Hamilton力學(xué)的辛算法課件

Hamilton力學(xué)的辛算法

和分子動(dòng)力學(xué)模擬陳敏伯中國(guó)科學(xué)院上海有機(jī)化學(xué)有機(jī)所計(jì)算化學(xué)課題組2006年10月1Hamilton力學(xué)的辛算法

和分子動(dòng)力學(xué)模擬陳敏伯1內(nèi)容馮康對(duì)世界科學(xué)的重大貢獻(xiàn)Euclid空間辛空間Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu)正則變換的辛結(jié)構(gòu)辛算法應(yīng)用實(shí)例2內(nèi)容馮康對(duì)世界科學(xué)的重大貢獻(xiàn)2Schr?dinger：“Hamilton原理已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的基石?！盚amilton原理將不同的物理規(guī)律納入了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式?，F(xiàn)在問題就歸結(jié)到：怎樣才能對(duì)Hamilton力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程作正確的數(shù)值計(jì)算。一切Hamilton體系的動(dòng)力學(xué)演化都使辛度量保持不變，即都是辛（正則）變換。一切解Hamilton方程“正確”的離散算法都應(yīng)當(dāng)是辛變換的。（馮康，1997年國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)“哈密爾頓系統(tǒng)辛幾何算法”）Lax：“他的聲望是國(guó)際性的?！鼻鸪赏骸爸袊?guó)…在數(shù)學(xué)歷史上很出名的有三個(gè)：一個(gè)是陳省身教授在示性類方面的工作，一個(gè)是華羅庚在多復(fù)變函數(shù)方面的工作，一個(gè)是馮康在有限元計(jì)算方面的工作?！?1998年3月11日《中國(guó)科學(xué)報(bào)》)3Schr?dinger：“Hamilton原理已經(jīng)成為現(xiàn)代物“馮氏大定理”同一物理定律的不同的數(shù)學(xué)表述，盡管在物理上是等價(jià)的；但在計(jì)算上是不等價(jià)的。馮康：如果在算法中能夠保持辛幾何的對(duì)稱性，將可避免人為耗散性這類算法的缺陷，成為具有高保真性的算法。在天體力學(xué)的軌道計(jì)算，粒子加速器中的軌道計(jì)算和分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算中得到廣泛的應(yīng)用。4“馮氏大定理”同一物理定律的不同的數(shù)學(xué)表述，盡管在物理上是等馮康（1920－1993）的學(xué)術(shù)成就1965年發(fā)表論文“基于變分原理的差分格式”。國(guó)際學(xué)術(shù)界承認(rèn)馮康獨(dú)立發(fā)展了有限元方法。（僅獲1982年國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)。馮康得悉非常難過(guò)，曾打算將申請(qǐng)撤回。）前國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)J.–L.Lions教授1981年說(shuō)：“中國(guó)學(xué)者在對(duì)外隔絕的環(huán)境下獨(dú)立創(chuàng)造了有限元，在世界上是最早之列。今天這一貢獻(xiàn)已為全人類所共享?！?984年以后創(chuàng)建的“哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法”。（1991年評(píng)為國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。馮康獲悉后撤回申請(qǐng)。直到1997年底，在馮康去世四年之后，終于授予了國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)。）石鐘慈：“國(guó)際上最早系統(tǒng)地研究并建立辛幾何算法的?！?馮康（1920－1993）的學(xué)術(shù)成就1965年發(fā)表論文“基于數(shù)學(xué)地位6數(shù)學(xué)地位6外微分辛幾何

辛幾何的基礎(chǔ)是外微分形式。

外微分形式是如下概念推廣到高維的產(chǎn)物：1、作功—在場(chǎng)中沿某一路徑所作的功；2、流量—單位時(shí)間內(nèi)流體穿過(guò)某曲面的量3、面積或體積—平行四邊形面積或平行六面體體積。

外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等辛構(gòu)造就是非簡(jiǎn)并的閉2-形式。7外微分辛幾何辛幾何的基礎(chǔ)是外微分形式。7Euclid空間

對(duì)稱性：

線性：（k為任意實(shí)數(shù)）（c是V中的任意向量）

非簡(jiǎn)并性：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才符合如下內(nèi)積定義的線性空間V稱為“Euclid空間”。然后就可以給出向量的長(zhǎng)度、正交、單位向量等概念。8Euclid空間對(duì)稱性：符辛空間（SimplecticSpace）

