數(shù)據(jù)擬合方法研究畢業(yè)論文

數(shù)據(jù)擬合方法研究畢業(yè)論文目錄中文摘要錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。Abstract錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。TOC\o"1-5"\h\z第一章緒論11?1數(shù)據(jù)簡(jiǎn)介11.1.1名詞解釋11.1.2數(shù)據(jù)屬性1曲線擬合簡(jiǎn)介2第二章數(shù)據(jù)擬合方法分類3線性擬合52.2二次函數(shù)擬合7數(shù)據(jù)的n次多項(xiàng)式擬合92.4點(diǎn)集｛x｝上的正交多項(xiàng)式系1012m2.5用正交多項(xiàng)式系組成擬合函數(shù)的多項(xiàng)式擬合102.6指數(shù)函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合122.7多元線性函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合13WORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.TOC\o"1-5"\h\z第三章曲線擬合特性14線性模型的曲線擬合14最小二乘法及其計(jì)算153.1.2用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合21非線性模型的曲線擬合24牛頓迭代25常見(jiàn)非線性模型25第四章多項(xiàng)式的擺動(dòng)314.1多項(xiàng)式擺動(dòng)介紹31影響多項(xiàng)式擬合偏差的因素34實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不均勻性34數(shù)據(jù)的密度354.2.3擬合曲線的適用區(qū)間35使用多項(xiàng)式擬合的注意事項(xiàng)354.3.1盡量避免高階多項(xiàng)式的擬合364.3.2保持密度37在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)走向比較明確的前提下，可以考慮其他的非線性擬合方法37

第五章殘數(shù)法與最小二乘法結(jié)合38第五章殘數(shù)法與最小二乘法結(jié)合38二項(xiàng)指數(shù)曲線原理與方法39資料與分析425.3殘數(shù)法與最小二乘法結(jié)合總結(jié)46第六章總結(jié)48結(jié)束語(yǔ)48參考文獻(xiàn)52附錄1英文原文57附錄2中文翻譯76附錄3程序91第一章緒論在我們實(shí)際的實(shí)驗(yàn)和勘探中，都會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)。為了解釋這些數(shù)據(jù)或者根據(jù)這些數(shù)據(jù)做出預(yù)測(cè)、判斷，給決策者提供重要的依據(jù)。需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，尋找一個(gè)反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)。1．1數(shù)據(jù)簡(jiǎn)介科學(xué)實(shí)驗(yàn)、檢驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)等所獲得的和用于科學(xué)研究、技術(shù)設(shè)計(jì)、查證、決策等的數(shù)值。1.1.1名詞解釋研究數(shù)據(jù)就是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、分類、錄入、儲(chǔ)存、統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)等一系列活動(dòng)的統(tǒng)稱。1.1.2數(shù)據(jù)屬性柯巖《奇異的書(shū)簡(jiǎn)?船長(zhǎng)》：“貝漢廷分析著各個(gè)不同的數(shù)據(jù)，尋找著規(guī)律，終于抓住了矛盾的牛鼻子?！睌?shù)據(jù)是載荷或記錄信息的按一定規(guī)則排列組合的物理符號(hào)。可以是數(shù)字、文字、圖像，也可以是計(jì)算機(jī)代碼。對(duì)信息的接收始于對(duì)數(shù)據(jù)的接收，對(duì)信息的獲取只能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)背景的解讀。數(shù)據(jù)背景是接收者針對(duì)特定數(shù)據(jù)的信息準(zhǔn)備，即當(dāng)接收者了解物理符號(hào)序列的規(guī)律，并知道每個(gè)符號(hào)和符號(hào)組合的指向性目標(biāo)或含義時(shí)，便可以獲得一組數(shù)據(jù)所載荷的信息。亦即數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為信息，可以用公式“數(shù)據(jù)+背景=信息”表示。數(shù)據(jù)擬合在很多地方都有應(yīng)用,主要用來(lái)處理實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)的原始離散數(shù)據(jù)。通過(guò)擬合可以更好的分析和解釋數(shù)據(jù)。曲線擬合簡(jiǎn)介曲線擬合，俗稱拉曲線，是一種把現(xiàn)有數(shù)據(jù)透過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)代入一條數(shù)式的表示方式。科學(xué)和工程問(wèn)題可以通過(guò)諸如采樣、實(shí)驗(yàn)等方法獲得若干離散的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們往往希望得到一個(gè)連續(xù)的函數(shù)（也就是曲線）或者更加密集的離散方程與已知數(shù)據(jù)相吻合，這過(guò)程就叫做擬合。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中,人們常常需要觀測(cè)很多數(shù)據(jù)的規(guī)律,通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)（錯(cuò)誤!未找到引用源。）（i=l,2,…，N）,其中錯(cuò)誤!未找到引用源。是彼此不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)本質(zhì)規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，錯(cuò)誤!未找到引用源。來(lái)反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。錯(cuò)誤!未找到引用源。常稱作擬合模型，當(dāng)c在錯(cuò)誤!未找到引用源。中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否者稱為非線性模型。線性模型是回歸模型中最常見(jiàn)的一種，但在實(shí)際中，許多現(xiàn)象之間的關(guān)系往往并不是線性的，而是呈現(xiàn)某種曲線關(guān)系。如服藥后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系；病毒劑量與致死率的關(guān)系；化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)物濃度與反應(yīng)速度的關(guān)系。這就產(chǎn)生的曲線擬合，用連續(xù)曲線近似地刻畫(huà)或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。第二章數(shù)據(jù)擬合方法分類在實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)和戡測(cè)常常會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)。為了解釋這些數(shù)據(jù)或者根據(jù)這些數(shù)據(jù)做出預(yù)測(cè)、判斷，給決策者提供重要的依據(jù)。需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，尋找一個(gè)反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)。數(shù)據(jù)擬合方法與數(shù)據(jù)插值方法不同，它所處理的數(shù)據(jù)量大而且不能保證每一個(gè)數(shù)據(jù)沒(méi)有誤差，所以要求一個(gè)函數(shù)嚴(yán)格通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是不合理的。數(shù)據(jù)擬合方法求擬合函數(shù)，插值方法求插值函數(shù)。這兩類函數(shù)最大的不同之處是，對(duì)擬合函數(shù)不要求它通過(guò)所給的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而插值函數(shù)則必須通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。例如，在某化學(xué)反應(yīng)中，測(cè)得生成物的質(zhì)量濃度y(10-3g/cm3)與時(shí)間t(min)的關(guān)系如表所示W(wǎng)ORDWORD版本.此只能尋求一個(gè)近擬表此只能尋求一個(gè)近擬表達(dá)式尋求合理的近擬表達(dá)式，以反映數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，這種方法就是數(shù)據(jù)擬合方法。數(shù)據(jù)擬合需要解決兩個(gè)問(wèn)題：第一，選擇什么類型的函數(shù)）（t）作為擬合函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）；第二，對(duì)于選定的擬合函數(shù)，如何確定擬合函數(shù)中的參數(shù)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)建立在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，假設(shè)的合理性首先體現(xiàn)在選擇某種類型的擬合函數(shù)使之符合數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)（總體的變化規(guī)律）。擬合函數(shù)的選擇比較靈活，可以選擇線性函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)或其它函數(shù)，這應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)分布的趨勢(shì)作出選擇。為了問(wèn)題敘述的方WORD版本.tx1x2tx1x2x3x4x5x6x7x8x9yy1^2^3^4^5^6^7^8^9便，將例1的數(shù)據(jù)表寫(xiě)成一般的形式x10線性擬合假設(shè)擬合函數(shù)是線性函數(shù)，即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的直線。而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在一條直線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù)y=a+bx中系數(shù)a和b各等于多少？從幾何背景來(lái)考慮，就是要以a和b作為待定系數(shù)，確定一條平面直線使得表中數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的10個(gè)點(diǎn)盡可能地靠近這條直線。一般來(lái)講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會(huì)全部落在這條直線上，如果第k個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在這條直線上，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，即a+bxk=yk如果這個(gè)點(diǎn)不在直線上，則它的坐標(biāo)不滿足直線方程，有一個(gè)絕對(duì)值為|a+bx-y|的差異（殘差）。于是全部點(diǎn)處的總誤差是kk蘭|a+bx-y|kkk=1這是關(guān)于a和b的一個(gè)二元函數(shù)，合理的做法是選取a和b，使得這個(gè)函數(shù)取極小值。但是在實(shí)際求解問(wèn)題時(shí)為了操作上的方便，常常是求a和

