數(shù)值分析課程報告

插值法和多項式擬合的研究摘要在科研和生產(chǎn)實踐中，常常需要通過一組測量數(shù)據(jù)來尋找變量x與y的函數(shù)關(guān)系近似表達式。解決這類問題的方法有兩種：一種是插值法，另一種是擬合法。插值法的原理是用一個簡單函數(shù)逼近被計算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計算函數(shù)的函數(shù)值。擬合法能夠是從給定的一組實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找函數(shù)的一個近似表達式，該近似表達式能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢而又不一定過全部的點，即曲線擬合。本文主要介紹拉格朗日插值法、埃爾米特插值法、三次樣條插值法以及基于最小二乘法的多項式擬合。關(guān)鍵詞：拉格朗日插值，埃爾米特插值，樣條插值，多項式擬合1方法的意義在許多實際問題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，然而，這種關(guān)系經(jīng)常很難有明顯的解析表達，通常只是由觀察與測試得到一些離散數(shù)值。有時，即使給出了解析表達式，卻由于表達式過于復(fù)雜，不僅使用不便，而且不易于進行計算與理論分析。解決這類問題的方法有兩種：一種是插值法，另一種是擬合法。插值法的原理是用一個簡單函數(shù)逼近被計算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計算函數(shù)的函數(shù)值。它要求給出函數(shù)的一個函數(shù)表，然后選定一種簡單的函數(shù)形式，比如多項式、分段線性函數(shù)及三角多項式等，通過已知的函數(shù)表來確定一個簡單的函數(shù)(X)作為f(x)的近似，概括地說，就是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。插值法在實際應(yīng)用中非常廣泛，但是它也有明顯的缺陷，一是測量數(shù)據(jù)常常帶有測試誤差，而插值多項式又通過所有給出的點，這樣就是插值多項式保留了這些誤差；二是如果實際得到的數(shù)據(jù)過多，則必然得到次數(shù)較高的插值多項式，這樣近似的效果并不理想。擬合法能夠很好的解決這些問題，它從給定的一組實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找函數(shù)的一個近似表達式y(tǒng)=「(x),該近似表達式能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢而又不一定過全部的點，即曲線擬合的問題，函數(shù)的近似表達式丫=“)稱為擬合曲線。常用最小而二乘法來確定擬合曲線。2插值法的介紹2.1插值法定義設(shè)f(x)為［a,b］上的函數(shù)，在互異點xo,Xp…,xn處的函數(shù)值分別為f(x。)，f(xj,???，f(Xn),構(gòu)造一個簡單函數(shù)(x)作為函數(shù)f(x)的近似表達式y(tǒng)=f(x)」(x)，使g二f(X),i=0,1,2，…,n(1.0)則稱(X)為關(guān)于節(jié)點X0,X-!,???,Xn的插值函數(shù)；稱x0,x1,???,xn為插值節(jié)點；稱(Xif(Xi)),i=1,2，…，n為插值點；f(x)稱為被插值函數(shù)。式(1?0)稱為插值條件。這類問題稱為插值問題。插值的任務(wù)就是由已知的觀測點，為物理量(未知量)建立一個簡單的、連續(xù)的解析模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性。常用的插值函數(shù)類｛「(X)｝是代數(shù)多項式，相應(yīng)插值問題是代數(shù)插值，本文主要介紹三種代數(shù)差值：拉格朗日插值，埃爾米特插值和樣條插值。2.2拉格朗日插值2.2.1兩點插值問題已知y=f(x)(=0,1)，求滿足插值條件R(x)=y(i=o,i)的插值多項式R(x)。根據(jù)解析幾何知識可知，所求的R(x)為過點(xo,yo),(Xj,y)的直線，即:R(x)=yXo+—(x-xo)i—xox-Xo顯然lo(Xi)=(i=O)X.-Xiooio(1=1)1(i=1)上式經(jīng)整理可改寫為：式中l(wèi)°(X)二li(x)且lo(X)，h(X)為由插值節(jié)點唯一確定的線性函數(shù)。