勾股定理中的數(shù)學思想方法

勾股定理中的數(shù)學思想方法

認知維度效果：了解三種典型的證明方法：認知和應(yīng)用證明中包含的數(shù)學概念和方法，體驗代數(shù)和幾何的密切聯(lián)系。文化維度效果:從歷史的角度為勾股定理證明的數(shù)學活動注入文化意義,在教學過程中實踐多元文化關(guān)懷.情感維度效果:以古今中外數(shù)學家們的創(chuàng)造過程為載體,展現(xiàn)廣闊而生動的人文背景,促使學生從學習中獲得成功的享受和進一步學習的動力.教學重點:從勾股定理證明的歷史中體現(xiàn)文化價值.教學難點:定理的證明中所蘊涵的思想方法的提煉和應(yīng)用.教學對象:九年級學生.教學過程:1勾股定理證明問題1:(圖1)這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會(ICM-2002)的會標,也是1700多年前我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的“弦圖”(圖2).它是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形構(gòu)成的大正方形.直角三角形的三條邊分別為a、b、c,你能否說說他是怎么證明的?問題2:迄今為止,勾股定理的證明方法已超過了500種.有一種證法,被稱為“總統(tǒng)”證法,是美國第20屆總統(tǒng)伽菲爾德證明的.他怎么會去證明勾股定理呢?事情的經(jīng)過是這樣的…….如圖3,你能解讀他的證法嗎?[設(shè)計意圖]以“講故事”的形式向?qū)W生介紹直觀、簡捷、明了的兩種證明,是臺灣學者洪萬生指出的教師應(yīng)用數(shù)學史進行教學的第一個層次.它成功地吸引了學生的注意,激發(fā)學生的學習熱情.①趙爽的“弦圖”證明,通過這個史實讓學生了解到中國古代的燦爛文化.②伽菲爾德的證明,通過這個史實讓學生欣賞和分享不同文化背景數(shù)學成果.問題3:還有一種證法憑借嚴謹?shù)倪壿嫼屠硇缘耐评?在眾多證法中獨樹一幟,這是歐幾里得在《幾何原本》中給出的證法.讓我們一起來賞析.第一步:分別以直角三角形的三邊為邊向外作面積分別為a2、b2、c2的三個正方形(圖4).連結(jié)CD、EF,證明ΔFAB≌ΔCAD.(如何證?)第二步:過點C作CL⊥DE于L,交AB于M,分別證明SΔFAB=S正方形AFHC,SΔCAD=S矩形ADLM.(可作出ΔFAB的AF邊上的高和ΔCAD的AD邊上的高.)第三步:S正方形AFHC=S矩形ADLM,S正方形CBKG=S矩形BELM.從而證明S正方形AFHC+S正方形BCGK=S正方形ABED.即:a2+b2=c2[設(shè)計意圖]歐幾里得證明方法的證明難度較大,若由學生揣摩、思考,教學中可能會花費大量的時間,而且未必有好的教學效果.另外還會使該堂課的重點發(fā)生偏離:由“勾股定理證明中所蘊涵的數(shù)學思想的提煉和運用”變成了“勾股定理的證明”.所以,在介紹這種證法時采用了賞析再加上適度合情推理的方式.2從學生的思維模式到個體思維的“梯級”問題4:以上三個證明方法中,蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法.你覺得它們精彩表現(xiàn)在哪些方面?[設(shè)計意圖]臺灣學者洪萬生指出教師應(yīng)用數(shù)學史的第二個層次是在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學家所提供的不同方法,拓寬學生視野,培養(yǎng)全方位的認知能力和思考彈性.鑒于此,通過對以上三種富有代表性的勾股定理驗證方法的分析,師生共同總結(jié)、歸納,讓學生明了三種證法中所隱含的數(shù)學思想:等積變形、數(shù)形結(jié)合等,為進一步教學埋下伏筆.問題5:(如圖5)分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個正方形,其面積分別用m、n、p表示,則m、n、p滿足m+n=p的關(guān)系(p>n>m).那么,我們?nèi)绻阉鞯恼叫胃臑樽魅齻€半圓(圖6),你能確定m、n、p之間的關(guān)系嗎?(1)那把它改為向外作三個正三角形,其面積分別用m、n、p表示(圖7),那么m、n、p之間的關(guān)系是否仍然成立,若成立,又如何證明?(2)若分別以直角三角形ABC的三邊為邊向外作三個一般三角形,其面積分別用m、n、p表示,為使m、n、p之間仍具有m+n=p關(guān)系,所作三角形應(yīng)滿足什么條件?你能總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論嗎?(請在課后思考).[設(shè)計意圖]歐幾里得在《幾何原本》中給出勾股定理的推廣定理“直角三角形斜邊上的一個直邊形,其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”.