b使得函數(shù)F(a,b)二蘭(a+bx一y)2kkk=1達(dá)到極小。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令dFdFdbda2(a2(a+bx一y)=0kkk=1藝2(a+bx-y)x=0kkkk=1這是關(guān)于未知數(shù)a和b的線性方程組。它們被稱為法方程，又可以寫(xiě)成10a+昱xkb=昱ykk=1k=1k=1昱k=1昱xa+昱x2b=昱xykkkkk=1k=1a+bx。下圖中直線是數(shù)據(jù)的線性擬合的結(jié)果。二次函數(shù)擬合假設(shè)擬合函數(shù)不是線性函數(shù)，而是一個(gè)二次多項(xiàng)式函數(shù)。即擬合函數(shù)的圖形是一條平面上的拋物線，而表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)未能精確地落在這條拋物線上的原因是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差。則下一步是確定函數(shù)y=a0+a1x+a2x2中系數(shù)a0、％和a2各等于多少？從幾何背景來(lái)考慮，就是要以a0、％和a2為待定系數(shù)，確定二次曲線使得表中數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的10個(gè)點(diǎn)盡可能地靠近這條曲線。一般來(lái)講，數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會(huì)全部落在這條曲線上，如果第k個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)恰好落在曲線上，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次曲線的方程，即a0+a1xk+a2xk2=yk如果這個(gè)點(diǎn)不在曲線上，則它的坐標(biāo)不滿足曲線方程，有一個(gè)誤差（殘差）。于是全部點(diǎn)處的總誤差用殘差平方和表示F(a,a,a)二》[(a+ax+ax2)一y]201201k2kkk=1這是關(guān)于a0、a〔和a2的一個(gè)三元函數(shù)，合理的做法是選取a0、a］和a2，使得這個(gè)函數(shù)取極小值。為了求該函數(shù)的極小值點(diǎn)，令dF0dF00，da0dF=0，da1dF=0da2WORDWORD版本.WORDWORD版本.邑2[(a+ax+ax2)一y]=001k2kkk=1<邑2[(a+ax+ax2)一y]x=001k2kkkk=1遲2[(a+ax+ax2)一y]x2=001k2kkkk=1這是關(guān)于待定系數(shù)a0、％和a2的線性方程組，寫(xiě)成等價(jià)的形式為10a+Xxa+Xx2a=XyTOC\o"1-5"\h\z0k1k2kk=1k=1k=1<Xxa+Xx2a+Xx3a=Xxyk0k1k2kkk=1k=1k=1k=1Xx2a+Xx3a+Xx4a=Xx2yk0k1k2kkk=1這就是法方程，求解這一方程組可得二次擬合函數(shù)中的三個(gè)待定系數(shù)。下k=1k=1k=1k=1這就是法方程，求解這一方程組可得二次擬合函數(shù)中的三個(gè)待定系數(shù)。下圖反映了例題所給數(shù)據(jù)的二次曲線擬合的結(jié)果數(shù)據(jù)的n次多項(xiàng)式擬合X2X2X2X2f(x)已知函數(shù)在個(gè)離散點(diǎn)處的函數(shù)值，假設(shè)擬合函數(shù)是n次多項(xiàng)式，則需要用所給數(shù)據(jù)來(lái)確定下面的函數(shù)y=a+ax+ax2++axn012n這里要做一個(gè)假設(shè)，即多項(xiàng)式的階數(shù)n應(yīng)小于題目所給數(shù)據(jù)的數(shù)目m（例題中m=10）°類似前面的推導(dǎo)，可得數(shù)據(jù)的n次多項(xiàng)式擬合中擬合函數(shù)的系數(shù)應(yīng)滿足的正規(guī)方程組如下m區(qū)x…區(qū)xna0l^k1kkk=1區(qū)x￡x2卡1…乙xn+1a1另xkyklk=1kkk=kkk=1k=1k=1-區(qū)xnkk=1區(qū)xn+1kk=1…x2nkk=1an區(qū)xnykkk=1從這一方程組可以看出，線性擬合方法和二次擬合方法是多項(xiàng)式擬合的特殊情況。從算法上看，數(shù)據(jù)最小二乘擬合的多項(xiàng)式方法是解一個(gè)超定方程組a+ax+ax2HFaxn=yTOC\o"1-5"\h\z01121n11a+ax+ax2FFaxn=y/、<01222n22(m>n)a+ax+ax2FFaxn=y01m2mnmm

的最小二乘解。而多項(xiàng)式擬合所引出的正規(guī)方程組恰好是用超定方程組的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣去左乘超定方程組左、右兩端所得。正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)病態(tài)矩陣，這類方程組被稱為病態(tài)方程組。當(dāng)系數(shù)矩陣或者是右端向量有微小的誤差時(shí)，可能引起方程組準(zhǔn)確解有很大的誤差。為了避免求解這樣的線性方程組，在做多項(xiàng)式擬合時(shí)可以將多項(xiàng)式中的各次冪函數(shù)做正交化變換，使得所推出的正規(guī)方程的系數(shù)矩陣是對(duì)角矩陣。2.4點(diǎn)集｛x｝上的正交多項(xiàng)式系12m多項(xiàng)式q(x)，q(x)，q(x)，q(x)在點(diǎn)集｛x，xx｝上的012n12m

正交(q,q)二近q(x)q(x)kjkijii=1正交多項(xiàng)式系可以認(rèn)為是冪函數(shù)系：1，X，X2,……，xn通過(guò)正交變換而/n)，iqk(x)=(x-ak)/n)，iqk(x)=(x-ak)qk-1(x)-bkqk-2(x)，(k=2,3,n)其中，=(xqk-i,qk_i)/(qkJqk-i)=區(qū)xq2(x)/遲q2(x)ik-1ik-1ii=1i=1=(qk-1,qk-1)/(qk-2,qk-2)=遲q*2(x)/遲q2(x)k-1ik-2ii=1i=12.5用正交多項(xiàng)式系組成擬合函數(shù)的多項(xiàng)式擬合考慮擬合函數(shù)：9(x)=aq(x)+aq(x)++aq(x)，將數(shù)據(jù)表0011nnX1X1X2X2f(xX2中的數(shù)據(jù)代入，得超定方程aq(x)+aq(x)+aq(x)HFaq(x)二yTOC\o"1-5"\h\z001111221nn11aq(x)+aq(x)+aq(x)FFaq(x)二yJ002112222nn22(m>n)aq(x)+aq(x)+aq(x)FFaq(x)二y00m11m22mnnmm其系數(shù)矩陣為q(x)q(x)q(x)…q(x)011121n1q(x)q(x)q(x)…q(x)021222n2q(x)q(x)q(x)…q(x)0m1m2mnm由于多項(xiàng)式q0(x)，qi(x)，q2(x)qn(x)在點(diǎn)集｛x「x2xj上的正交，所以超定方程組的系數(shù)矩陣中不同列的列向量是相互正交的向量組。于是用這一矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣去左乘超定方程組左、右兩端得正規(guī)方程組(q,q)a二(q,q)a二(q,y)0000(q,q)a二(q,y)1111a二(q,y)/(q,q)0000

a二(q,y)/(q,q)1111(q,q)a二(q,y)nnnn其中，(q,q)=￡q2(x)，(q,y)=￡q(x)y。因?yàn)檎?guī)方程組中每kkkikkiii=1i=1一個(gè)方程都是一元一次方程可以直接寫(xiě)出原超方程組的最小二乘解，所以擬合函數(shù)為(、(q，y)(、丄(q,y)(、丄丄(q，y)(、9(x)=0q(x)+有人根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)公元2000年世界人口會(huì)超過(guò)60億。這一結(jié)論在六十年代末令人難以置信，但現(xiàn)在已成為事實(shí)。試建立數(shù)學(xué)模型并根據(jù)表中數(shù)據(jù)推算出2000年世界人口的數(shù)量。根據(jù)馬爾薩斯人口理論，人口數(shù)量按指數(shù)遞增的規(guī)律發(fā)展。記人口數(shù)為N(t)，則有指數(shù)函數(shù)N=ea+bt?，F(xiàn)需要根據(jù)六十年代的人口數(shù)據(jù)確定函數(shù)表達(dá)式中兩個(gè)常數(shù)a、b。為了計(jì)算方便，對(duì)表達(dá)式兩邊取對(duì)數(shù)，得InN=a+bt，令有人根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)公元2000年世界人口會(huì)超過(guò)60億。這一結(jié)論在六十年代末令人難以置信，但現(xiàn)在已成為事實(shí)。試建立數(shù)學(xué)模型并根據(jù)表中數(shù)據(jù)推算出2000年世界人口的數(shù)量。根據(jù)馬爾薩斯人口理論，人口數(shù)量按指數(shù)遞增的規(guī)律發(fā)展。記人口數(shù)為N(t)，則有指數(shù)函數(shù)N=ea+bt。現(xiàn)需要根據(jù)六十年代的人口數(shù)據(jù)確定函數(shù)表達(dá)式中兩個(gè)常數(shù)a、b。為了計(jì)算方便，對(duì)表達(dá)式兩邊取對(duì)數(shù)，得InN=a+bt，令y=lnN。于是y(t)=a+bt°計(jì)算出表中人口數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)值yk=lnNk(k=1,2,9)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫(xiě)出關(guān)于兩個(gè)未知數(shù)a、的9個(gè)方程的超定方程組(方程數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)的方程組)0011nn這一結(jié)果與用次多項(xiàng)式擬合所得結(jié)果在理論是完全一樣的，只是形式上不同、算法實(shí)現(xiàn)上避免了解病態(tài)方程組。2.6指數(shù)函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題1：世界人中預(yù)測(cè)問(wèn)題下表給出了本世紀(jì)六十年代世界人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：億)年196019611962196319641965196619671968人口29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83WORDWORD版本.WORDWORD版本.a+btk=yk(k=1,2,9)其中，t=1960，t=1961，t=1962t=1968；1239y=ln29.72，y2=ln30.61y9=ln34.83°(3)利用MATLAB解線性方程組Ax=c的命令A(yù)\c計(jì)算出a、b的值，并寫(xiě)出人口增長(zhǎng)函數(shù)。利用人口增長(zhǎng)函數(shù)計(jì)算出2000年世界人口數(shù)據(jù)：N(2000)2.7多元線性函數(shù)的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題2人的耗氧能力的數(shù)據(jù)擬合。人的耗氧能力y(ml/min?kg)與下列變量有關(guān)X］年齡x2體重x1.5英里跑步所用時(shí)間3x4靜止時(shí)心速X跑步時(shí)最大心速5某健身中心對(duì)31個(gè)自愿者進(jìn)行測(cè)試，得到31組數(shù)據(jù)(每一組數(shù)據(jù)有6個(gè)數(shù))幾咒協(xié)戈劭咒際利k牝怎伙=也…」31)令耗氧能力為因變量，其它的指標(biāo)為自變量，建立線性模型y=——a2%2—a3x3——為了確定6個(gè)系數(shù)，利用已記錄的數(shù)據(jù)得超定方程組%一-牝戈鵠一一竊咒曲一対戈關(guān)=Yk這一方程組包含6個(gè)未知數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，但卻有31個(gè)方程。寫(xiě)出超定方程組的系數(shù)矩陣和右端向量如下jxxxxxy1121314151i1xxxxxy1222324252，y=.21xxxxxy-1,312,313,314,315,31」u31」A=由最小二乘法可得正規(guī)方程組AtAX=ATy其中，錯(cuò)誤!未找到引用源。T第三章曲線擬合特性在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，人們常常需要觀測(cè)很多數(shù)據(jù)的規(guī)律，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)得到量X與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(錯(cuò)誤！未找到引用源。)(i=l,2,…，N),其中錯(cuò)誤!未找到引用源。是彼此不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)本質(zhì)規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，錯(cuò)誤!未找到引用源。來(lái)反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。錯(cuò)誤!未找到引用源。常稱作擬合模型，當(dāng)c在錯(cuò)誤!未找到引用源。中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否者稱為非線性模型。線性模型的曲線擬合已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值｛fl,f2,…，fn｝，通過(guò)調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f（入1,入2,…，入m）,使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別（最小二乘意義）最小。如果待定函數(shù)是線性，就叫線性擬合。下面介紹計(jì)算線性擬合的基本方法。3.1.1最小二乘法及其計(jì)算在函數(shù)的最佳平方逼近中錯(cuò)誤!未找到引用源。，如果錯(cuò)誤!未找到引用源。只在一組離散點(diǎn)集｛錯(cuò)誤!未找到引用源。｝上給出，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)｛錯(cuò)誤味找到引用源。｝的曲線擬合，這里錯(cuò)誤!未找到引用源。，要求一個(gè)函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。與所給數(shù)據(jù)｛錯(cuò)誤!未找到引用源。｝擬合，若記錯(cuò)誤!未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。是C［a,b］上線性無(wú)關(guān)函數(shù)族，在錯(cuò)誤!未找到引用源。中找一個(gè)函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，使誤差平方和TOC\o"1-5"\h\zmmmI倒討》能=兀尸=據(jù)監(jiān)》［恥J—兀代⑶Ui=ai=ab=o這里錯(cuò)誤!未找到引用源。這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語(yǔ)言說(shuō)，就稱為曲線擬合的最小二乘法。用最小二乘法求曲線時(shí)，首先要確定錯(cuò)誤!未找到引用源。的形式。