l°(x),l’(x)為節(jié)點Xo,Xir上的一次插值基函數(shù)?？梢钥闯?，節(jié)點XO,X1上的插值基函數(shù)的次數(shù)為插值節(jié)點個數(shù)減一，基函數(shù)組中所含的函數(shù)個數(shù)與插值節(jié)點數(shù)相同。而滿足R(Xi)=yi(i=O,1)的插值多項式P|(x)就是節(jié)點xo，x1上插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)分別為yo,y1。這種表示為插值基函數(shù)線性組合的一次插值多項式也就是一次拉格朗日插值多項式。當(dāng)給定n+1個插值節(jié)點后，可類似定義n次插值基函數(shù)，并以此構(gòu)造n次拉格朗日多項式。2.2.2n次拉格朗日插值多項式n次插值基函數(shù)：lk(x)二(k=O,1...n)(X_X。)…(X—Xkj(Xlk(x)二(k=O,1...n)(Xk—xo)???(XkXkJ(Xk-Xk1)…(Xk-Xn)顯然lk(x)具有以下性質(zhì):性質(zhì)1，lk(x)」_(k=O,1...,n)O(i=k)性質(zhì)2,lk(x)(k=O,1...,n)為由插值節(jié)點Xo,X15???,Xn唯一確定的n次函數(shù)性質(zhì)3,基函數(shù)組所含的基函數(shù)個數(shù)與插值節(jié)點個數(shù)相同

以n次插值基函數(shù)為基礎(chǔ)，可得拉格朗日插值多項式為：L(X)-l/X)\,L(X1Xo)(X1Xk」)(X1Xk"...(X1Xn)yL(X)lX)o)…kknyLn(X)lk(X)yknk￡7%—X0)...(Xk—x/Xk—兀出)…區(qū)一Xn(nn八(i【上乞皿k衛(wèi)」兀-乂TOC\o"1-5"\h\zkiji#nn若記「nl(X)(X-Xj),則有51(XQ八(兀-人)。于是-(X)也可寫成:7ii=#0nl(X)Ln(X)nl心(X—Xk>3n+(Xk)223拉格朗日插值多項式的余項Rn(X)=f(X)-Ln(X)稱為拉格朗日插值多項式的余項，也叫截斷誤差。yk用簡單的插值多項式Ln(x)代替復(fù)雜的函數(shù)f(x)yk用簡差是否滿足精度要求。拉格朗日型余項：RM二f(X)-Ln(X)(]((X)(n+1)!Rn(x)(n1)33(x)其中宀1&)「(x-X)，'-(a,b)且依賴于X。?！闱闆r下,匚e(a,b(的具體i=Q數(shù)值無法知道，但是若能夠求出maxf(ni)(x)Rn(x)(n1)33(x)由此看出，Rn(x)的大小除了與Mm有關(guān)外，還與插值節(jié)點有密切關(guān)系。當(dāng)給定m個點出的函數(shù)值，但僅選用其中n1(nT:::m)個作為插值條件而求某點x處函數(shù)值時，n+1個節(jié)點x0,x15???,xn的選取應(yīng)該盡可能的接近x,使得計算的函數(shù)值的誤差限盡可能的小。2.3埃爾米特插值

許多實際問題不但要求插值多項式與被插值函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值相當(dāng)，而且還需要求其導(dǎo)數(shù)值相等。滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特插值多項式?！闱樾蔚陌柮滋夭逯祮栴}—般情形的埃爾米特插值問題是指所滿足的插值條件中函數(shù)值的個數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的個數(shù)相等。即當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上n+1個節(jié)點Xj(i=0,1，…,n)處的函數(shù)值yj二f(xi)及導(dǎo)數(shù)值mAf(xi)給定時，要求一個次數(shù)不超過2n+1的多項式H2ni(x),使之滿足:日勿叩=久(i=0,1,???，n)H2nI")二m這里給出個2n+2個插值條件，可唯一確定一個形式為也川(刈二a。?ajX?a^；X2」1的多項式，但是要確定2n+2個系數(shù)非常復(fù)雜,因此此時可以借用構(gòu)造拉格朗日插值多項式的基函數(shù)。設(shè):“(xh/x)(j-0,1,...,n)為次數(shù)不超過2n+1的多項式，且滿足：(i,j=0,1,???,n)：.(xj='??,匸.