從此出發(fā),設(shè)計層次化例題.引導學生架起思維的“梯子”,讓學生經(jīng)歷應(yīng)用知識解決問題的過程,領(lǐng)會“從特殊到一般”的數(shù)學思想方法.問題6:對于邊長均為a的兩個正方形ABCD和EFGH,按圖8所示的方式擺放,再沿虛線BD,EG剪開后,可以按圖中所示的移動方式拼接為圖8中的四邊形BNED.從拼接的過程容易得到結(jié)論:①四邊形BNED是正方形;②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.(1)對于邊長分別為a、b(a>b)的兩個正方形ABCD和EFGH按圖9所示的方式擺放,你能通過合理的分割并把它拼成趙爽的“弦圖”嗎?(小組討論交流)預測可能出現(xiàn)的情況:第一種:對于邊長分別為a、b(a>b)的兩個正方形ABCD和EFGH,按圖10所示的方式擺放,連結(jié)DE,過點D作DM⊥DE交AB于M,作MN⊥DM,過點E作EN⊥DE,MN與EN相交于點N.可以證明四邊形MNED是正方形,并且S正方形MNED=a2+b2.只要將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后,如圖拼接,就能夠拼接為正方形MNED.第二種:根據(jù)面積不變,拼得的正方形的面積為a2+b2,邊長為a2+b2??????√a2+b2,當AB=a時,只要BN=b?AN=a2+b2??????√BΝ=b?AΝ=a2+b2,而BE=a+b,有NE=a,EF=b?NF=a2+b2??????√ΝE=a,EF=b?ΝF=a2+b2.如圖11,在BC上截取BN=EH=b,連結(jié)AN、NF,可以發(fā)現(xiàn)ΔABN≌ΔNEF,并得到AN⊥NF;再把ΔABN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)900,把ΔNEF繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)900得到正方形ANFP,得到“弦圖”.(2)對于n(n是大于2的自然數(shù))個任意的正方形,能否通過若干次拼接,將其拼接為一個正方形?請簡要說明你的理由.[設(shè)計意圖]改編2005年河北的中考試題,挖掘勾股定理證明的“數(shù)形結(jié)合”和“割、補”等思想方法,讓學生在合作交流中體會到勾股定理證明思想的精髓.3引用經(jīng)典問題7:勾股定理應(yīng)用極其廣泛,中國古代就有兩個名題,請大家請欣賞.(1)“將竹子折疊”九章計算，中國，公元前300年如圖12所示?，F(xiàn)在，竹子的高度是1英尺，現(xiàn)在是3英尺問折者高幾何?(2)引用兩個經(jīng)典名題水深、葭長各幾何?(師生共同分析,畫出草圖)[設(shè)計意圖]引用《九章算術(shù)》《詳解九章算法》中的兩個經(jīng)典名題,通過對這兩個歷史名題的欣賞,讓學生感受到勾股定理廣泛的應(yīng)用,進一步領(lǐng)悟勾股定理深厚的文化底蘊.4文化視角下的勾股定理問題9:勾股定理是幾何學中的明珠,充滿魅力.請你說說本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容?問題10:請你根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容,給這節(jié)課取一個合適的課題?(學生回答后,教師總結(jié):“文化視角下的勾股定理”.)[設(shè)計意圖]在學生回答的基礎(chǔ)上,教師給出《文化視角下的勾股定理》這一課題,這一與眾不同的小結(jié)方式,不僅突顯了學生的主體地位,也使學生進一步感受到勾股定理的文化內(nèi)涵.綜述:(1)對學生人文精神的培養(yǎng)是數(shù)學的價值追求全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準在“教材編寫建議”中指出:“教材內(nèi)容的編排和呈現(xiàn)要突出知識的形成和應(yīng)用過程,…應(yīng)關(guān)注對學生人文精神的培養(yǎng).”另外,臺灣學者洪萬生指出教師應(yīng)用數(shù)學史的第三個層次是從歷史的角度注入數(shù)學活動的文化意義,在數(shù)學教育過程中實踐多元文化關(guān)懷的理想.因此,教學設(shè)計以歷史史實為載體,關(guān)注對學生人文精神的培養(yǎng),在鑒賞這些優(yōu)美方法和巧妙的過程中,進一步感悟勾股定理的文化價值,樹立正確的數(shù)學觀.(2)思想方法.整合命題,拓展學生思維浙江師范大學張維忠教授指出:“相對于情感維度和文化維度而言,數(shù)學史的認知維度效果如何有效達成難度是最大的”[1.因此,本課提煉和運用思想方法,整合例題,促使