這部單純?nèi)龜?shù)學(xué)問(wèn)題，還與所研究問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及所得觀測(cè)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤！未找到引用源。有關(guān)；通常要從問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或給定數(shù)據(jù)描圖，確定錯(cuò)誤!未找到引用源。的形式，并通過(guò)實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果。錯(cuò)誤!未找到引用源。的一般表達(dá)式為（3.2）式表示的線性形式。若錯(cuò)誤!未找到引用源。是k次多項(xiàng)式，錯(cuò)誤!未找到引用源。就是n次多項(xiàng)式。為了使問(wèn)題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中錯(cuò)誤!未找到引用源。都考慮為加權(quán)平方和mI⑹I；誠(chéng)%（斗）一/X戈■i=0這里錯(cuò)誤!未找到引用源。是［a,b］上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。處的數(shù)據(jù)比重不同，用最小二乘法求擬合曲線的問(wèn)題，就是在形如（2.2）式的錯(cuò)誤!未找到引用源。中求一函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，使（3.3）式取得最小。它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)l（aQfl（aQf》泌兀J工旳陽(yáng)仗J—(3.4)的極小點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的問(wèn)題。由求多元函數(shù)極值的必要條件，有m.=2》臥召）工口浮點(diǎn)心）m.=2》臥召）工口浮點(diǎn)心）一=0,：=o若記若記m(約用Q=工鞏咒J約住J,(3-s)i=0m.〉㈤(咒jfQj護(hù)kQ］三兀rfc=o,iT....ni=0上式可改寫(xiě)為冷Q冷Q吟三由…k=04....Jn,(3￡)j=o線性方程組（3.6）稱為法方程，可將其寫(xiě)成矩陣形式Ga=d,其中錯(cuò)誤!未找到引用源?！福ì?，珂j（珂I，珂）■■■w呼％y（仇局（鞏，仞）■■■s甲j匕—.?1??!；■?；（珀甲1}■"嘰也要使法方程（3.6）有唯一解錯(cuò)誤!未找到引用源。，就要求矩陣G非奇異。必須指出，錯(cuò)誤!未找到引用源。在［a,b］上線性無(wú)關(guān)不能推出矩陣G非奇異。例如，令錯(cuò)誤!未找到引用源。，顯然錯(cuò)誤!未找到引用源。在［錯(cuò)誤!未找到引用源。］上線性無(wú)關(guān)，但若取點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。，那么有錯(cuò)誤!未找到引用源。，由此得出G=阿伽)(%訕=Q為保證方程組（3.6）的系數(shù)矩陣G非奇異，必須加上另外的條件。如果函數(shù)族錯(cuò)誤!未找到引用源。在有限點(diǎn)集錯(cuò)誤!未找到引用源。中的任意n+l（n錯(cuò)誤!未找到引用源。）個(gè)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。上都有嘰（巧）池-%（叼）det:::去0,號(hào)孔衍』仞佝』-%*丄則稱函數(shù)族錯(cuò)誤!未找到引用源。在點(diǎn)集X上滿足哈爾條件。這個(gè)定義實(shí)際上等價(jià)于：函數(shù)族錯(cuò)誤!未找到引用源。的任意線性組合在點(diǎn)集X上至多有n個(gè)不同的零點(diǎn)。顯然錯(cuò)誤!未找到引用源。在任意錯(cuò)誤!未找到引用源。個(gè)點(diǎn)上滿足哈爾條件?？梢宰C明，如果錯(cuò)誤!未找到引用源。在錯(cuò)誤!未找到引用源。上滿足哈爾條件，則法方程（3.6）的系數(shù)矩陣（2.7）非奇異，于是方程組（3.6）存在唯一的解錯(cuò)誤!未找到引用源。.從而可以得到函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。的最小二乘解為辭0）=oj伽CO一璐鞏.

可以證明這樣得到的錯(cuò)誤!未找到引用源。，對(duì)任何形如（3.2）式的錯(cuò)誤！未找到引用源。，都有mm工㈤牝）［巒仗J—<i=0i=0故錯(cuò)誤!未找到引用源。確是所求最小二乘解。給定錯(cuò)誤!未找到引用源。的離散數(shù)據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，要確定錯(cuò)誤!未找到引用源。是困難的，一般可取錯(cuò)誤!未找到引用源。，但這樣做當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，與連續(xù)情形一樣求解法方程（3.6）時(shí)將出現(xiàn)系數(shù)矩陣G病態(tài)的問(wèn)題，通常對(duì)錯(cuò)誤!未找到引用源。的簡(jiǎn)單情形都可通過(guò)求法方程（3.6）得到錯(cuò)誤!未找到引用源。。有時(shí)根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。表面上不是（3.2）式的形式，但通過(guò)變換仍可化為線性模型。例如錯(cuò)誤!未找到引用源。，若兩邊取對(duì)數(shù)得1口=1口口一杜！、它就是形如（3.2）式的線性模型。例設(shè)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。由下表給出表2-1i0i01磯1.009y.1.6291.7562341.501.752.006.537.45&451.8762.0082.解根據(jù)給定數(shù)據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。描圖根據(jù)擬合圖形可以看出它不是線性形式，因?yàn)殄e(cuò)誤!未找到引用源。，可以得到數(shù)學(xué)模型為錯(cuò)誤!未找到引用源。，用最小二乘法來(lái)確定未知數(shù)。兩邊取對(duì)數(shù)得錯(cuò)誤!未找到引用源。喏令錯(cuò)誤!未找到引用源。，則得錯(cuò)誤!未找到引用源。。為確定A,b，先將錯(cuò)誤!未找到引用源。轉(zhuǎn)化為錯(cuò)誤!未找到引用源。，數(shù)據(jù)表見(jiàn)2-1。根據(jù)最小二乘法，去錯(cuò)誤!未找到引用源。，得=11.375,:=0

=11.375,:=0=9.40^=14.422=9.40^=14.422故由法方程-7.50b=9.4047.50A-11.875；?=14.422解得錯(cuò)誤!未找到引用源。。于是得最小二乘擬合曲線為y=3.071ea&O5if.現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)軟件配有自動(dòng)選擇數(shù)學(xué)模型的程序，其方法與本例相同。程序中因變量與自變量變換的函數(shù)類型較多，通過(guò)計(jì)算比較誤差找到擬合得比較好的曲線，最后輸出曲線圖形及數(shù)學(xué)表達(dá)式。3.1.2用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合用最小二乘法得到的法方程（3.6），其系數(shù)矩陣G是病態(tài)的，但如果錯(cuò)誤!未找到引用源。是關(guān)于點(diǎn)集錯(cuò)誤!未找到引用源。帶權(quán)錯(cuò)誤!未找到引用源。正交的函數(shù)族，即（眄鳳）二纟叭眄倒?磯如=二°鷲;Q居）則法方程（2.6）的解為