(X.)=0-(i,j=0,1,???,n)?(XAO,■(G?■J-j(G-j則滿足上述條件的埃爾米特插值多項式可以寫成用插值基函數(shù)表示的形式:nH2n1j(x)y.：j(X)mj]上式滿足插值條件。可以得到基函數(shù):j(X),'j(X)的解析式為:_1—_1—2(x_X/為Ik=0Xj-兀lj2(x)(J=0,1,…n),Pj(x)=(x—Xj)lj2(x)(j=0,1,..n),式中l(wèi)j(x)為拉格朗日插值基函數(shù)因此埃爾米特插值多項式即為：n|n|H2n1兇八1_2(x_Xj)Ej=0lj2(x)y.、(冷勺^網(wǎng)■j=般情形下的埃爾米特插值多項式的余項為:(2n+2)!式中：；：=(a,b),且與x有關(guān)。埃爾米特插值的幾何意義：曲線y二tni(x)與曲線y=f(x)在插值節(jié)點處有相同的公共切線。在帶導(dǎo)數(shù)的插值問題中,有時插值條件中的函數(shù)值個數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個數(shù)不等。這時可以以一般情況的埃爾米特插值多項式為基礎(chǔ),運用待定系數(shù)法求出滿足插值條件的多項式。2.4樣條插值在上述方法中，我們根據(jù)區(qū)間［a,b］上給出的節(jié)點得以得到函數(shù)f(x)的插值多項式，但是并非插值多項式的次數(shù)越高，逼近函數(shù)f(x)的精度越好，主要原因是因為對于任意的插值節(jié)點，當(dāng)n》時，插值多項式Pn(x)不一定收斂到f(x)。這種高次插值不準(zhǔn)確的現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象。為了避免高次插值的缺點，人們常常采用分段插值的方法,即將插值區(qū)間分為若干個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上運用前面介紹的插值方法構(gòu)造低次插值多項式。采用分段現(xiàn)象插值與分段二次插值,可以構(gòu)造一個整個連續(xù)的函數(shù),而采用分段三次埃爾米特插值則可以構(gòu)造一個整體上具有一節(jié)連續(xù)導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)。實際問題中,很少給出插值點上的導(dǎo)數(shù)值。三次樣條插值就是在只給出插值點上函數(shù)值的情況下,構(gòu)造一個整體上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)。2.4.1三次樣條插值函數(shù)的定義設(shè)區(qū)間［a,b］上取n+1個節(jié)點a=X。；咅：：：x2::…：：：xnJ<x,d=b，若函數(shù)S(x)滿足條件：在整個區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)⑵在每個小區(qū)間［Xy，x］(i=0,1，…,n)上是x的三次多項式(3)S(x)=yi(i=0,1,??n),則稱S(x)為f(x)的三次樣條插值。S(x)的邊界條件為：給定兩端點處的一階導(dǎo)數(shù)值,記為：S(Xo)=m°，S(Xn)=m給定兩端點處的二階導(dǎo)數(shù)值，記為:S(X°)=M°,s(Xn)二M此外，對S(Xo)=S(Xn)=0的邊界條件稱為自然邊界條件2.4.2三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，就是要寫出它在子區(qū)間［X」xj(i=0,1n)上的表達式，記為S(x)(i=0,1，…,n)。一、用節(jié)點處一階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)記節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)值為S(x)二mi(i=0,1,...,n)，若已知mi后，則S(x)在［X」X］(i=0,1，…,n)上就是滿足條件S(xi」)=yi」，S(xi)=yi，(i=0,1,...,n)S(4)=m」，S(x)=mi(i=0,1,-5n)的三次埃爾米特插值多項式。步驟如下：根據(jù)S(x)，S(x)在內(nèi)階段的連續(xù)性及插值條件，運用［Xj/Xj上的二點三次埃爾米特插值多項式，寫出S(x)用mi(i=0,1,...5n)表示的形式。