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空間向量及其運算和空間位置關系一、上節(jié)課回顧如圖,0為坐標原點,直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>0,bHO),且交拋物線y2=2px(p〉0)于M(xry)N(x2,y2)兩點寫出直線l的截距式方程;111證明:一+—=—;yyb12當a=2p時,求ZMON的大小2.如圖,矩形ABCD中,|AB|=2a,|BC|=2b,以AB邊所在的直線為x軸,AB的中點為原點建立直角坐標系,P是x軸上方一點,使PC、PD與線段AB分別交于C、D兩點,且AD2,DC2,CB2成等比111111數(shù)列,求動點P的軌跡方程到兩定點A(0,0),B(3,4)距離之和為5的點的軌跡是A橢圓 BAB所在直線 C線段ABD無軌跡4?若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則注的最小值為A1 A1 B―1 C-3<3D以上都不對5.若直線mx+ny—3=0與圓X2+y2=3沒有公共點,則m、n滿足的關系式為 ;以(皿,n)為點P的坐標,過點P的一條直線與橢圓穿+牛1的公共點有——個

二、本節(jié)課內容知識點歸納、空間向量及其有關概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合.共面向量平行于同一平面的向量.共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(bHO),a〃bo存在人WR,使a=Ab.共面向量定理若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面o存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),使p=xa+yb.空間向量基本定理定理:如果三個向量a、b、c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序實數(shù)組{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.推論:設0、A、B、C是不共面的四點,則對空間一點P都存在唯一的三個有序實數(shù)x、y、z使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1.二、數(shù)量積及坐標運算兩個向量的數(shù)量積a?b=|a||b|cos〈a,b〉;a丄boa?b=0(a,b為非零向量);|a|2=a2,|a|=\:X2+y2+z2.向量的坐標運算a=(a,a,a),b=(b,b,b)1 2 3 1 2 3向量和a+b=(a+b,a+b,a+b)1 1 2 2 3 3向量差a—b=(a—b,a—b,a—b)1 1 2 2 3 3數(shù)量積a?b=ab+ab+ab1 1 22 33共線a〃bna=Ab,a=Ab,a=Ab(AWR)1 1 2 2 3 3垂直a1boab+ab+ab=01 1 22 33夾角公式, … ab+ab+abcos〈a,b〉 一—~22—v~Tva^+a^+a^b^+b^+b^1 2 3 1 2 3三、平面的法向量所謂平面的法向量,就是指所在的直線與平面垂直的向量,顯然一個平面的法向量有無數(shù)多個,它們是共線向量.在空間中,給定一個點A和一個向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A的平面是唯一的.練習回顧1?已知a=(—2,—3,l),b=(2,0,4),c=(—4,一6,2)則下列結論正確的是( )A.allc,b〃c B.a〃b,a丄c C.a〃c,a丄b D.以上都不對2?若{a,b,c}為空間的一組基底,則下列各項中,能構成基底的一組向量是()A.{a,a+b,a—b} B.{b,a+b,a—b}C.{c,a+b,a—b} D.{a+b,a—b,a+2b}3?下列命題:若A、B、C、D是空間任意四點,則有AB+BC+CD+DA=0;若MB=xMA+yMB,則M、P、A、B共面;TOC\o"1-5"\h\z ? ? ? ?若p=xa+yb,則p與a,b共面.其中正確的個數(shù)為(~A.0 B.1 C.2 D.3在四面體0—ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則OE= (用a,b,c表示).5.已知ABCD—ABCD為正方體,①(AA+AD+AB)2=3AB2;②AC?(AB—AA)1111 1 11 11 11 1 11 1=0;③向量AD與向量AB的夾角是60°;④正方體ABCD—ABCD的體積為|AB?AA?AD|.11 ? ? ?1111? ? —1_??其中正確命題的序號是 ?用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理;求兩點間距離或某一線段的長度,一般用向量的模來解決;解決垂直問題一般可轉化為向量的數(shù)量積為零;求異面直線所成的角,一般可以轉化為兩向量的夾角,但要注意兩種角的范圍不同,最后應進行轉化.2?直線的方向向量與平面的法向量的確定:直線的方向向量:l是空間一直線,A,B是直線l上任意兩點,則稱AB為直線l的方向向量,與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量. 一平面的法向量可利用方程組求出:設a,b是平面a內兩不共線向量,n為平面a的法向量,則求'n?a=0,法向量的方程組為]廠n?b=0.

(三)例題講解1、空間向量的線性運算[例1]如圖,在平行六面體ABCD-ABCD中GABD的重心,設AB=a,AD=b,AA=c,試用a,b,c表示AC,AG.11變式:本例條件不變,設A1C1與B1D1交點為M,試用a,b,c表示MG.總結:用已知向量表示未知向量,一定要結合圖形,以圖形為指導是解題的關鍵,要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義,靈活運用三角形法則及四邊形法則.練習:如圖所示,已知空間四邊形OABC,其對角線為OB、AC,M、N分別為OA、BC的中點,點G在線段MN上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+z0C,則x,y,z的值分別為 .2、共線、共面向量定理的應用DrF[例2]如右圖,已知平行六面體ABCD-AZBzCD‘,E、F、G、H分別是棱AzD'、D‘C'、CC和AB的中點,求證E、F、G、H四點共面.