且平方誤差為MHill=llflll-JAC^）2-k=C現(xiàn)在我們根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。及權(quán)函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，造出帶權(quán)錯(cuò)誤!未找到引用源。正交的多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。注意錯(cuò)誤!未找到引用源。，用遞推公司表示錯(cuò)誤!未找到引用源。，即（尸血）=1」\珂國(guó)=（玄-勺）片（戈〉（310）IA+O=仗-％+J企CO—AtP—iCO,k=04,...,n-1.這里錯(cuò)誤!未找到引用源。是首項(xiàng)系數(shù)為1的k次多項(xiàng)式，根據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。的正交性，得Elo臥戈】誓用伐JElo臥戈】誓用伐J二?P杞（尤?珂（戈））殆嚴(yán)g墟（斗）"（兔詢幾3）(3-H)1E,如（％｝氏=（叫"比〕

殆ogj略g厲皿-j1下面用歸納法證明這樣給出的錯(cuò)誤！未找到引用源。是正交的，由（3.10）式第二次及（3.11）式中錯(cuò)誤!未找到引用源。的表達(dá)式，有（厲疋J=（%卻』_叫=gpj—:仇耳）=o.現(xiàn)假定錯(cuò)誤!未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤!未找到引用源。及錯(cuò)誤!未找到引用源。均成立，要證錯(cuò)誤!未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤!未找到引用源。均成立。由（3.10）式有（A-i出）=（仗-哄氏）—恢保-少氏）=伝比巴〕-弧一］（比即-陳〔尸“,即（3.12）由歸納法假定錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，（Pk^）=0,（P^LfPj=0.另外，錯(cuò)誤!未找到引用源。是首項(xiàng)系數(shù)為1的s+1次多項(xiàng)式，它可由錯(cuò)誤!未找到引用源。的線性組合表示，而錯(cuò)誤!未找到引用源。，故由歸納法假定又有（工％，巴）三（卩“巴）=0于是由（3.12）式，當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)錯(cuò)誤!未找到引用源。。再看=（忑F小Pk-J~—區(qū)（Pjr-pPjr-J（3.13）由假定有

利用（3.11）式中錯(cuò)誤!未找到引用源。表達(dá)式及以上結(jié)果，得（A+i幾-丄）=二%%）-%叫）=o最后，由（3.11）式有（Pz2=（迅,pQ—a（Pz2=（迅,pQ—ak+l%PQ-乩％P"（無(wú)F時(shí)%）—{PM至此已證明了由（3.10）式及（3.11）式確定的多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。組成一個(gè)關(guān)于點(diǎn)集錯(cuò)誤!未找到引用源。的正交系。用正交多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。的線性組合作最小二乘曲線擬合，只要根據(jù)公司（3.10）及（3.11）逐步求錯(cuò)誤!未找到引用源。的同時(shí)，相應(yīng)計(jì)算出系數(shù)（/A—邛。鞏眄剛?cè)始∪?飛帆）—昭必尹紬），_'并逐步把錯(cuò)誤!未找到引用源。累加到S（錯(cuò)誤!未找到引用源。）中去，最后就可得到所求的擬合曲線y=5（x）=OaFoW+?WORDWORD版本.WORDWORD版本.這里n可事先給定或在計(jì)算過(guò)程中根據(jù)誤差確定。用這種方法編程序不用解線性方程組，只用遞推公式，并且當(dāng)逼近次數(shù)增加一次時(shí)，只要把程序中循環(huán)數(shù)加1，其余不用改變。這就是目前用多項(xiàng)式作曲線擬合最后的計(jì)算方法。非線性模型的曲線擬合當(dāng)前研究的非線性模型主要是指參數(shù)或自變量是非線性的，形式復(fù)雜多樣，常見(jiàn)的有多項(xiàng)式形式、雙曲線形式、對(duì)數(shù)形式、冪函數(shù)形式等等，更復(fù)雜的有修正指數(shù)曲線、Compterz曲線以及Logistic曲線等。如何根據(jù)數(shù)據(jù)的大致規(guī)律來(lái)選擇合適的模型，是擬合的關(guān)鍵?？偟膩?lái)說(shuō)有兩中可參考的方法：一是根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)確定類型，即由散點(diǎn)圖的形狀大體確定模型類型；二是根據(jù)專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，判斷研究的數(shù)據(jù)曲線屬于什么類型?，F(xiàn)在研究非線性模型的方法用得最多的就是最小二乘法。3.2.1牛頓迭代無(wú)論采取什么方式變換都不可能實(shí)現(xiàn)線性化，這樣的模型稱為不可線性化模型。對(duì)于不可線性化模型，一般采用高斯一牛頓迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即借助于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式進(jìn)行逐次的線性近似估計(jì)。第一步：做Logit-Ln線性回歸，求錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。,X和p的初值。此時(shí)X不能為0值，若輸入的X有0值，則將其設(shè)為一小值（例如：0.00001）。首選將原方程變形為如下線性形式：（y-A]Ino=pInx一pInxIA1+y丿0將錯(cuò)誤!未找到引用源。初值設(shè)為輸入的y值的最大值加1，錯(cuò)誤!未找到引用源。的初值設(shè)為輸入的y值的最小值減0.1。通過(guò)簡(jiǎn)單的直線擬合即可求出p和錯(cuò)誤!未找到引用源。的初值。第二步：對(duì)Logistic方程四個(gè)參數(shù)求偏微分，得到y(tǒng)對(duì)給定系數(shù)的增量（△錯(cuò)誤!未找到引用源。，△錯(cuò)誤!未找到引用源。，Ax,△p）的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式。dA1dA20

Sy

dp'x'Sy

dp'x'pln'x'x\lx丿00A-Ai(1+-0-、p泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：dydydydyy二y+(AA+AA+Ax+Ap)0dA1dA0dx0dp100由此，將曲線回歸轉(zhuǎn)化為多元線性回歸，通過(guò)迭代計(jì)算，得到四個(gè)參數(shù)的變量△錯(cuò)誤!未找到引用源。，△錯(cuò)誤!未找到引用源。，2△p，逐步修正四參數(shù)的值。多元線性回歸與多項(xiàng)式擬合方法相同。每一次迭代可計(jì)算出參數(shù)變量值，新的參數(shù)值為原參數(shù)值與變量值的疊加。第三步：為保證迭代收斂，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，引入一系數(shù)a，初值設(shè)為2,將a與參數(shù)的變量矩陣相乘，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。a=a/2，循環(huán)10次，每次a的值減半。取循環(huán)中得到的相關(guān)系數(shù)最大的變量矩陣［△錯(cuò)誤!未找到引用源。，△錯(cuò)誤!未找到引用源。，△x，△p］。第四步：默認(rèn)總的迭代次數(shù)為1000次，或者當(dāng)相關(guān)系數(shù)不再減小時(shí)，則迭代停止。返回得到的四參數(shù)值。3.2.2常見(jiàn)非線性模型對(duì)于解釋變量是非線性的，但參數(shù)之間是線性的模型，可以利用變量直接代換的方法將模型線性化，通過(guò)線性擬合來(lái)計(jì)算。1.多項(xiàng)式函數(shù)模型多項(xiàng)式函數(shù)形式y(tǒng)=?0+卩1x+卩2x2+-+卩kxk+u令"二X,Z2二X2,Zk二Xk原模型可化為線性形式即可利用多元線性回歸分析的方法處理了。這類模型廣泛地用于生產(chǎn)和成本函數(shù)。例如總成本函數(shù)可表示為：yi=P0+卩］羅卩2X2+卩3X3其中，y表示總成本，表示產(chǎn)出。2．雙曲線模型TOC\o"1-5"\h\z雙曲線函數(shù)形式y(tǒng)=0+01+u01x3.雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型函數(shù)形式lny=00+01lnx+udy*ddny)Ay/y0====E1dx*d(lnx)Ax/x

所以彈性為一常數(shù)。它表示x變動(dòng)1%，y變動(dòng)%了。由于這個(gè)特1殊的性質(zhì)，雙對(duì)數(shù)模型又稱為不變彈性模型。4.半對(duì)數(shù)函數(shù)模型函數(shù)形式lny=B+Px+uy=卩+卩l(xiāng)nx+u函數(shù)形式01對(duì)于線性-對(duì)數(shù)模型y對(duì)于線性-對(duì)數(shù)模型y=P+PInx+udy