利用S(x)在內(nèi)節(jié)點Xi(i=0,1，…，n-1)的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含mi(i=0,1,...,n)的n+1階線性方程組。求解含mi(i=0,1,...,n)的線性方程組，將得到的m：代入伙二必］的二點三次埃爾米特插值多項式具體公式為：Si(x)=1+22Si(x)=1+22X—XiY,X八XXi-Xii—Xiji4XXi4i4+仆2x—IX—XjLXi^-Xi+(X-Xi)X一Xi!mu+(x—xjX—診mi1g—X丿Xi—Xi斗丿1mi的確定由S(x)得二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點連續(xù)的條件得到，即：im|im|42miMm1二(i=0,1,..n,1)該式即為n+1階線性方程組。其中：hi=Xi-X」hh1M1.i=1-■j=3（Mjh（八hi=Xi-X」hh1M1.i=1-■j=3（Mjh（八0,1,?叩）'丿經(jīng))hi申hi4if21扎2八2moM12

++2m22M4n4」12■2M1*-22M2+++》-n24n+1對于第二種邊界條件，將其代入，得到其中：n_22m1>m2mA階線性方程組:/rr,f2*-Mn/mnJn-n-1mn求解該線性方程組還需兩個邊界條件。對于第一種邊界條件，將其代入，得到只含n-1個未知數(shù)的線性方程組:fo=3坐必-九0h12fn=3上歸hn二、用節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)記節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)值為S(xJ=m,i=0,1,...,n)，由于S(x)在［八4旳(i=0,1，…,n)上是x的線性函數(shù)，因此構(gòu)造以節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次埃爾米特插值多項式步驟如下：根據(jù)S(x)在內(nèi)節(jié)點的連續(xù)性及為線性函數(shù)的特點，將S(x)表示為線性函數(shù)。在根據(jù)S(x)在內(nèi)節(jié)點的連續(xù)性及插值條件，寫出S(x)用M』=0,1,...,n)表示的形式。利用S(x)在內(nèi)節(jié)點xi(i=0,1,...,n-1)的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出XX—II求解含M/i=0,1,...,n)的線性方程組，將得到的Mi代入［Xj,X」的S(x)的表達式，即得到二點三次埃爾米特插值多項式具體公式為：S.(x)=AAMi」AXhAMi(%」Mj」十、為一xMiiiiii6h6hi-rh)〒(yriMi的確定由S(x)得二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點連續(xù)的條件得到，即：MM.2M「：；'％Mi4￡(i=0,1,..n,1)iiji4-￡該式即為n+1階線性方程組。其中:hi=xh1hi1(i71,..n廠hi1(i71,..n廠1)i6hihidii1(片〔i1-yihi1解該方程還需要兩個邊界條件。對于第一種邊界條件，將其代入，得到只含解該方程還需要兩個邊界條件。對于第一種邊界條件，將其代入，得到只含_21【M12人+++Mn42打4式中：n-1個未知數(shù)的線性方程組「m1irf0'TOC\o"1-5"\h\z(iiiM2Ifl*I■■一1I1rpiM心|fz丿Ifn」X-■xy.jf對于第二種邊界條件，將其代入,6(Xoh|h|-mo)6/(mn-hn得到Vn-yn4)hnn+1階線性方程組:，，zM1'm2■FfM1M0f2aM22n-2M'n-22M2n2AM,nJ對于三次樣條插值函數(shù)來說，n4.nj當(dāng)插值節(jié)點逐漸加密時,fn.(fn丄—扎n/M可以證明：不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，而且其導(dǎo)數(shù)也收斂于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.曲線擬合3.1用最小二乘法求解矛盾方程組工程實際中許多問題都可歸結(jié)為矛盾方程組，實際中需要尋求矛盾方程組的N未知數(shù)Xj,X2,???,xn的一組取值，它使得偏差的絕對值之和送冋盡可能的小，為了7NNn2便于分析計算和應(yīng)用，常采用使偏差的平方和Q=vPjXjbJ達到i=4j=4最小值，這一條件稱為最小二乘原則。