DrF總結:應用共線向量定理、共面向量定理證明點共線、點共面的方法比較:三點(P,A,B)共線空間四點(M,P,A,B)共面PA=久PB且同過點PMP=xMA+yMB對空間任一點0,PP=OA-+tAB對空間任一點0,OP=OM+xMA+yMB對空間任一點0,OP=xOA+(1—x)OB對空間任一點0,OP=xOM+yOA+(1—x—y)OB練習:已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,用向量方法,求證:(1)E、F、G、H四點共面;⑵BD〃平面EFGH3、利用空間向量證明平行或垂直EF[例3] 已知AB丄平面ACD,DE丄平面ACD,^ACD為等邊三角形,邊EF長為2a,AD=DE=2AB,F為CD的中點.求證:AF〃平面BCE;求證:平面BCE丄平面CDE.總結:利用直線的方向向量與平面的法向量,可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直.設直線l的方向向量v=(a,b,c),l的方向向量v=(a,b,c).1111122222貝9l〃lov〃vo(a,b,c)=k(a,b,c)(kwR).1212111222l丄lov丄voaa+bb+cc=0.1212121212設直線l的方向向量為v=(a,b,c),平面a的法向量為n=(a,b,c),則l〃aov丄noaa11122212+bb+cc=0.1212l丄aov〃no(a,b,c)=k(a,b,c).111222設平面a的法向量n=(a,b,c),0的法向量為n=(a,b,c),則a〃0on〃n,a丄01111’22221121on丄n.12練習:如圖所示的長方體ABCD—ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方Di1111Di形,0為AC與BD的交點,BB1=/2,M是線段B』』勺中點.⑴求證:BM〃平面DAC;(2)求證:DO丄平面ABC.練習題若直線l的方向向量為a,平面a的法向量為n,能使l〃a的是()A.a=(1,0,0),n=(—2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(—1,0,—1) D.a=(1,—1,3),n=(0,3,1)已知a=(2,—1,3),b=(—1,4,—2),c=(7,5,k),若a,b,c三向量共面,則實數(shù)Z等于()62A62A?N636065c.〒如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A£與BR的交點.若AB=a, =b,AAi=c,則下列向量中與BM相等的向量是()A.-^|b+cD.|a—^b+c4?如圖所示,已知空間四邊形OABC,OB=OC,且ZAOB=ZAOC=n則4?如圖所示,已知空間四邊形OABC,OB=OC,且ZAOB=ZAOC=n則cos<OA,BC〉的值為()c半A.05.平行六面體ABCD-ABCD中,向量AB、AD、AA兩兩的夾角均為60°,且|AB|=1,|AD|11111=2,|AA|=3,貝川AC|等于()1一A.51B.6C.4D.86.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為正方形四邊上的動點,O為底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中點,點Q為平面ABCD內一點,線段D1Q與OP互相平分,則滿足MQ=AMN的實數(shù)人的值有()A.0個B.1個C.2個D.3個7.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是.①OM=2OA-OB-OC;?OM=-OA+1OB+1OC‘③MA+MB+MC=0;④OM5 3 2+OAOB+OC=0.&如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別是棱BC、D”上的點,如果B-E丄平面ABF,則CE與DF的和的值為 .CyBEDJ--如圖所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點,cosDP,AE〉=¥,若以DA、DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間CyBEDJ--直角坐標系,則點E的坐標為.

如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,PA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明:AE丄CD;PD丄平面ABE.已知矩形ABCD中,AB=6,BC=6p2,E為AD的中點(圖甲).沿BE將AABE折起,使二面角A-BE-C為直二面角(圖乙),且F為AC的中點.求證:FD〃平面ABE;A圖乙求證:AC丄BE.A圖乙如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,PD丄平面ABCD,AD=1,AB=-?j3,BC=4.(1)求證:BD丄PC;⑵設點E在棱PC上,PE=XPC,若DE〃平面PAB,求人的值.

作業(yè):1.已知AB=(1,5,—2),BC=(3,1,z),若AB丄BC,BP=(x—1,y,—3),且BP丄平面ABC,則實數(shù)x,y,z分別為()A.33,-175,4BA.33,-175,4B?¥,—號,440C.〒,—2,4D.4,40—152.設空間四點O,A,B,P滿足OP=OA+tAB,其中0〈t〈1,則有()A.點P在線段AB上 B.點P在線段AB的延長線上C.點P在線段BA的延長線匸D飛P不二定在直線AB上已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,E、F分別是BB、DD的中點.求證:11111

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