dxdy

dx*dy=Ay

d(lnx)Ax/xAxAy=Pb它表示x變動(dòng)1%，y將變動(dòng)Pi個(gè)單位的絕對(duì)量。即y的絕對(duì)變化量P1等于1乘以x的相對(duì)變化量。5.邏輯斯蒂（Logistic）曲線函數(shù)形式a+be-x,1y=-yyy=a+bx'則有6.指數(shù)曲線函數(shù)形式y(tǒng)=abx兩邊取對(duì)數(shù)得：logy=loga+xlogb令logy=y'loga=a'logb=b'則有y，=a，+b'x7.冪函數(shù)曲線函數(shù)形式y(tǒng)=dxb兩邊取對(duì)數(shù)得：logy=logd+blogX令y‘=logyxx=logxa=logd則有yy=a+bx，&龔伯茲（Gompertz）曲線函數(shù)形式y(tǒng)=debx兩邊取對(duì)數(shù)得：lny=lnd+bx令yX=lnya二lnd則有yx=a+bxWORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.第四章多項(xiàng)式的擺動(dòng)在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，用一組給定的非線性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。得出指導(dǎo)性的經(jīng)驗(yàn)公式，即自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系錯(cuò)誤!未找到引用源。，這就是曲線擬合。在曲線擬合中最小二乘法多項(xiàng)式擬合的應(yīng)用非常普遍，在許多科學(xué)文獻(xiàn)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都以多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。的形式給出以供參考。雖然多項(xiàng)式的擬合適用普遍，通過(guò)適當(dāng)?shù)臄M合多項(xiàng)式的階數(shù)改善曲線逼近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的程度，但同時(shí)也帶來(lái)不利的一面。提高擬合多項(xiàng)式的階數(shù)，曲線在某些區(qū)間往往會(huì)產(chǎn)生非期望的起伏，這使得曲線的參考價(jià)值大打折扣。4.1多項(xiàng)式擺動(dòng)介紹已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，當(dāng)使用錯(cuò)誤!未找到引用源。為基作多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。形式擬合時(shí)當(dāng)冪次升高時(shí)，即使采用正交化的處理，格蘭姆矩陣的條件數(shù)往往很大，這時(shí)正規(guī)方程是病態(tài)的，這可能導(dǎo)致求解的結(jié)果嚴(yán)重的失真，使多項(xiàng)式曲線在某些區(qū)間產(chǎn)生振蕩，這就是多項(xiàng)式的擺動(dòng)。實(shí)踐的結(jié)果也表明，這種情況常有發(fā)生。例如：表3-1數(shù)據(jù)是以錯(cuò)誤!未找到引用源。產(chǎn)生的一組數(shù)據(jù)。表3-1x53.258.25y-1.386290.2231440.810931.1786552.110213分別用二、三、四階多項(xiàng)式擬合得函數(shù)關(guān)系式：2-1.1711^-1.4495y2=0.036^3-0.5039X2-2.198%-1.8312y3=-0.0153x+-0.24-05^3-1.2543xz-3.0621^-2.0771(a)錯(cuò)誤!未找到引用源。(b)錯(cuò)誤!未找到引用源。

(c)錯(cuò)誤!未找到引用源。圖3-1原函數(shù)及多階函數(shù)圖線圖3-1(a)是原函數(shù)的圖線，圖3-1(b,c,d)分別是。錯(cuò)誤!未找到引用源。。與原函數(shù)比較結(jié)果表明，提高擬合的階數(shù)，曲線通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加了，但在一定的區(qū)間，曲線的走向出現(xiàn)了與原函數(shù)較大的偏差。如果用擬合曲線作原函數(shù)關(guān)系參考顯然是不準(zhǔn)確的。4.2影響多項(xiàng)式擬合偏差的因素從理論上講，使用高階多項(xiàng)式擬合，上述擺動(dòng)更容易發(fā)生。從實(shí)踐上講上述擺動(dòng)產(chǎn)生的擬合曲線偏差由三方面產(chǎn)生。4.2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不均勻性例如，同樣以錯(cuò)誤!未找到引用源。在同樣的區(qū)間等問(wèn)隔產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)如表3-2。使用四階多項(xiàng)式擬得：y=-0.003x4-0.0669^3-0.^4rl9x2-2.112U-1.3815表3-2x56.258.25y-1.386290.810931.4469191.8325812.110213函數(shù)曲線如圖3-2，比較圖3-l(d)，圖3-2的擺動(dòng)大大減小。圖3-2四階函數(shù)圖線4.2.2數(shù)據(jù)的密度顯然增加數(shù)據(jù)的密度，增強(qiáng)對(duì)曲線的約束，擬合曲線在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的區(qū)間偏差變小。4.2.3擬合曲線的適用區(qū)間在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的區(qū)間偏差一般較小，而在外推區(qū)間隨著擬合階次的提高，往往難以預(yù)測(cè)。4.3使用多項(xiàng)式擬合的注意事項(xiàng)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理越來(lái)越方便。但也提出了新的課題，就是在選擇數(shù)據(jù)處理方法時(shí)應(yīng)該比以往更為慎重。因?yàn)樯杂胁簧?，就?huì)非常方便地根據(jù)正確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出不確切的乃至錯(cuò)誤的結(jié)論。在使用多項(xiàng)式擬合非線性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，要考慮它的局限性，避免由于處理方法不當(dāng)給實(shí)驗(yàn)帶來(lái)更大的誤差。4.3.1盡量避免高階多項(xiàng)式的擬合事實(shí)上雖然高階多項(xiàng)式的擬合在實(shí)驗(yàn)區(qū)間與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能盡可能地接近，但它的使用存在兩大弊端。首先，應(yīng)用計(jì)算困難，實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值不高。其次，外推誤差大，對(duì)擬合在實(shí)驗(yàn)區(qū)間與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得較好，而在區(qū)間外的擺動(dòng)常會(huì)產(chǎn)生不可預(yù)期的走向，不能正確反映自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系的變化趨勢(shì)。例如，根據(jù)表3-2數(shù)據(jù)的四階擬合函數(shù)關(guān)系計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值與原函數(shù)相比較，如表3-3。從表中可以看出，當(dāng)x=12.25時(shí)時(shí)已經(jīng)與原函數(shù)相去甚遠(yuǎn)。因此這個(gè)擬合表達(dá)式對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義是局限的。表3-3x56.25&2510.2512.25ln(x)-1.38630.81091.44691.83262.11022.32732.5055y-1.38630.81251.46371.90652.32811.7638-1.90340-1.30460.77951.41221.82482.14032.39952.62174.3.2保持密度如果確實(shí)有必要采用多項(xiàng)式擬合，要保持適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)密度同時(shí)，盡量

采用等間距采樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如圖3-在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)走向比較明確的前提下，可以考慮其他的非線性擬合方法在這個(gè)例子中最好是擬合成的形式。但如果在有些函數(shù)關(guān)系不明的情況下可根據(jù)散點(diǎn)分布特點(diǎn)考慮其它形式的擬合。例如：表3-2的數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)分布特點(diǎn)可擬合成錯(cuò)誤!未找到引用源。的形式，下面是錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)擬合出的函數(shù)：1.37591——51.37591——51.3962戈5圖3-3擬合函數(shù)圖線描繪的函數(shù)關(guān)系圖線如圖3-3。把表3中對(duì)應(yīng)的x值代入錯(cuò)誤!未找到引用源。中求出y填入表中。比較y、錯(cuò)誤!未找到引用源。和原函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。值，這種擬合方法函數(shù)的外推走向與原函數(shù)更為接近。WORDWORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.第五章殘數(shù)法與最小二乘法結(jié)合二項(xiàng)型指數(shù)，是由兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)相加而構(gòu)成的函數(shù)表達(dá)式。此函數(shù)表達(dá)式所描繪出的曲線稱為二項(xiàng)型指數(shù)曲線。此曲線在藥代動(dòng)力學(xué)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，常用于研究二室模型藥物靜脈注射后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系。目前，擬合二項(xiàng)型指數(shù)曲線常用的方法為殘數(shù)法，它是把一條曲線分解成若干指數(shù)成分，然后對(duì)這些指數(shù)成分通過(guò)曲線直線化的方式得到相應(yīng)指數(shù)成分的參數(shù)估計(jì)值。而曲線直線化是采用最小二乘法使變量轉(zhuǎn)換后所得新變量離均差平方和最小，并不一定能使原響應(yīng)變量的離均差平方和最小，所以其模型的擬合精度仍有提高的空間。以殘數(shù)法和非線性最小二乘法相結(jié)合，即以殘數(shù)法計(jì)算所得的參數(shù)估計(jì)值為初始值，借助于SAS軟件中的NLIN過(guò)程，采用非線性最小二乘法來(lái)得到擬合效果更好的曲線模型。此做法可解決殘數(shù)法擬合精度不高、非線性最小二乘法不便使用的問(wèn)題。5.1二項(xiàng)指數(shù)曲線原理與方法二項(xiàng)型指數(shù)曲線參數(shù)個(gè)數(shù)一般為指數(shù)項(xiàng)數(shù)目的2倍，分析時(shí)常用的方法是殘數(shù)法，它把一條曲線分解成兩個(gè)指數(shù)成分，每次分析一個(gè)指數(shù)項(xiàng)。藥物靜脈注射后，在體的代謝和分布規(guī)律比較復(fù)雜，其規(guī)律因藥物的性質(zhì)和作用部位不同而異，人們通常嘗試采用較為簡(jiǎn)單的模型來(lái)描述，即藥物靜脈注射后的二室模型，其藥一時(shí)曲線模型為：y=-EX(5.1)其中，錯(cuò)誤!未找到引用源。為分布速度常數(shù)，錯(cuò)誤!未找到引用源。為消除速度常數(shù)，錯(cuò)誤!未找到引用源。。當(dāng)時(shí)間t充分大時(shí)錯(cuò)誤!未找到引用源。將趨向于0。所以試(5.1)就可簡(jiǎn)化為：y=EK曠洗（5.2）兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得：嗨yw蔬亡0）作錯(cuò)誤!未找到引用源。圖，取尾端幾個(gè)近似呈直線關(guān)系的點(diǎn)擬合回歸直線。直線的斜率為錯(cuò)誤!未找到引用源。，由斜率可求出錯(cuò)誤!未找到引用源。值；直線的截距為錯(cuò)誤!未找到引用源。，由截距可求出B值。對(duì)式（5.1）進(jìn)行移項(xiàng)整理，得：y-5X=AXe-￡Et（5A）其中，錯(cuò)誤!未找到引用源。為實(shí)測(cè)濃度，錯(cuò)誤!未找到引用源。為外推濃度，前者與后者之差為殘數(shù)濃度，記為錯(cuò)誤!未找到引用源。。對(duì)其余點(diǎn)（也稱外推點(diǎn)）作錯(cuò)誤!未找到引用源。圖，由尾端向前取幾個(gè)近似呈直線關(guān)系的點(diǎn)，擬合一條回歸直線，得殘數(shù)線的截距錯(cuò)誤!未找到引用源。和斜率錯(cuò)誤!未找到引用源。，據(jù)此可計(jì)算出錯(cuò)誤!未找到引用源。和A。需要注意的是，有時(shí)尾端多個(gè)外推點(diǎn)計(jì)算所得的外推濃度錯(cuò)誤!未找到引用源。會(huì)大于實(shí)測(cè)濃度y。此時(shí)，式（5.4）需進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化，

