比數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.D2D3

“人—4.一ta,=log,.*=>—=logtx.

3解析：設(shè)%=71=%.2=k,則4,

1,1.

-=1O81^P—=1。翻心2,I

同理,因?yàn)閿?shù)列什丁的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差

數(shù)列，所以210gt41=log/A+lo&t、2=4="??，，所以數(shù)列kJ是等比數(shù)列，

把玉=3代入七+巧+為=39得公比q=3（負(fù)值舍去），所以4=3、廣|=3".

【思路點(diǎn)撥】設(shè)碎='弟=篇3=k,利用指數(shù)與對數(shù)互化及對數(shù)換底公式得

1,

-=］。8"?

1”

%.】一°凱'"-08***\再由｛"J的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，以

及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得儀1=*小2,所以數(shù)列k”）是等比數(shù)列，又因?yàn)椴贰垢黜?xiàng)都是正數(shù)

且

x-3占+公-匕-39,得公比q，從而求得。.

17.已知（1+ax）0+x）5的展開式中X2的系數(shù)為5,則a=

參考答案：

-1

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題共13分）

己知函數(shù)/（力=如3--+玩（dbeR）,/'（X）為其導(dǎo)函數(shù)，且X=3時(shí)/。。有極小值

-9.

（I）求/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若不等式炊xlnx-1）-6x-4（左為正整數(shù)）對任意正實(shí)數(shù)X恒成立，求

上的最大值.（解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù)：皿7.1處，Ing何208）

參考答案：

（I）“（機(jī)―?2x+6,因?yàn)楹瘮?shù)在x-3時(shí)有極小值-9,

p7o-6+i-0

所以127a_9+3&--9,從而得

1v,

3,?…2分

所求的弓所以八機(jī)』?2廣3,

由廣（x）<0解得一1<x<3,

所以/口）的單調(diào)遞減區(qū)間為

（T3）

4分

（II）因?yàn)椋?）=1_如_3,所以/（X）〉左（xlnx_l）_6%_4等價(jià)于

E+1...八

/+4x+l〉M；dnx-D,即X+丁+4/門>。

6分

g(x)=x+2+4—上Inx

記才

（/、，匯+1上（x+l）（為一七一1）

S（X）=1—~—_=2

則XXX,

由g'（x）=0,得mt+1,

所以在（0，々+D上單調(diào)遞減，在6+L+8）上單調(diào)遞增,

所以

g(x)2g(上+1)=左+6—左ln&+l),

...8分

g(x)>。對任意正實(shí)數(shù)X恒成立，

等價(jià)于上+6-2In/+D>0,即“工-皿"+"°.

分

〃(x)=1+--ln(x+l)

記彳，

則、(制一^^+T<0,所以打(工)在(°，+°°)上單調(diào)遞減,

A(6)=2-ln7>0,A(7)=—-ln8<0

又7,

所以上的最大值為

6.

.........13分

【注：若有其它解法，請酌情給分.】

19.(13分)如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為

尸Asin(3x+2")

曲線段FBC,該曲線段是函數(shù)3(A>0,3>0),xe[-4,0]時(shí)的

圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B(-1,2).賽道的中間部分為長逐千米的直線跑道CD,且

CD//EF.賽道的后一部分是以0為圓心的一段圓弧施.

(1)求3的值和ND0E的大小;

(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形0DE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路

EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑0D上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧嬴上，且NP0E=。，求當(dāng)"矩形草

坪”的面積取最大值時(shí)e的值.

參考答案：

【考點(diǎn)】：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題；三角函數(shù)的最值.

【專題】：計(jì)算題.

工2K

【分析】：（1）依題意，得A=2,根據(jù)周期公式T=k可得3,把B的坐標(biāo)代入

結(jié)合已知可得4）,從而可求NDOE的大??；

（2）由（1）可知OD=OP,矩形草坪的面積S關(guān)于6的函數(shù)，有結(jié)合正弦

函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最大值.

解：（1）由條件，得A=2,4.（2分）

7T

6.(4分)

曲線段FBC的解析式為尸,‘in（飛

兀JT

當(dāng)x=o時(shí)，y=oc=V3.XCD=V3,.-ZCOD=-4'即/DOE*.(7分)

（2）由（1）,可知0口小后.

又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，故0P=加.（8分）

設(shè)NPOE=o,4,“矩形草坪”的面積為

S=V^sin9(%cos8-^/gsin9)=6(sin8cos9-sin29)

=63或8+手。$26-,）=37^（28+?）-3,（］3分）

0<e<—當(dāng)29+工上時(shí)，9=工時(shí)，￡

4,故428取得最大值.（15分）

【點(diǎn)評】：本題主要考查了在實(shí)際問題中，由丫=人5m（3X+6）的部分圖象確定函數(shù)的

解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過的特殊點(diǎn)確定周期T,利用

周期公式求3,再把函數(shù)所給的點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）的坐標(biāo)代入求小，從而求出函數(shù)的

解析式；還考查了實(shí)際問題中的最值的求解.關(guān)鍵是要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來求

解.

20.（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

n

已知傾斜角為W的直線e經(jīng)過點(diǎn)pa,1）.

（I）寫出直線1的參數(shù)方程；

/+/=砒交于48兩點(diǎn),求」-+」-

（H）設(shè)直線1與I戶川1尸網(wǎng)的值。

參考答案：

X=1-Ficos—

4

?…?7r

y=sin—

（I）直線？的參數(shù)方程為I'4,即

.g

X1+

=42

g

y:41+

24分

I0，

?X=]+----122A

（H）將I2代入x=4,化簡整理得:

應(yīng)

J+2f-2=06分

所以,

|A4|x|P5|=同咽|=卜x/2|=p2|=2

.....7分

因?yàn)橹本€,經(jīng)過圓心，所以，

p小四=|第=4………&

分

所以，

11附+閥4

四|P5|=|A4|xp5|2

.....io分

21.已知函數(shù)f(x)=e*(ax+b)+x~+2x,曲線y=f(x)經(jīng)過點(diǎn)P(0,1),且在點(diǎn)P處的

切線為1：y=4x+l.

(I)求a,b的值；

(II)若存在實(shí)數(shù)k,使得xG[-2,-l]0'if(x)》x'+2(k+1)x+k恒成立，求k的取

值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

B(0)=4

【分析】(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率，以及函數(shù)值得到If(°)=1,即可

求a,b的值；

(II)xG[-2,-1],f(x)2x?+2(k+1)x+k恒成立，推出k的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)求

解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最值，即可求k的取值范圍.

【解答】解：(I)f'(x)=ex(ax+a+b)+2x+2…

,，(°)=4(a+b+2=4(a=l

依題意，If(0)=1,HPIb=l,解得ib=l.…

(II)由f(x)與x，2(k+1)x+k得：e5(x+1)>k(2x+l).

Vxe[-2,-1]時(shí)，2x+l<0,

/.f(x)》x，2(k+1)x+k即e*(x+1)(2x+l)恒成立，

J(x+1)

當(dāng)且僅當(dāng)k/―2x+l

xg，(x)5(2x2+3?

(\e(x+1)crn11

g(x)=---------，xtI-2,-1](2x+l)2

設(shè)2x+l

,_x=0(舍去)，

由g(x)=0得2…

*x€(-2,--1)時(shí)，g'(x)>0

7時(shí)，g’(x)<0.g(x)=e'(；l)在區(qū)間L2,-1]