反對(duì)稱性：

雙線性：

非簡(jiǎn)并性：若向量a對(duì)于W中的任意向量b均有，則具有如下內(nèi)積定義的線性空間W為“辛空間”。這種內(nèi)積稱為“辛內(nèi)積”。9辛空間（SimplecticSpace）反對(duì)稱性：具辛空間度量：作功、面積（或體積）、流量等辛內(nèi)積：2維：a、b平行四邊形面積2n維：?jiǎn)挝恍辆仃嚕?0辛空間度量：作功、面積（或體積）、流量等單位辛矩陣：10單位辛矩陣的性質(zhì)

若A為對(duì)稱陣，且，則證明：▌11單位辛矩陣的性質(zhì)證明：▌11Euclid空間和辛空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Euclid空間辛空間內(nèi)積——長(zhǎng)度內(nèi)積——面積單位矩陣單位辛矩陣正交辛正交正交歸一基共軛辛正交歸一基正交矩陣辛正交矩陣對(duì)稱變換Hamilton變換實(shí)對(duì)稱矩陣的本征值均為實(shí)數(shù)若Hamilton矩陣的本征值為，則也是它的本征值實(shí)對(duì)稱矩陣的不同本征值的本征向量必正交Hamilton矩陣的非辛共軛本征值的本征向量必辛正交實(shí)對(duì)稱矩陣的所有本征向量組成一組正交歸一基Hamilton矩陣的所有本征向量組成一組共軛辛正交歸一基12Euclid空間和辛空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Euclid空間辛空間內(nèi)Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu)13Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu)13正則變換的辛結(jié)構(gòu)正則變量從變換到記為：即：M辛變換：14正則變換的辛結(jié)構(gòu)正則變量從變換到正則變換M的性質(zhì)15正則變換M的性質(zhì)15無(wú)窮小辛陣定義：若，則該2n階矩陣稱為“無(wú)窮小辛陣”設(shè)為對(duì)稱陣，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小辛陣。（證明略）若為無(wú)窮小辛陣，則為辛陣。若為無(wú)窮小辛陣，又若非奇異，則為辛陣16無(wú)窮小辛陣定義：若辛陣2、當(dāng)且僅當(dāng)和，則、都為辛陣3、是辛陣4、當(dāng)且僅當(dāng)，則是辛陣5、當(dāng)且僅當(dāng)和，則是辛陣1、是辛陣的充要條件：17辛陣2、當(dāng)且僅當(dāng)和線性Hamilton體系的辛差分格式線性Hamilton體系——Hamilton函數(shù)是的二次型且其中為無(wú)窮小辛陣為辛陣積分18線性Hamilton體系的辛差分格式線性Hamilton體系1919中點(diǎn)Euler法的辛格式h為時(shí)間步長(zhǎng)因?yàn)闉闊o(wú)窮小辛陣，且非奇異即，故步進(jìn)算符為辛陣，故為辛格式。20中點(diǎn)Euler法的辛格式h為時(shí)間步長(zhǎng)因?yàn)闉闊o(wú)窮小可分、線性Hamilton體系的中點(diǎn)Euler公式

——“可分、線性Hamilton體系”21可分、線性Hamilton體系的中點(diǎn)Euler公式21Euler中點(diǎn)法演繹見后頁(yè)22Euler中點(diǎn)法演繹見后頁(yè)22演繹細(xì)節(jié)：23演繹細(xì)節(jié)：23前面我們已經(jīng)證明了是辛陣，所以上面算法是辛格式。24前面我們已經(jīng)證明了基于Padé逼近的辛格式線性Hamilton體系相流有理Padé逼近：稱為“l(fā)+m階對(duì)ex的Padé逼近”即可分體系：25基于Padé逼近的辛格式線性Hamilton體系相流稱為“用以下構(gòu)造的差分格式都是辛格式*：“(1,1)逼近”，就是Euler中點(diǎn)格式。精度2階4階6階8階26用以下構(gòu)造的差分格式都是辛格式*：“(可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分27可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分27當(dāng)且僅當(dāng)和時(shí),和都為辛陣。當(dāng)且僅當(dāng)，則是辛陣?，F(xiàn)在是，所以也是辛陣。故為辛格式。28當(dāng)且僅當(dāng)和時(shí),演繹細(xì)節(jié)：29演繹細(xì)節(jié)：29可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分h：時(shí)間步長(zhǎng)30可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式差分h：時(shí)間步驗(yàn)證：驗(yàn)證完畢31驗(yàn)證：驗(yàn)證完畢31實(shí)例1－諧振子的相空間軌跡