5>Ce5>Ce-J?t-y=-AXe~ai(53)然后，作錯(cuò)誤!未找到引用源。圖，由尾端向前，選取合適的散點(diǎn)擬合回歸直線后，所得的殘數(shù)線的截距應(yīng)為錯(cuò)誤!未找到引用源。。有時(shí)也會(huì)遇到部分外推點(diǎn)的外推濃度大于實(shí)測(cè)濃度而另外一些外推點(diǎn)的外推濃度小于實(shí)測(cè)濃度的情形，此時(shí)可根據(jù)二者之差的大小來(lái)選擇部分點(diǎn)進(jìn)行分析。若超過(guò)1/2的外推點(diǎn)外推濃度與實(shí)測(cè)濃度之差大于0，則可舍棄另一部分外推點(diǎn)，僅以二者之差大于0的這些外推點(diǎn)按照式（5.5）進(jìn)行分析；反之，若超過(guò)1/2的外推點(diǎn)外推濃度與實(shí)測(cè)濃度之差小于或等于0，則可僅以二者之差小于或等于0的這些外推點(diǎn)按照式（5.4）進(jìn)行分析。采用殘數(shù)法，可求得參數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。的值。然后以殘數(shù)法計(jì)算所得的參數(shù)估計(jì)值為初始值，借助于SAS軟件中的NLIN過(guò)程，采用非線性最小二乘法來(lái)得到擬合效果更好的曲線模型。評(píng)價(jià)曲線模型的擬合效果，可使用殘差平方和、相關(guān)指數(shù)等指標(biāo)。殘差平方和的計(jì)算公式為：其中y為響應(yīng)變量的實(shí)際觀測(cè)值，錯(cuò)誤!未找到引用源。為由回歸方WORDWORD版本.WORDWORD版本.程算得的響應(yīng)變量的估計(jì)值。相關(guān)指數(shù)的計(jì)算公式為：SS(5.7)如果錯(cuò)誤!未找到引用源。占錯(cuò)誤!未找到引用源。的比例很小，說(shuō)明估計(jì)值與實(shí)際觀察值很接近，曲線擬合得較好，即錯(cuò)誤!未找到引用源。越接近于1，曲線擬合得越好。錯(cuò)誤！未找到引用源。的計(jì)算公式同式(5.6)。資料與分析根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識(shí)，已知某藥物為雙室模型藥物，靜脈注射100mg后，測(cè)得各時(shí)間點(diǎn)的血藥濃度結(jié)果見(jiàn)表4-1。試擬合該藥物的藥-時(shí)曲線。表4-1某藥物靜脈注射后各時(shí)間點(diǎn)的血藥濃度時(shí)間(h)血藥濃度(ug/ml)時(shí)間(h)血藥濃度(ug/ml)0.16565.033.0002.290.5002&695.0001.361.00010.047.5000.711.5004.9310.0000.38已知此藥物是雙室模型藥物，且采用靜脈注射，所以其藥一時(shí)曲線應(yīng)為二項(xiàng)型指數(shù)曲線。具體分析時(shí)，可將所有的散點(diǎn)劃分成兩段，分別用來(lái)計(jì)算兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)的參數(shù)。在計(jì)算指數(shù)項(xiàng)參數(shù)的值時(shí)，所得回歸直線的斜率和截距對(duì)參數(shù)值的最終確定有重要影響。而回歸直線的斜率和截距依賴于散點(diǎn)的選擇，所以在不同計(jì)算階段，選擇合適的散點(diǎn)個(gè)數(shù)尤為重要。第一步，借助SAS語(yǔ)言的宏功能，將不同計(jì)算階段各種可能選取的散點(diǎn)個(gè)數(shù)組合都考慮進(jìn)去，采用殘數(shù)法進(jìn)行分析，由計(jì)算所得的截距和斜率推導(dǎo)出指數(shù)項(xiàng)參數(shù)的值，這樣每種散點(diǎn)個(gè)數(shù)組合都可以得到一組參數(shù)估計(jì)值。第二步，將殘數(shù)法所得曲線模型參數(shù)的估計(jì)值代入NLIN過(guò)程作為初值，每種散點(diǎn)個(gè)數(shù)組合情形下均可得到一個(gè)局部最優(yōu)的曲線模型。第三步，從多個(gè)局部最優(yōu)的曲線模型中，選取擬合效果最好的曲線模型，選取的標(biāo)準(zhǔn)是殘差平方和最小。SAS程序見(jiàn)附錄本資料共有8個(gè)散點(diǎn)，兩階段可能的散點(diǎn)個(gè)數(shù)組合有6種，即：33、34、35、43、44、53。散點(diǎn)組合中的兩個(gè)數(shù)字，依次表示在錯(cuò)誤!未找到引用源。圖和錯(cuò)誤!未找到引用源。圖上由尾端向前選取的散點(diǎn)個(gè)數(shù)。以散點(diǎn)組合34為例，其含義為先選取錯(cuò)誤!未找到引用源。圖上的后三個(gè)散點(diǎn)（即原6-8號(hào)散點(diǎn)），然后以剩余散點(diǎn)作錯(cuò)誤!未找到引用源。圖后，再選取錯(cuò)誤!未找到引用源。圖上的后四個(gè)散點(diǎn)（即原2-5號(hào)散點(diǎn)）。SAS輸出結(jié)果顯示：這6種散點(diǎn)個(gè)數(shù)組合，最終所得到的回歸方程擬合本資料的殘差平方和均為0.000945。這里，可以任選一種組合情形，根據(jù)NLIN過(guò)程擬合的參數(shù)的值，就可寫(xiě)出曲線的回歸方程了。以下是6種散點(diǎn)組合情形下殘數(shù)法擬合的曲線模型以及非線性最小二乘法擬合的曲線模型，它們對(duì)資料的擬合效果見(jiàn)表4-2。表4-2殘數(shù)法與非線性最小二乘法擬合的回歸方程擬合方法散點(diǎn)組合回歸方程殘差平方和相關(guān)指數(shù)殘數(shù)法33y=-81.6329X+4,8472＞：t:「⑺-一55.216000.984562殘數(shù)法34f=-86.6542XB-_2￡uef+4.8472Xt：-："-■17.753100.995036殘數(shù)法35y=+4.847ZXe-'5.783900.998383殘數(shù)法43y=95.7515X0-_：7-B3f+4.9234X(0.439500.999877殘數(shù)法44y=94.9814+4.9234Xe:-：c0.065600.999982WORDWORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.殘數(shù)法53.=殘數(shù)法53.=廠：：=■—：Hj-u1.25600.999649非線性最小二乘法錯(cuò)誤!未找到引用源。0.000951.000000圖4-1圖4-1最終曲線回歸方程對(duì)資料的擬合效果根據(jù)殘差平方和的大小，可知非線性最小二乘法所得曲線模型擬合效果最好，殘數(shù)法中以散點(diǎn)組合44情形下擬合效果較好。所以，以殘數(shù)法得到的參數(shù)估計(jì)值為初始值，再用非線性最小二乘法進(jìn)一步擬合資料，兩法結(jié)合應(yīng)用，所得曲線模型擬合效果更優(yōu)。最終的曲線回歸方程對(duì)資料的擬合效果見(jiàn)圖4-1，所得模型對(duì)該資料的擬合效果令人非常滿意。5.3殘數(shù)法與最小二乘法結(jié)合總結(jié)殘數(shù)法求解二項(xiàng)型指數(shù)曲線，其手工計(jì)算較為繁雜，不便使用。借助SAS軟件的強(qiáng)大功能，以編程的方式實(shí)現(xiàn)了殘數(shù)法的參數(shù)估計(jì)。SAS軟件中的NLIN過(guò)程可實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線模型參數(shù)的非線性最小二乘估計(jì)，所得曲線模型較殘數(shù)法得到的曲線模型擬合效果更佳。但NLIN過(guò)程對(duì)參數(shù)初始值較為敏感，為保證程序能夠快速得到一組較優(yōu)的模型估計(jì)值，采用殘數(shù)法的結(jié)果作為初始值，通過(guò)迭代運(yùn)算，得到更合理的模型參數(shù)估計(jì)值。當(dāng)然，應(yīng)用殘數(shù)法時(shí)，其結(jié)果較為依賴于每個(gè)指數(shù)成分參數(shù)估計(jì)時(shí)的散點(diǎn)選擇。因此，分析本資料時(shí)在程序中引入宏，運(yùn)行了所有的散點(diǎn)組合可能，從而得到殘差平方和最小的曲線模型。需要說(shuō)明的是，并非所有的散點(diǎn)組合都是可行的。因?yàn)檫x取散點(diǎn)準(zhǔn)備擬合回歸直線時(shí)，還需計(jì)算某些變量的對(duì)數(shù)值。若選點(diǎn)不合適，則這些變量取值可能為負(fù)，這樣其對(duì)數(shù)值就無(wú)法計(jì)算了，后續(xù)的結(jié)果也就不準(zhǔn)確了。此時(shí)，不適合以宏的方式來(lái)選取所有散點(diǎn)組合進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算，可根據(jù)散點(diǎn)趨勢(shì)進(jìn)行人工選點(diǎn)。極限原理在其中起著重要作用。所以，根據(jù)極限原理的應(yīng)用條件，必須在多個(gè)時(shí)間點(diǎn)上取樣，尤其是藥物吸收中末期應(yīng)多次取樣，且取樣時(shí)間應(yīng)充分大。否則，在取點(diǎn)進(jìn)行直線回歸分析時(shí)，結(jié)果很不穩(wěn)定。取點(diǎn)的多少，較大程度上影響到斜率和截距的值，取點(diǎn)較少將導(dǎo)致殘數(shù)值誤差較大，一般每一個(gè)計(jì)算階段應(yīng)選取3個(gè)以上(含3個(gè))的散點(diǎn)。此外，要正確進(jìn)行曲線擬合，尤其要注意：(1)曲線在理論上能否得到適當(dāng)解釋；(2)資料所具備的特征與觀察點(diǎn)的趨勢(shì)有無(wú)矛盾；(3)擬合的曲線本身是否最優(yōu)或較優(yōu)。WORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.第六章總結(jié)在我們實(shí)際的實(shí)驗(yàn)和勘探中，都會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)。為了解釋這些數(shù)據(jù)或者根據(jù)這些數(shù)據(jù)做出預(yù)測(cè)、判斷，給決策者提供重要的依據(jù)。需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，尋找一個(gè)反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)。本文介紹了幾種常用的數(shù)據(jù)擬合方法，線性擬合、二次函數(shù)擬合、數(shù)據(jù)的n次多項(xiàng)式擬合等。并著重對(duì)曲線擬合進(jìn)行了研究，介紹了線性與非線性模型的曲線擬合方法，最小二乘法、牛頓迭代法等。在傳統(tǒng)的曲線擬合基礎(chǔ)上，為了提高曲線擬合精度，本文還研究了多項(xiàng)式的擺動(dòng)問(wèn)題，從實(shí)踐的角度分析了產(chǎn)生這些擺動(dòng)及偏差的因素和特點(diǎn)，總結(jié)了在實(shí)踐中減小這些偏差的處理方法。采用最小二乘法使變量轉(zhuǎn)換后所得新變量離均差平方和最小，并不一定能使原響應(yīng)變量的離均差平方和最小，所以其模型的擬合精度仍有提高的空間。本文以殘數(shù)法與最小二乘法相結(jié)合，采用非線性最小二乘法來(lái)得到擬合效果更好的曲線模型。