按最小二乘原則來選擇X4,X2,???,Xn的一組取值的方法稱為求解矛盾方程組的最小二乘法，符合條件的人，X2,???,Xn的一組取值稱為矛盾方程組的最小二乘解。把Q看出n個自變量Xj,X2,???,Xn的二次函數(shù)，記為Q=f(XpX2,???,Xn),因此，n求矛盾方程組的最小二乘解就是二乘函數(shù)的最小值點。若矛盾方程組-BjXAbij呂的系數(shù)矩陣A的秩為n,則二次函數(shù)Q=f(Xi，X2，...,Xn)—定存在最小值。即矛盾方程組的最小二乘解存在，且正則方程組AtAx二ATb有唯一解，此解就是矛盾方程組的最小二乘解。3.2多項式擬合設(shè)通過測量得到函數(shù)y二f(x)的一組數(shù)據(jù)為：y二f(X)(i=0,1，…，n),求一個次數(shù)低于N-1的多項式y(tǒng)=(x)=a0?a4X-a2X2...■amXm(m：：：N-1)(其中a0,a4,???,am待定)，使其最好的擬合這組數(shù)據(jù)，最好的標(biāo)準(zhǔn)時：使得(x)在Xi的偏差「二「(X)r偏差「二「(X)r的平方和Q八f「NN(N-yj］達到最小。2a0,a4,???,am的解i#i=4i#i即正則方程組AtAx二ATb的解。NNNNa°N+ai送Xi+a2瓦x：+...+amZ小i-1i」\-1\-1NNNNN』a°送人七〔送x2+aAx;+...+am瓦xj*二送xj%i￡i)i」i=i—aNNa。瓦錄七正NXm++aAx亡+…m+amEx：m匹Xji￡777-y由該正則方程組求得的唯一解代入擬合多項式y(tǒng)=「（x），即為所求。5.數(shù)值試驗表1是1971年到1990年我國總?cè)丝诘慕y(tǒng)計數(shù)字，試根據(jù)1971年到1985年這15年人口統(tǒng)計數(shù)字用下面幾種方法預(yù)測未來20年的人口數(shù)字，并用圖示的方法比較1986年到1990年間預(yù)測人口數(shù)字與實際統(tǒng)計數(shù)字的差異，在你所使用的幾種預(yù)測方法中找出一組較為合理的預(yù)測方法。（1）指數(shù)形式y(tǒng)二aebx；（2）拉格朗日插值、埃爾米特插值、樣條插值；（3）三次多項式擬合；（4）四次多項式擬合表1人口統(tǒng)計數(shù)字年份1971197219731974197519761977197819791980人口8.52298.71778.92119.08599.24209.37179.49749.62599.75429.8705年份1981198219831984198519861987198819891990人口10.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.4333數(shù)值試驗結(jié)果:1■指數(shù)形式擬合圖形為:2■三次多項式擬合的效果:19901938198619841982198019781976197419729951010.51111519708b——實際統(tǒng)計曲線19901938198619841982198019781976197419729951010.51111519708b*實際統(tǒng)計值三次多項式擬合

3.四次多項式擬合的效果199019881986實際統(tǒng)計曲線卄實際統(tǒng)計曲線卄實際統(tǒng)計值四初多項式擬合19301976197L41972—-1972—-參考文獻王正林，龔純，等?精通MATLAB科學(xué)計算?北京：電子工業(yè)出版社，2009:135—157任玉杰?數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn)]M]?北京：高等教育出版社，2007：584—642李信真，車剛明，等?計算方法[M]?西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010:150—167金一慶，陳越?數(shù)值方法[M]?北京：機械工業(yè)出版社，2000:165—176附錄1■按指數(shù)形式擬合的程序：x=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851,10.7507,10.9300,1;y=[1971,1972,1973,1974,1975,1976,1977,1978,1979,1980,