(a)Runge-Kutta法

3000步，步長(zhǎng)0.4。人為耗散，軌道收縮(b)Adams法

步長(zhǎng)0.2。人為反耗散，軌道發(fā)散(c)蛙跳法

*步，步長(zhǎng)0.1。初、中、末各取三段1000步的結(jié)果完全吻合32實(shí)例1－諧振子的相空間軌跡(a)Runge-Kutta實(shí)例2－非諧振子的相空間軌跡（a）與（b）為同一個(gè)蛙跳法模擬的分段取樣結(jié)果(c)二階辛算法1000步.初、中、末三段結(jié)果完全吻合最初1000步軌道失真第9000－10000步軌道繼續(xù)失真*：蛙跳法即二步中心差分法，它對(duì)于非線性方程不是辛算法33實(shí)例2－非諧振子的相空間軌跡（a）與（b）為同一個(gè)蛙跳法模實(shí)例3－Huygens振子

(a)Runge-Kutta法

步長(zhǎng)0.10000005；9x105步。趨于左吸引子

(b)Runge-Kutta法

步長(zhǎng)0.10000004；9x105步。趨于右吸引子

(c)二階辛算法4條軌道，每條各108步；步長(zhǎng)0.1每條軌道的初、中、末各取三段500步的結(jié)果完全吻合。具有超長(zhǎng)期跟蹤能力

位于雙紐線之外的任意初始相點(diǎn)趨于左右兩個(gè)假吸引子的幾率相同。34實(shí)例3－Huygens振子(a)Runge-Kutta實(shí)例4－橢球面上的測(cè)地線

(a)Runge-Kutta法軌道不趨稠密步長(zhǎng)0.05658，104步頻率比：(b)辛算法軌道趨于趨稠密無(wú)理數(shù)35實(shí)例4－橢球面上的測(cè)地線(a)Runge-Kutta法實(shí)例5－橢球面上的測(cè)地線步長(zhǎng)0.033427，105步周期：25頻率比：11/16有理數(shù)(a)Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉36實(shí)例5－橢球面上的測(cè)地線步長(zhǎng)0.033427，105步有實(shí)例6－Kepler軌道當(dāng)頻率比為有理數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)形成封閉軌道步長(zhǎng)0.01605，2.5x105步頻率比：11/20有理數(shù)(a)Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉37實(shí)例6－Kepler軌道當(dāng)頻率比為有理數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)形成封閉軌實(shí)例7－Li2分子的經(jīng)典軌跡法設(shè)原子位置折合質(zhì)量廣義位置廣義動(dòng)量動(dòng)能勢(shì)能取Morse勢(shì)Hamiltian量38實(shí)例7－Li2分子的經(jīng)典軌跡法設(shè)原子位置Li2分子的經(jīng)典軌跡的正則方程Li2分子態(tài)的參數(shù)：，?，?-1。設(shè)初態(tài)為：步長(zhǎng)0.005。39Li2分子的經(jīng)典軌跡的正則方程Li2分子1.振幅、周期(a)辛算法：長(zhǎng)達(dá)106步時(shí)還保持振幅恒定，周期性恒定。(b)Runge-Kutta法：5000步之后振幅變小、周期變短401.振幅、周期(a)辛算法：(b)Runge-Kutt2.相空間軌跡(a)辛算法：長(zhǎng)達(dá)106步時(shí)還保持總能量恒定、相空間軌跡穩(wěn)定、。(b)Runge-Kutta法：104步之后總能量急劇下降；相空間軌跡沿q方向收縮，5

104步時(shí)已經(jīng)面目全非。412.相空間軌跡(a)辛算法：(b)Runge-Kutta實(shí)例說(shuō)明：8種實(shí)例：簡(jiǎn)諧振子、Duffing振子（非線性振子）Huygens振子、Cassini振子、二維多晶格與準(zhǔn)晶格定常流、Lissajous圖形、橢球面測(cè)地線流、Kepler運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明了在整體性、結(jié)構(gòu)性和長(zhǎng)期跟蹤能力上辛算法的優(yōu)越性。一切傳統(tǒng)非辛算法，無(wú)論精度高低均無(wú)例外地全然失效。一切辛算法無(wú)論精度高低均無(wú)例外地過(guò)關(guān)，均具有長(zhǎng)期穩(wěn)健的跟蹤能力。顯示了壓倒性的優(yōu)越性。42實(shí)例說(shuō)明：8種實(shí)例：簡(jiǎn)諧振子、Duffing振子（非線性振子Hamilton體系的守恒律辛算法保持了Hamilton體系具有的兩個(gè)守恒律：1、相空間體積的不變性——Liouville-Poincaré守恒律2、運(yùn)動(dòng)不變量：如能量、動(dòng)量、角動(dòng)量的守恒辛算法能夠在數(shù)值計(jì)算中保持辛變換的結(jié)構(gòu)，于是就會(huì)得到高的穩(wěn)定性。辛算法的差分方法被認(rèn)為是目前最穩(wěn)定、高效的計(jì)算方