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理越來(lái)越方便。但也提出了新的課題，就是在選擇數(shù)據(jù)處理方法時(shí)應(yīng)該比以往更為慎重。因?yàn)樯杂胁簧?，就?huì)非常方便地根據(jù)正確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出不確切的乃至錯(cuò)誤的結(jié)論。所以提高擬合的準(zhǔn)確度是非常有必要的。結(jié)束語(yǔ)經(jīng)過(guò)兩個(gè)多月的努力，《灰色系統(tǒng)分析方法研究》論文終于完成，在整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中，出現(xiàn)過(guò)很多的難題，但都在老師和同學(xué)的幫助下順利解決了，在不斷的學(xué)習(xí)過(guò)程中我體會(huì)到寫(xiě)論文是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)的過(guò)程，從最初剛寫(xiě)論文時(shí)對(duì)灰色系統(tǒng)的分析方法模糊認(rèn)識(shí)到最后能夠?qū)υ搯?wèn)題有深刻的認(rèn)知，我體會(huì)到實(shí)踐對(duì)于學(xué)習(xí)的重要性，以前只是明白理論，沒(méi)有經(jīng)過(guò)實(shí)踐考察，對(duì)知識(shí)的理解不夠明確，通過(guò)這次的做，真正做到理論實(shí)踐相結(jié)合?？傊?，通過(guò)畢業(yè)設(shè)計(jì),我深刻體會(huì)到要做好一個(gè)完整的事情，需要有系統(tǒng)的思維方式和方法，對(duì)待要解決的問(wèn)題，要耐心、要善于運(yùn)用已有的資源來(lái)充實(shí)自己。同時(shí)我也深刻的認(rèn)識(shí)到，在對(duì)待一個(gè)新事物時(shí)，一定要從整體考慮，完成一步之后再作下一步，這樣才能更加有效。致謝四年的讀書(shū)生活在這個(gè)季節(jié)即將劃上一個(gè)句號(hào)，而于我的人生卻只是一個(gè)逗號(hào)，我將面對(duì)又一次征程的開(kāi)始。四年的求學(xué)生涯在師長(zhǎng)、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬(wàn)千，心情久久不能平靜。偉人、名人為我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和贊美獻(xiàn)給一位平凡的人，我的導(dǎo)師。我不是您最出色的學(xué)生，而您卻是我最尊敬的老師。您治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)識(shí)淵博，思想深邃，視野雄闊，為我營(yíng)造了一種良好的精神氛圍。授人以魚(yú)不如授人以漁，置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹(shù)立了宏偉的學(xué)術(shù)目標(biāo)，領(lǐng)會(huì)了基本的思考方式，從論文題目的選定到論文寫(xiě)作的指導(dǎo),經(jīng)由您悉心的點(diǎn)撥,再經(jīng)思考后的領(lǐng)悟,常常讓我有“山重水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村”。感謝我的爸爸媽媽，焉得諼草，言樹(shù)之背，養(yǎng)育之恩，無(wú)以回報(bào)，你們永遠(yuǎn)健康快樂(lè)是我最大的心愿。在論文即將完成之際，我的心情無(wú)法平靜，從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯謝意！同時(shí)也感謝學(xué)院為我提供良好的做畢業(yè)設(shè)計(jì)的環(huán)境。最后再一次感謝所有在畢業(yè)設(shè)計(jì)中曾經(jīng)幫助過(guò)我的良師益友和同學(xué)，以及在設(shè)計(jì)中被我引用或參考的論著的作者。參考文獻(xiàn)[1]LancasterP,SalksuskasK.Surfacesgeneratedbymovingleastsquaresmethods[J].MathematicsofComputation,1981,37(155):141-158.BelytschkoT,KrongauzY,OrganD,etal.Meshlessmethod:Anoverviewandrecentdevelopments[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1996,:3-47.LiuH,ShiP.Discontinuitypreservingmovingleastsquaresmethod[C]ComputationalandInformationScience,Shanghai,2004:562-569.．SASInstitutelnc．SASSTAT9．2UsergGuide．Cary．NCSASnstituteInc．，2008：4261-4336．左傳偉,聶玉峰,美玲.移動(dòng)最小二乘方法中影響半徑的選取[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(5):833-838.曾清紅,盧德堂.基于移動(dòng)最小二乘法的曲線曲面擬合[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),2004,25(1):84-89.顏寧生.帶插值條件的最小二乘法[J].服裝學(xué)院學(xué)報(bào),2007,27(2):42-48.[8]慶揚(yáng)?數(shù)值分析基礎(chǔ)教程[M]?:高等教育，2001-渝，周路，錢(qián)方，等（譯）?數(shù)值方法（MATLAB版）[M]?:電子工業(yè)，2002-．薛仲三．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法和原理（部資料）．：軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院印，1984，276-287．．梁文權(quán)．生物藥劑學(xué)與藥物動(dòng)力學(xué)．第2版．:人民衛(wèi)生，2006:164-240．施妙根，顧麗珍?科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)[M]?:清華大學(xué)，1999.[13]?徐秦，薛茜，徐睿?淺論曲線擬合中的相關(guān)指數(shù)R?中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，1992，9（06）:44-45．JohnHMathews,KurtisDFink.數(shù)值方法（MATLAB版）[M].:電子工業(yè),2005:-215.徐萃薇，繩武.計(jì)算方法引論[M].:高等教育，2002:62-85.蘇金明,蓮花,等.MATLAB工具箱應(yīng)用[M].:電子工業(yè),2004:489-512.慶揚(yáng)，王能超，等.數(shù)值分析[M].:清華大學(xué)，2001:90-117.姜啟源，謝金星，，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].:高等教育，2003:308-316.白峰杉.數(shù)值計(jì)算引論[M].:高等教育，2004:82-85.GeraldRecktenwald.數(shù)值方法和MATLAB實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用[M].:機(jī)械工業(yè),2004:316-354.宋兆基，徐流美，等.MATLAB6.5在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用[M].:清華大學(xué),2005:456-460..蔣建飛，良劍，唐儉.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)驗(yàn)【M】.：科學(xué)，2008[23]建平，苑一方．復(fù)雜過(guò)程的多模型建模方法研究[J]．儀器儀表學(xué)報(bào)，2011，32(1)：132-137．牛培峰，王磊，馬巨海，等．聚類融合控制在電廠熱工過(guò)程控制中的應(yīng)用研究[J]?儀器儀表學(xué)報(bào)，2009，30(1):96-102-建平，譚悅，冰．單值模糊廣義預(yù)測(cè)控制及其在熱工對(duì)象中的應(yīng)用[J]?儀器儀表學(xué)報(bào)，2008，29(7):1494-1498?芳，毛志忠，磊?基于模糊自回歸隱馬爾可夫模型的控制過(guò)程異常數(shù)據(jù)檢測(cè)[J]?儀器儀表學(xué)報(bào)，2010，31(5):984-990?吉臻，朱紅路，常太華，等?基于最小均方自適應(yīng)濾波器的熱工過(guò)程建模方法[J]?中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30(5):107-112?孔亮，丁艷軍，毅，等?結(jié)合穩(wěn)態(tài)模型的非線性動(dòng)態(tài)建模方法及應(yīng)用[J]?中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(29):93-98?從松波?基于優(yōu)化的生產(chǎn)過(guò)程先進(jìn)控制技術(shù)[z]?:清華大學(xué)，1998?初福，丙珍，何小榮，等?用于含過(guò)失誤差數(shù)據(jù)穩(wěn)態(tài)檢測(cè)的改進(jìn)濾波法[J]?清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，44(9):1160-1162?高林，喜梅?基于模糊集的穩(wěn)態(tài)檢驗(yàn)方法[J]?科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，31(1)：91-95．付克昌，戴連奎，吳鐵軍?基于多項(xiàng)式濾波算法的自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)檢測(cè)[J]?化工自動(dòng)化及儀表，2006，33(5):18-22?畢小龍，王洪躍，司風(fēng)琪，等?基于趨勢(shì)提取的穩(wěn)態(tài)檢測(cè)方法[J]?動(dòng)力工程，2006，26(4):503-506?費(fèi)業(yè)泰?誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M]?:機(jī)械工業(yè)，2004:141-145?袁學(xué)剛，牛大田.數(shù)值分析[M].：理工大學(xué)，2010:69-75王兵團(tuán)王秋媛.數(shù)學(xué)軟件簡(jiǎn)明教程與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].：中國(guó)鐵道，2002:32-56英文原文附錄1英文原文Movingleastsquarecurveandsurfacefittingwithinterpolation

conditionsHuiNi,ZhongLi,HongxingSong

DepartmentofMathematicsandScience

ZhejiangSci-TechUniversity

Hangzhou,China:.Abstract—Thispaperpresentsamethodformovingleastsquarecurveandsurfacefittingwithinterpolationconditions.Themethodisfirstlyproposedforsolvingtheproblemofthecurvefittingwithinterpolationconditions.Ithasmoreadvantagesincludingthatthedegreeoffittingfunctionislowandthefittingcomputationisconvenient.Then,themethodisextendedtosolvethesurfacefittingproblem.Weusemovingleastsquareapproximationtosolvethesurfacefittingwithinterpolationconditions.Theexperimentalresultsshowthatitobtainssatisfactoryfittingeffect.Keywords-interpolation;curvefitting;surfacefitting;leastsquareapproximation;movingleastsquareapproximationI.INTRODUCTIONDatafittingiscommonlyusedindealingwithlargeamountsofdatainvolvedinscientificfields,andithasmanyimportantapplicationsinbiological,chemical,signalprocessing,computergraphics,statisticsandsoon[1].Weneedtofindthehiddenrulesforsomeofthedatawhicharerelatedintheexperiment,andweusuallyusethecurveorsurfacefittingmethodtoapproachthesediscretedata.Thefittingcurveorsurfacecanbeconstructedbytheleastsquaremethodwhichdoesnotneedtogothroughallthedatapoints[2-3].Recently,movingleastsquaremethodisproposedforfittingthedata.Comparedtotraditionalleastsquaremethod,ithasmoreadvantagesandhasbroadlybeenusedinthedatafittingandanalysis[5-6].Insomecaseswhenfittingthedata,thefittingcurveorsurfaceneedtogothroughsomekeypoints,weneedtoconsiderthewordword版本.wordword版本.interpolationconditionsfortheleastsquareormovingleastsquaremethod.R[4]introducedtheleastsquaremethodwithinterpolationconditionsandprovidedtheconstruetionformula.Inthispaper,weproposeanewleastsquaremethodwithinterpolationconditions.Ithasmoreadvantages,forexample,thedegreeoffittingfunctionislowandtheconstruetioncomputationisconvenient.Thenthismethodisextendedformovingleastsquarefittingwithinterpolationconditions.Itcanalsoobtainsatisfyingfittingeffect.LEASTSQUARECURVEFITTING町THINTERPOLATIONCONDITIONSA.NewfittingformulaconstructionSupposethatasetofscatterednodesare錯(cuò)誤!未找到引用源。，andtheinterpolationconditionsare錯(cuò)誤!未找到引用源。.If錯(cuò)誤！未找到引用源。isthefittingfunction,theleastsquarefittingcurvewithinterpolationconditionscanbewrittenasWhere錯(cuò)誤!未找到引用源。.Wedefine

■1入二》乃-心-J=13=1-where入isafunctionwithindependentvariable錯(cuò)誤!未找到引用源。,whicharecoefficientsofP(x).Theproblemisconvertedintosolvetheminimumof入.WeusethefollowingequationsToevaluate錯(cuò)誤!未找到引用源。i.e.丹—(憂心戈嚴(yán)-%一嚴(yán)嚴(yán)aiXJ-%)-A。(Xj)Ss=l-）。（旳）=o乃一J=1J=1Zy；--%-只嚴(yán)厲書(shū)一％）-工匚（衍）$J=1■一虧a=1Wecalculate錯(cuò)誤！未找到引用源。fromaboveequationsandsubstitutethemintoEqu.(1)togettheleastsquarecurvefittingwithinterpolationconditions.WORDWORD版本.WORDWORD版本.WORDWORD版本.WenoticethatifthedegreeofP(x)ism1andthenumberofinterpolationpointsist,thenthedegreeoftheleastsquarefittingcurvewithinterpolationconditionsisMax{m-1，t-1}.ThedegreeislowerthanthefunctionoftheleastsquarefittingprovidedinR[4].Inaddition,wecanregardthenewformulaasthemodificationoftheleastsquarefittingmethodwherethecorrectiontermis錯(cuò)誤!未找到引用源。.Therefore,wefirstlycalculatethecurvefittingbytheleastsquaremethod,thencombineitwiththecorrectionterm錯(cuò)誤!未找到引用源。toobtainthefittingcurveP(x)withinterpolationconditions.Itcanbeseenasaneffectivereplacementoftheleastsquarefittingwithinterpolationconditions,butthewholeconstructionisconvenient.B.CurvefittingexamplesGivenasetofscatterednodesx=[1,2.5,4.5,6,7,8,9,10],y=[1,2,2.5,3,4,5,5.5,7],werespectivelyuseourleastsquaremethodwithinterpolationconditionsandthemethodinR[4]tofitthesepoints.Theinterpolationnodesare(1,1),(10,7).Fig.1istheresultoftheleastsquarefittingwithinterpolationconditionsbyR[4].Whentheempiricalfunctionisapolynomialofdegree3,thedegreeoffittingpolynomialis5.ThecurverepresentedbysolidlineinFig.2isthefittingresultofourmethod.Whentheempiricalfunctionisapolynomialofdegree3,thedegreeoffittingpolynomialisalso3.Thecurverepresentedbydottedlineisthefittingresultofourmethodbycalculatingthecorrectionterm.Thisshowsthatwecanuselowerdegreeofempiricalfunctiontoconstruettheleastsquarefittingwithinterpolationconditionswhilekeepingsatisfactoryfittingeffect.Inaddition,wefindthereislittledifferenceoffittingresultsbetweenouroriginalmethodandthemethodbycalculatingthecorrectionterm.wordword版本.wordword版本.Figuie2.ResultFiguie2.ResultbyourmetliDloffittingpolynomdalis3)MOVINGLEASTSQUARECURVEFITTING町THINTERPOLATIONCONDITIONSA.MovingleastsquaremethodintroductionThefittingfunctionbymovingleastsquaremethodcanbewrittenasf(帕=》巴0)址(t=l咒）=尸?。埽┛冢ㄖ洌?）Wherea(x)=(aiW,a2Wf■jCmW)7Isasetofcoefficients,and嗆)=(iPiUlPaCx)isthebasisfunction.Wecommonlyusethecompletepolynomialbasis,suchasLinearbase錯(cuò)誤Linearbase錯(cuò)誤!未找到引用源。QuadraticbaseQuadraticbase錯(cuò)誤!未找到引用源。QuadraticbaseQuadraticbase錯(cuò)誤!未找到引用源。wordword版本.wordword版本.Weneedtomaketheweightedsquareofdifferencebetweenlocalapproximation錯(cuò)誤!未找到引用源。andpointvalue錯(cuò)誤!未找到引用源。betheminimumtoobtainamoreaccuratelocalapproximation,sothediscreteweighted錯(cuò)誤!未找到引用源。normofresidualisTOC\o"1-5"\h\zn丹I=》鞏咒—街—xF=工少伝一話舊乂無(wú)込〕一C3)i=li=lwherenisthenumberofpointsinthesolvingdomain,and錯(cuò)誤！未找到引用源。isthefittingfunction,錯(cuò)誤!未找到引用源。istheweightfunctionofthepoint錯(cuò)誤!未找到引用源。.Theweightfunctionshouldbenon-negative,andmonotonicallydecreasewhen錯(cuò)誤!未找到引用源。increases.Theweightfunctionshouldalsobewithcompactsupport,whichmeansthatthefunctionisn'tequalto0inthesupportdomain,whileitisequalto0outsidethesupportdomain.Weusuallychoosethecircleasthesupportdomain,andtheradiusisr.Andwenormallyconstruetthesplinefunctionastheweightfunction.Let錯(cuò)誤!未找到引用源。，thenthecubicsplinefunctionis--4j2-453j32必y—必y—如3Firstly,wemakeJbeminimumtoevaluatea(x).MatrixformofEqu.(3)isasfollowsJ=(Pa(x)-Y)rW(x)C?aW-Y)rWhereIV（戈）=ciia■目（叫（龍〕,吒仗）一％（幻）,叫&）=（戈一xi）恥JpO…為3p=巴［光』P2(X2)■"艮L〔無(wú)』恥J■?巳儀J■■■卩恥（兀n）?Weusetheleastsquaremethodtoobtai